数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

第２５卷第５期２０１０年ｌＯ月

天中学刊

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｚｈｏｎｇ

、，０１．２５Ｎｏ．５

ｏｃｔ．２０ｌＯ

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

王霞，张启虎

（郑州轻工业学院数学与信息科学系，河南郑州４５０００２）

摘要：数值分析中牛顿迭代法是求解非线性方程的基本方法．与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

关键词：非线性方程；牛顿迭代法；数值分析；效率指数；方程求根

中图分类号：Ｇ６４２，０２４１．７

文献标志码：Ａ

文章编号：１００６—５２６１（２０１０）０５—００７３—０２

数值分析是理工科学生必学的一门重要课程．数值分析课程要求学生掌握具体数值计算的方法与理论，强调算法的实际应用．数值分析课程的学生群体可分为两类：一类是信息与计算科学等专业的理科学生，其学习目标是“研究”和“创新”算法；另一类是工科学生，其主要学习目标是掌握算法的使用．这两个群体的学习目标不同，教学内容及侧重点也应有所区别．

科学研究和工程计算中常常遇到求解非线性方程（组）的问题．数值分析教材中，牛顿迭代法（ＣＮ法）［１－ｌ１］是求解非线性方程

ｆ（ｘ）＝０

（１）

方法１直接给出迭代函数的具体形式【１－２】．文【１］中，直接选取迭代函数ｇ（ｘ）＝Ｘ－－／（石）／厂，（ｘ），其对应的迭代格式为（２）式；文【２】直接给出了（２）式．

方法２利用泰勒公式导入牛顿迭代法【３＿８】，其基本思路是：设方程（１）的近似根为而，将函数／（工）在％处作泰勒展开，有

厂（ｘ）＝厂（．ｈ）＋ｆ’（‘）（石一工。）＋

厂弋Ｊ。）（ｘ—ｘ。）２／２１＋…．

用前面两项近似表示厂（ｘ），得近似线性方程

厂（％）＋厂７（％）（ｘ一矗）＝０．

设／，（ｘ。）≠０，令其解Ｘ＝Ｘｎ小则得（２）式．

（３）

方法３利用校正技术引入牛顿迭代法‘９１，基本思

的一种基本方法，其迭代格式为

Ｘｎ卅＝毛一厂（矗）／厂’（％），ｎ＝０，１，２，…．

（２）

路是：设方程（１）的近似根为％，其校正值Ｘｎ＋，＝％＋缸

能更好地满足方程（１），即／（‘＋。）ｚ０．将方程（１）的左

（２）式二次收敛于方程（１）的单根，因其收敛速度快，所以牛顿迭代法被广泛应用于非线性方程的求解．牛顿迭代法的引入方法直接关系到学生对此内容的理解和应用，因此，本文主要探讨牛顿迭代法的引入方法．

１

端用厂（ｘ）在而处的微分ｆ（ｘ。）＋厂，（％）缸来代替，则有ｆ（ｘ。）＋／，（工。）缸＝０，于是

缸＝Ｘｎ＋１一Ｘｎ＝一，（ｂ）／／７（．ｋ），

整理可得（２）式．

方法４引入一般的带待定函数的迭代函数，通过提高迭代法的收敛阶确定待定函数ｆ１０１１１，其基本思路是：由方程（１）总可以构造迭代函数

ｘ＝认ｘ）＝Ｊ－ｋ（ｘ）ｆ（ｘ），

牛顿迭代法的常见引入方法

牛顿迭代法是“非线性方程”这一章的重要一节，

由于与其他章节的联系很小，所以在不同数值分析教材中该章所处位置也不同．文『１－４］将该内容放在“数值积分与数值微分”之后，文［５—１１】将其放在“数值积分与数值微分”之前．

牛顿迭代法的常见引入方法可概括为以下４种：

收稿日期：２０１０—０１—１４

其中七（Ｊ）为待定函数，因为

认ｘ）＝１－ｋ＇（ｘ）ｆ（ｘ）－ｋ（ｘ）ｆ’（ｚ）

且Ｉ纵ｘ）Ｉ在根口附近越小其局部收敛速度越快，故令

∥（∞＝０，从而ｋ（ａ）＝ｌ／ｆ＇｛ａ），／，（优）≠０，于是得到迭

基金项目：河南省教育厅自然科学基金项目（２００８．７５５．６５）；郑州轻工业学院教改项目作者简介：王霞（１９７０－－），女，河南开封人，副教授．

万方数据

・７４・

王霞，张启虎：数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

代函数ｘ＝烈ｚ）＝Ｘ一／（ｘ）／／，（上），从而得到（２）式．

对于以上的４种方法，方法ｌ直接给出迭代函数，适用于使用“算法”的学生，而对于“研究”和“创新”算法的学生来说是不适用的；方法２利用泰勒公式引入牛顿迭代法，利于激发学生“创新”算法的兴趣；方法３一步步逼近问题的解，能够使学生深刻体会逐步逼近的数学思想；方法４能使学生更清楚地理解收敛阶的概念．

２牛顿迭代法的积分引入法及牛顿迭代法的改进２．１牛顿迭代法的积分引入法

下面给出一种新的引入牛顿迭代法的方法‘１２１，此方法的引入需要以数值积分的知识作为基础，也就是说要把“数值积分与数值微分”这一章放在“非线性方程的数值解法”之前讲授．

令口是光滑函数ｆ（ｘ）的零点，考虑方程ｆ（ｘ）＝０的数值解．由牛顿定理，显然有

，（工）＝／（以）＋ｅｆ７（ｔ）ｄｔ．

（４）

将（４）式右端的积分值用数值积分中的左矩形公式近似代替，并令工＝口，可得０。ｆ（ｘ。）＋（口一ｘ。）／，（ｘ。），从而解出口ｚＸｎ一／（％）／／，（以）．令口＝Ｘｎ“，即可得到

Ｘｎ＋１＝Ｘｎ一／（％）／／７（ｈ），ｎ＝０，１，２，…．这样，由积分方程和牛顿定理，利用数值积分中的左矩形公式就引入了牛顿法．这样的引入方法会带给学生这样一个思考：左矩形公式（或右矩形公式）是数值积分的一个简单的代替，其精度较低，因此得到的牛顿迭代法的收敛阶也较低，如果用精度较高的的迭代公式呢？若用梯形公式［／，（矗）＋／，（ｘ）】（ｘ—ｘ．）／２近似代替

％＋１＝Ｘ。－２ｆ（ｘ。）／【／’（Ｘｎ）＋ｆ７（工川）】，

（５）

ｆＺｎ＝Ｘｎ—ｆ（ｘ。）／厂，（％），。

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－２ｆ（ｘ。）／［／，（工．）＋／，（ｚ。）］，

、。７

沿着此思路，学生自然能想到两个数的平均不只万方数据

平均牛顿法等．

用／，（％）和／，（乙）的调和平均值代替厂，（％），可得到调和平均牛顿法（ＨＮ法）【”】，即

ｆ乙＝％一厂（％）／／，（ｘ。），

【Ｘｎ＋ｌ＝Ｘｎ－ｆ（ｘ。）［／，（ｘ。）＋厂，（ｚ。）】／［２／，（工。）／，（乙）】．

用／，（而）和／，（乙）的几何平均值代替／，（ｂ），可得到几何平均牛顿法（ＧＮ法）［１４１，即

ｋ＝Ｘｎ－－ｆ（ｘ。）／厂，（矗），

【Ｘｎ＋。＝ｘ．－ｆ（ｘ。）／ｓｇｎ［ｆ＇（ｘｏ）］√／，（ｋ）／，（磊）．

与一般教材上牛顿迭代法的引入方法相比，用积分方程引入牛顿迭代法更能体现数值计算中的“近似”和“构造”思想，便于进一步介绍牛顿法的各种改进参考文献：

大学出版社，２０００：１３０一１４２．

【２］林成森．数值计算方法［Ｍ】．北京：科学出版社，２００５，

３３—４１．

大学出版社，２００２，３４－－４３．

２００４．３２—３９．

高等教育出版社，１９９５，２６－－２６８．

交通大学出版社，１９８５．１９１－－１９７．

２００７．１５８—１６４．

北京：科学出版社，２００６，９０一９３．

社，２００４。１２３－－１２６．

高等教育出版社，１９９９，２３８－－２４７．

２００４．１３６—１３９．

Ｓ，ＦｅｍａｎｄｏＴＧＬ．ＡｖａｒｉａｎｔｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓ

ｍｅｔｈｏｄｗｉｔｈａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄｔｈｉｒｄ－ｏｒｄｅｒ

ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌ．

Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２０００，１３（８）：８７—９３．

ＡＹ．Ｓｏｍｅ

ｖａｒｉａｎｔｓｏｆＮｅｗｔｏｎ’ｓｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．

Ａｐｐｌ．Ｍａｔｈ．１ｅｔｔ．，２００４，１７：６７７－－６８２．

数学的实践与认识，２００７，３７（１）：７２－－７６．

［责任编辑张继金］

形式，有利于学生“创新”算法能力的培养和创新意识的形成．

【１】陈公宁，沈嘉骥．计算方法引论［Ｍ】．北京：北京师范

梯形公式近似代替（４）右端的积分项，能否得到更高阶２．２牛顿迭代法的改进

［３】孙志忠，袁慰平，闻振初．数值分析［Ｍ】．南京：东南

【４】马东升．数值计算方法［Ｍ】．北京：机械工业出版社，

［５］李庆扬，易达义，王能超．现代数值分析［Ｍ】．北京：

［６】邓建中，葛仁杰，程正兴．计算方法【Ｍ］．西安：西安

［７】石东洋．数值计算方法［Ｍ】．郑州：郑州大学出版社，

【８】张韵华，奚梅成，陈效群．数值计算方法与算法［Ｍ】．

［９】９王能超．计算方法简明教程［Ｍ】．北京：高等教育出版

［１０］施吉林，刘淑珍，陈桂芝．计算机数值方法［Ｍ】．北京：

【ｌｌ】白峰杉．数值计算引论［Ｍ】．北京：高等教育出版社，

（４）式右端的积分项，利用上面的方法可得

其中ｒ／＝０，１，２，…．（５）式的迭代需要隐式计算，这会给求解带来很大麻烦，为避免隐式计算，下面给出预估一校正的方法，即

［１２】Ｗｅｅｒａｋｏｏｎ其中珂＝０，１，２，…．可以证明（６）式为三阶收敛，它是对牛顿迭代法的改进，其效率指数为３＇／，＝１．４４２，大于牛顿法的效率指数２ｖ２＝１．４１４．与（６）式对应的方法称为梯形牛顿法或代数平均牛顿法（ＡＮ法）Ｂ２１．

代数平均．这时，教师可介绍调和平均牛顿法、几何

［１３】ＯＺＢＡＮ

［１４】王霞，赵玲玲，李飞敏．牛顿方法的两个新格式［Ｊ】．

数值分析中牛顿迭代法的引入方法探讨

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

王霞， 张启虎

郑州轻工业学院,数学与信息科学系,河南,郑州,450002天中学刊

JOURNAL OF TIANZHONG2010，25(5)0次

参考文献(14条)

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3. 孙志忠,袁慰平,闻振初.数值分析[M].南京:东南大学出版社,2002,34-43.4. 马东升.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2004,32-39.

5. 李庆扬,易达义,王能超.现代数值分析[M].北京:高等教育出版社,1995,26-268.6. 邓建中,葛仁杰,程正兴.计算方法[M].西安:西安交通大学出版社,1985,191-197.7. 石东洋.数值计算方法[M].郑州:郑州大学出版社,2007,158-164.

8. 张韵华,奚梅成,陈效群.数值计算方法与算法[M].北京:科学出版社,2006,90-93.9. 王能超.计算方法简明教程[M].北京:高等教育出版社,2004,123-126.

10. 施吉林,刘淑珍,陈桂芝.计算机数值方法[M].北京:高等教育出版社,1999,238-247.11. 白峰杉.数值计算引论[M].北京:高等教育出版社,2004,136-139.

12. Weerakoon S,Fernando T G L.A variant of Newton's method with accelerated third-orderconvergence[J].Appl.Math.lett.,2000,13(8):87-93.

13. (O)ZBAN A Y.Some variants of Newton's methods[J].Appl.Math.lett.,2004,17:677-682.14. 王霞,赵玲玲,李飞敏.牛顿方法的两个新格式[J].数学的实践与认识,2007,37(1):72-76.

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关键词：神经动力学新方法，梯度动力学方法，时变与静态的非线性方程求解，局部极小点，神经动力学新方法的离散模型，牛顿迭代法

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