大连交通大学高等数学(E)1应试指南(第1-7章)

第一章 函数、极限与连续

知识要点：

1、 会求给定函数的自然定义域（用导数研究奇偶性凹凸性的时候

要用到）

2、 会求反函数（第二换元积分法要用到）

3、 会判断一个函数是否有界，掌握奇偶性和单调性的基本概念

（这三个性质很多地方要用到）

4、 数列极限与函数极限的定义（极限研究的是当自变量发生某种

变化时，函数值是否无限接近于某个确定的实数值） 5、 会求左右极限（判断间断点和求左右导数的时候要用到） 6、 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 7、 无穷小和无穷大之间互为倒数

8、 掌握高阶，同阶，等价，n阶无穷小的基本概念

9、 几个重要的等价无穷小：当x→∞(x→x0)时，如果g(x)→0，则：

sin(g(x)) g(x)~tan(g(x))，arcsing(x) g(x) arctang(x)ag(x)-1~g(x)lna(a>0)

1-cos(g(x))

111~g(x)2g(x)

2n，，

，ln(1+g(x))~g(x)，eg(x)-1~g(x)，

10、 极限的四则运算法则

11、 复合函数的极限运算法则：如果f(u)关于变量u连续，则：

limf(g(x))=f(limg(x))

12、准则I（夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

limyn=a,limzn=a,y≤x≤z(n=1,2,3, )nn→∞nnn （1）; （2）→∞

那末数列xn的极限存在, 且n→∞

limxn=a.

12、 单调递增有上界的数列必有极限，单调减少有下界的数列必有

极限

sing(x)

=1

x→ag(x)→0g(x)13、 两个重要极限：（1）如果x→a时，，则：

lim

lim(1+g(x))g(x)→0x→ax→a （2）如果时，，则：

1

g(x)

=e

14、 当求极限的函数是几个无穷小的积和商时可以进行等价无穷

小替换，和差的时候不可以 15、 会判断函数在一点是否连续

16、 函数的间断点及其分类：第一类间断点：跳跃间断点，可去间

断点；第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点；会判断是哪种类型的间断点

17、 连续函数之间的和差积商都是连续的，两连续函数的复合也是

连续的，初等函数在其定义区间内都是连续的

18、 闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理，有界性定理，零

点定理，介值定理

19、 会求函数的水平渐近线和垂直渐近线 注意事项：

1、 讨论函数连续性的时候，对于分段函数，若在每个小的开区间

上为初等函数，则在此开区间上必连续；而在分隔点处，先求在分隔点处的左右极限然后与函数值进行比较，如间断必须判

断出是哪种间断点 2、 幂指函数求极限：

limf(x)g(x)=limeg(x)lnf(x)=elim[g(x)lnf(x)]

3、 做题的时候一定要把求极限符号下自变量的变化趋势给写出

来，我不写是为了表示两种不同的变化趋势都适用，你做具体题的时候不可以不写，推导的过程中极限符号不可落掉，避免出现极限等于一个函数的情形

第二章 导数与微分

知识要点：

1、掌握导数的定义：

f'(x0)=lim

f(x0+∆x)-f(x0)∆y

=lim

∆x→0∆x∆x→0∆x

2、函数在一点处左右导数的定义

3、函数在一点可导⇔左右导数都存在且相等⇒函数在这一点连续 4、函数在x0处导数的几何意义：函数图像过点(x0,f(x0))切线的斜率 5、求导的四则运算法则

6、会求函数过某点的切线方程和法线方程 7、复合函数求导法则：

[f(g(x))]'=f'(u)

u=g(x)

⨯g'(x)

dydx=dy 8、反函数求导法则：dx

9、导数表里的公式都要记住

10、掌握隐函数求导法则，会求隐函数的一阶导和二阶导 11、掌握参数方程求导公式：

dydy

=dxdt

dx dt

12、会求函数的微分：df(x)=f'(x)dx，函数在一点处的微分：

df(x)

x=x0

=f'(x0)∆x

注意事项：

1、 讨论函数可导性的时候，对于分段函数，如果在每个开区间上

是初等函数则在开区间内必可导，而在分隔点处要分别求左右导数，如果左右导数存在且相等则可导，否则不可导 2、 左导数不等于左极限：f-'(x0)=lim

∆x→0-

f(x0+∆x)-f(x0)

≠lim-f(x)， x→x0∆x

也不可以对分隔点左侧函数先求导函数再取极限得到 3、 应用隐函数求导法则求在给定点处一、二阶导数的时候，不仅

要在结果中把横坐标的值代入，相应纵坐标的值也要代入 4、 幂指函数求导数可以用对数求导法也可以：

g(x)g(x)lnf(x)g(x)lnf(x)

''(f(x))=(e)=e⨯(g(x)lnf(x))'，但不可以令

f(x)=u,g(x)=v，然后化成y=uv然后用幂函数求导公式，因为这里的

v不是常数，这样的做法从过程到结果都是极其错误的

5、 求切线方程和法线方程的时候，要先判断给出的点是否在函数

图像上，如果在就是切点，如果不在要先把切点设出来

第三章 微分中值定理与导数的应用

知识要点：

1、 会用罗尔定理和拉格朗日定理来证明一些简单的结论，理解拉

格朗日中值定理的证明过程，对柯西中值定理的内容有一定的了解

2、 导函数为0的函数必为常值函数 3、

会用洛比达法则来求未定式的极限：0

∞，∞

lim

f(x)f'(x)

=limF(x)F'(x)

4、 掌握一些化简后可以间接利用洛比达法则来计算的函数的极

限

5、 掌握利用函数一阶导数符号来判断函数单调性的一般步骤，会

求极值点与极值

6、 掌握利用函数二阶导数符号来判断函数凹凸性的一般步骤，会

求拐点

7、 会求函数的最值点与最值

8、 如果函数只有有限个驻点与不可导点，则极值点不是驻点就一

定是不可导点；最值点不是极值点就一定是端点。所以求极值的时候要把所有不可导的点与驻点都找出来，而在求最值的时候要把所有不可导点，驻点以及端点都找出来 9、 会用函数单调性来证明某些不等式 注意事项：

1、 罗尔定理有三个条件：闭区间连续，开区间可导，端点处函数值相同，拉格朗日中值定理有两个条件：闭区间连续，开区间可导；当用上述两个定理来做证明题时，注意把相应的条件写上去 2、 不论是讨论单调性还是讨论凹凸性，都是在每个小的开区间上

讨论一阶导或二阶导的符号，在相应“闭区间”（只要小区间端点在定义域里就一定要带上）上得到单调性和凹凸性；不要总是拿开区间说事

3、 极值点，最值点都是实数。而拐点是凹凸性发生变化的点（左

右两侧二阶导符号发生变化）不是单调性发生变化的点，拐点是图像上的一个点，既有横坐标又有纵坐标

4、 用洛必达法则求极限的时候，只要是未定式，我们总是先用洛

比达法则直到求出最后结果，如果最后的结果是个有限的实数或者为无穷大，则中间的推导过程是成立的，而如果最后发现极限不存在且也不是无穷大，则中间的过程是错误的，需要用其他的方法来计算这个极限

5、 找出函数所有不可导点，一般在定义域里找导函数没有意义的

点，同理找函数所有二阶导不存在的点，通常是找二阶导函数表达式没有意义的点

6、 如果题目里限定了自变量的取值范围，即给出了定义域的时

候，就不要跑出定义域在函数没有意义的区间上讨论单调性和凹凸性

第四章 不定积分

知识要点：

1、 理解f(x)的不定积分⎰

f(x)dx

指的是函数f(x)的所有原函数，而

f(x)所有原函数之间只相差一个常数，所以如果已知F(x)是f(x)的一个原函数，则⎰f(x)dx=F(x)+C

2、 不定积分的性质：一、多个（只要有限个都成立）函数之和的

不定积分等于不定积分之和。二、⎰

kf(x)dx=k⎰f(x)dx

3、 第一换元积分法：如果已知F(U)是f(U)的一个原函数，则：

⎰f(φ(x))φ'(x)dx=⎰f(U)dU=F(U)

U=φ(x)

+C

4、 第一换元积分法常见的几种类型：

积分类型

1.f(ax+b)dx=2.f(x)x

换元公式

(a≠0)

u=ax+bu=xμu=lnxu=exu=axu=sinxu=cosxu=tanxu=cotxu=arctanx

⎰

a

⎰f(ax+b)d(ax+b)

1

⎰

μμ-1

dx=

μ

⎰f(x

x

μ

)d(x)(μ≠0)

μ

第一换元积分法

⎰⎰4..⎰f(e)⋅edx=⎰f(e)de

1

5.⎰f(a)⋅adx=f(a)da

lna⎰

6.⎰f(sinx)⋅cosxdx=⎰f(sinx)dsinx7.⎰f(cosx)⋅sinxdx=-⎰f(cosx)dcosx8.⎰f(tanx)secxdx=⎰f(tanx)dtanx9.⎰f(cotx)cscxdx=-⎰f(cotx)dcotx

1

10.⎰f(arctanx)dx=⎰f(arctanx)d(arctanx)

1+x

f(lnx)d(lnx)

x

x

xx

x

x

x

22

2

1

3.f(lnx)⋅dx=

x

11.f(arcsinx)

⎰

1-x

2

dx=-f(arcsinx)d(arcsinx)u=arcsinx

⎰

5、 ⎰

sinmxcosnxdx

形式的不定积分，m，n均为偶数时，考虑用倍

角公式，否则谁奇就拆谁 6、 ⎰

tanmxsecnxdx

（⎰

cotmxcscnxdx

）形式的不定积分，不是令tanx

（cotx）为U就是令secx（cscx）为U

7、 第二换元积分法：如果x=φ(t)单调可导，则：

f[φ(t)]φ'(t)dt⎤⎰f(x)dx=⎡⎣⎰⎦

t=φ-1(x)

t∈(-

ππ

8、

被积函数f(x

)x=asint，

,)22，

注意此时cost>0

n

被积函数f(x

)中如果含有

ax+b=t或

9、

ax+bn

=tcx+d，注意这里是在用第二换元积分法，要先反解出x关

于t的函数x=φ(t)

10、 掌握分部积分公式： ⎰

f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-⎰f(x)g'(x)dx

11、 对于有理函数的不定积分：

⎰

Pn(x)

dx

Pm(x)，当被积函数为假分式

Pn(x)

的时候，先把被积函数Pm(x)用多项式除法分解为一个多项式

和真分式之和，然后再求不定积分

12、 对于真分式的不定积分：

一、二、

⎰

cc1c

dx=⎰*dx=lnx+a+Cax+bax+baa

⎰

=⎰

ex+f(ax2+bx+c)'ef-2a

dx=*+⎰ax2+bx+c2aax2+bx+cdx ax2+bx+c

(ax2+bx+c)'ef-be2a

*dx+dx22⎰ax+bx+c2aax+bx+c

对于第一个不定积分可由第一换元法解出；而对于第二个不定积分，当分母判别式大于零时，此时分母可因式分解，用真分式分解可解。当分母判别式等于零时，分母为完全平方项，令分母的一次因

1

2

式为中间变量用第一换元积分法转化为u的不定积分进而得解。当

分母判别式小于零时，分母为完全平方项加上一个正数，可转化为

1

1+u2的不定积分进而得解；

注意事项：

1、⎰

f(x)dx

表示的是所有原函数，中间过程和最后结果都不要忘了

+C，当计算一个复杂的不定积分时，如果在计算过程中前面算某个

不定积分时已经使用了C1代表任意常数，后面使用的其他任意常数要和C1区别一下，不要使用同一个符号

φx=U2、用第一换元积分法的时候，要想令()，就要在被积函数里凑φ'xφ'xdx=d(φ(x))=dU出来()这个因式，然后()

3、不管是用第一还是第二换元法，最后的结果都要转化成关于原变量的函数，当使用第二换元法时，注意x=φ(t)的单调性要求对t取值范围的限制，这往往会影响开根号时的符号问题

4、我们使用分部积分公式是想把一个不容易计算的不定积分，转化为一个更容易求出的另一个不定积分，那么事先就要考虑应该对谁求导对谁取原函数，用几次分部积分公式可以求出。

第五章 定积分

知识要点：

f(x)dxa,b]⎰[f(x)a1、在闭区间上的定积分，表示的是函数f(x)图像

b

与x轴所围成的曲边梯形（夹在直线x=a与x=b之间那部分）位于x轴上方图形的面积减去位于x轴下方图形的面积，是由一个极限的形式来定义的：

⎰

ba

f(x)dx=lim∑f(ξi)∆xi

λ→0i=1

n

2、熟记定积分的七个性质，尤其是定级分中值定理：

⎰

ba

f(x)dx=f(ξ)(b-a)

，这里

ξ∈(a,b)

以及：（8）当a=b时, ⎰a

b

f(x)dx=0

(9) ⎰a

b

f(x)dx=-f(x)dx

b

⎰

a

3、 掌握积分上限函数及其求导公式：

(⎰

更复杂的情形：

xa

f(t)dt=f(x)

)

'

(⎰

b(x)a(x)

f(t)dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)

)

'

4、 牛顿—莱布尼兹公式：若函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上

的一个原函数,则

⎰

还可以表示为：

b

a

f(x)dx=F(b)-F(a)

⎰⎰

ba

b

a

f(x)dx=

(⎰

f(x)dx

)

ba

5、 定积分第一换元法：

f(φ(x))φ'(x)dx=⎰

φ(b)φ(a)

f(U)dU

6、 定积分第二换元法：

⎰

b

a

f(x)dx=⎰

φ-1(b)φ-1(a)

f(φ(t))φ'(t)dt

7、定积分的分部积分公式：

⎰

ba

f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)

b

-⎰a

ba

f(x)g'(x)dx

8、 对于有理函数的定积分，可先求出有理函数的不定积分，然后

用牛顿--莱布尼兹公式解出 9、 对于无穷区间上的三种反常积分：

⎰

+∞a

f(x)dx=F(+∞)-F(a)

F(+∞)=limF(x)

x→+∞这里F(x)是f(x)的一个原函数，当极限存在时，我们

称反常积分⎰

+∞a

f(x)dx

收敛，反之则称反常积分⎰

+∞a

f(x)dx

发散；

⎰

之则称反常积分⎰

b-∞

b-∞

f(x)dx=F(b)-F(-∞)

b-∞

F(x)极限存在时，我们称反常积分⎰当F(-∞)=xlim→-∞

f(x)dx收敛，反

f(x)dx发散；

⎰

F(x)和当F(-∞)=xlim→-∞

+∞-∞

f(x)dx=F(+∞)-F(-∞)

x→+∞

F(+∞)=limF(x)

极限都存在时，我们称反常积分

+∞-∞

⎰

+∞-∞

f(x)dx收敛，反之则称反常积分⎰

a-aa-a

f(x)dx发散。

10、 如果f(x)是奇函数，则⎰

如果f(x)是偶函数，则⎰注意事项： 1、⎰

Ua

f(x)dx=0

；

a0

f(x)dx=2⎰

f(x)dx

。

f(x)dx

也是个积分上限函数，是个关于变量U的函数，且有：

ddU

2、定积分的值只与积分上下限和被积函数有关，与积分变量无关：

a

(⎰

U

f(x)dx=f(U)

)

⎰

ba

f(x)dx=⎰

ba

f(t)dt=⎰

ba

f(U)dU

3、 当使用定积分的第一第二换元积分法的时候，因为积分变量要

发生变化，所以积分变量的取值范围也必然要发生相应变化，注意一定要变更相应的积分上限和积分下限

4、 见到形式比较复杂的定积分，如果积分区间关于原点对称，则

注意观察被积函数是否是一个奇函数与某个简单函数之和

第六章 定积分的应用

知识要点：

4、 掌握微元法的基本思想和基本步骤：

微元法即如何把待求的物理量U（总量）表示为定积分的方法： 第一步：选取合适的积分变量s及其变化区间[a,b]

第二步：在区间[s,s+ds]上计算总量U落在此极小区间上部分分量∆U的近似值dU（U的微元）：∆U≈dU=f(s)ds

第三步：将物理量U表示为定积分，并计算出定积分的值：

U=⎰f(s)ds

ab

5、 用微元法计算平面图形的面积U（直角坐标系及参数坐标系

下）：

第一步：选取合适的积分变量s及其变化区间[a,b]（注：参数坐标系下，也是要么选择x，要么选择y，这一步不要选参变量做积分变量）

第二步：计算总面积U落在极小区间[s,s+ds]上部分分量∆U（在区间长度极小时近似于一个矩形）的近似值dU（将其当作矩形计算出来的小矩形的面积）：∆U≈dU=f(s)ds

（注：如果是在参数坐标系下，会遇到这样的问题：如果选择积分变量为x，在计算小矩形面积dU时需要将其表示为f(x)dx的形式，此时不用解出y关于x的表达式，如果y关于x只有一个解则用y来代替，如果有两个，则一个用y1，另一个用y2；积分变量是y时同理）

第三步：将总面积U表示为定积分，并计算出定积分的值：

U=⎰f(s)ds

ab

（注：参数坐标系下，要对定积分表达式应用第二换元积分法将其转化为关于参变量的定积分，然后再求解） 6、 用微元法计算旋转体的体积U：

第一步：选取合适的积分变量s及其变化区间[a,b]（绕哪个轴旋转就选哪个轴做积分变量）

第二步：计算总体积U落在极小区间[s,s+ds]上部分分量∆U（在区间长度极小时近似于一个圆柱或圆环）的近似值dU（将其当作圆柱或圆环计算出来的小圆柱或小圆环的体积）：

∆U≈dU=f(s)ds

第三步：将总体积U表示为定积分，并计算出定积分的值：

U=⎰f(s)ds

ab

7、 掌握曲线求弧长的公式：

（一）直角坐标系下：y=f(x) x∈[a,b] 所求光滑曲线的弧长：

s=⎰

ba

+y'2dx

（二）直角坐标系下：x=f(y) y∈[c,d]

所求光滑曲线的弧长：s=⎰c

d

⎧x=ϕ(t)

(α≤t≤β)⎨

y=ψ(t)

（三）参数坐标系下：⎩

所求光滑曲线的弧长：

s=⎰

β

α

'2(t)+ψ'2(t)dt.

第七章 微分方程

知识要点：

1、 微分方程: 含有自变量，未知函数及其各阶导函数的方程

微分方程的阶：未知函数最高阶导数的阶数

通解：所有的解（n阶微分方程的通解表达式中含n个任意常数） 特解：某一个解

微分方程的积分曲线：解的图像

初始条件:用来确定通解中n个任意常数的条件，一般有n个 初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题 2、 掌握可分离变量的微分方程的解法：

fxdx=g(y)dy如果一个一阶微分方程可以化为：()的形式，

则称此微分方程为可分离变量的微分方程，解法如下： （一） 对等号两边同时取不定积分，得到隐式通解（隐函数

形式的通解）

（二） 如果可以从隐式通解中反解出显函数形式的解则继续

求解，否则停止

3、 掌握齐次方程的解法：

dyy

=f()

x的形式，则称如果一个一阶微分方程可以化为：dx

此微分方程为齐次方程，解法如下：

（一） 作变量替换：y=ux，则原方程转化为一个变量可分离

微分方程：

u+x

du

=f(u)dx

（二） 求解此变量可分离方程，并在通解表达式中代入

u=

y

x，从而得到原方程的通解

4、 掌握一阶线性微分方程的解法：

dy

+P(x)y=Q(x)

如果一个一阶微分方程可以化为：dx的形式，

则称此微分方程为一阶线性微分方程。

Q(x)≡0时方程称为齐次的；否则，方程称为非齐次的。一

阶非齐次线性微分方程解法如下：

（一） 写出对应的一阶齐次线性微分方程（实际上是个变量

可分离的微分方程），并求出此齐次方程的通解

（二） 把齐次方程通解表达式中的任意常数C替换为u(x)

（常数变易法），设此函数为原方程的通解并代入原方程（等号左边必然有两项可以消掉）

（三） 从上述方程中求出u(x)，进而得到原方程的通解 5、 掌握可降阶的高阶微分方程的解法：

(n)

y=f(x)型的微分方程 一、

fx

解法：对()取n次不定积分

二、y''=f(x,y')型

p'=f(x,p)

解法：（一）令y'=p，则原方程转化为： （二）求出通解：

p=φ(x,c)

，即

y'=φ(x,c)

φx,c

，对()取

不定积分即得出原方程通解

d2ydy

6、 对于二阶线性微分方程：2+P(x)+Q(x)y=f(x)

dxdx

齐次： y''+P(x)y'+Q(x)y=0 (1)

非齐次：y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)(2)

两个函数线性相关：其中某个函数是另一个函数的常数倍 两个函数线性无关：任何一个函数都不是另一个函数的常数倍

定理1：如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,则y=C1y1+C2y2即为(1)的通解

定理2：如果函数y1(x)与y2(x)是方程(2)对应齐次方程（1）

*

y的两线性无关的特解，(x)是方程（2）的一个特解，则

方程（2）的通解为：

y=C1y1+C2y2+y*

定理3：如果函数y1(x)与y2(x)是方程(2)的两个特解，则

y1(x)-y2(x)

必为其对应齐次方程（1）的一个特解

7、 掌握二阶常系数齐次线性微分方程：y''+py'+qy=0的解

法：

第一步：写出对应的特征方程：r2+pr+q=0

第二步：（一）如果特征方程有两个不相等的实根r1和r2，则通解为：

y=C1er1x+C2er2x

（二）如果特征方程有两相等实根r0，则通解为：

y=C1er0x+C2xer0x

r2=α-iβ；r1=α+iβ ，（三）如果特征方程有一对共轭的复根：

则通解为y=C1eαxcosβx+C2eαxsinβx

8、 掌握一类特殊的二阶非齐次常系数线性微分方程的解法：

y''+py'+qy=eλxPm(x) (3)

注意：λ=0时，右端项变为一个多项式

第一步：求出所对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解

y=C1y1+C2y2

第二步：设（3）的一个特解为

y*=xkQm(x)eλx

（当λ是方程

（3）对应的齐次方程的特征方程的单根时取k=1；重根时取k=2；不是根时取k=0），将此特解代入方程（3），得到一个方程组

第三步：求出方程组的解（Qm(x)的系数），进而得到特解y* 第四步：（3）的通解即为9、 记住一些常用的变形：

（一）（二）

Cf(x)=Cf(x)

y=C1y1+C2y2+y*

±eCf(x)=C1f(x)

10、 凡是求微分方程在给定条件下的特解，都是先求出微分方

程的通解，然后再代入条件求出特解