较为全面的解三角形专题(高考题)[部分附答案]

这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针对高考数学第一道大题，一定不要失分。——（下载之后删掉我）

B⎫⎛

1、在b、c

，向量m=2sinB,，n= cos2B,2cos2-1⎪，且m//n。

2⎭⎝

(（I）求锐角B的大小； （II）如果b=2，求∆ABC的面积S∆ABC的最大值。 B

(1)解：m∥n ⇒ 2sinB(2cos21)＝－3cos2B

2⇒2sinBcosB＝－3cos2B ⇒ tan2B＝－3 2ππ

∵0＜2B＜π,∴2B＝3,∴锐角B＝3 ……2分

π5π

(2)由tan2B＝－3 ⇒ B＝3或6

π

①当B＝3时，已知b＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立) 13

∵△ABC的面积S△ABC＝2acsinB＝4ac≤3 ∴△ABC的面积最大值为3

……1分

……3分

……4分

5π

②当B＝6时，已知b＝2，由余弦定理，得：

4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝(2＋3)ac(当且仅当a＝c62时等号成立) ∴ac≤4(2－3)

……1分

11

∵△ABC的面积S△ABC＝2acsinB＝4ac≤2－3 ∴△ABC的面积最大值为2－3

……1分

5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB. （I）求cosB的值； （II）若BA⋅BC=2，且b=22，求a和cb的值. 解：（I）由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，

则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,1

cosB=.

3 …………6分 因此

（II）解：由⋅=2,可得acosB=2，

1

又cosB=,故ac=6,

3

由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,

所以(a-c)2=0,即a=c,

所以a＝c＝6 6、在∆

ABC中，cosA=

，cosB=（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）设AB，求∆ABC的面积.

⎛π⎫A、B∈cosA=

cosB= 0

⎪

⎝2⎭，所以5，10，得（Ⅰ）解：由sinA=

sinB= …… 3分

因为

cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=

…6分

且0

C=

π.

4 ………… 7分

根据正弦定理得

ABACAB⋅sinB= ⇒AC==sinCsinBsinC， ………….. 10分

16AB⋅AC⋅sinA=.

5 所以∆ABC的面积为2

7、在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量m=(1,2sinA)，

)（II）求sin(B+n=(sinA,1+cosA),满足m//n,b+c. （I）求A的大小；6的值.

2

解：（1）由m//n得2sinA-1-cosA=0

……2分

2

即2cosA+cosA-1=0

∴cosA=

A是∆ABC的内角,cosA=-1舍去 ∴A=3 ………………6分

1

或cosA=-12 ………………4分

π

（2） b+c=3a

由正弦定理，

B+C=

sinB+sinC=3sinA=

3

2 ………………8

分

2π32

∴sinB+si-B)=π

32 3

………………10分

∴

333π3

cosB+sinB=即sin(B+)=22262

8、△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+cos（A+B）=0，.当a=4,c=，求△ABC的面积。

解：由sin2C+cos(A+B)=0且A+B+C=π

2sinCcosC-3cosC=0所以,cosC=0或sinC=

2 ……6分

有

由

a=4,c=,有c

π,则C=23， ……8分

2222

c=a+b-2ab⋅cosC有b-4b+3=0,解得b=1或b=3 由余弦定理

当

b=3时,S=

1

ab⋅sinC=332

当b=1时,S=

1

ab⋅sinC=.2

1

2

13

9、在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知tanA=,tanB=，且最长边的边长为l.求：

（I）角C的大小； （II）△ABC最短边的长.

11+

tanA+tanB=-1=-=-

111-tanAtanB1-⨯239、解：（I）tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）

∵0

C=

3π

4

……………………5分

（II）∵0tanB=

，最长边长为c……………………7分

由

1sinB=

3，解得

……………………9分

1=

bc

=

由sinBsinC

，∴

b=

c⋅sinB

=sinC

………………12分

10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7，且

4sin2

A+B7

-cos2C=. 22

(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积. 10、解：(1) ∵A+B+C=180°

4sin2

A+B7C7

-cos2C=得4cos2-cos2C=2222 …………1分

由

∴

4⋅

1+cosC7-(2cos2C-1)=22 ………………3分

2

整理，得4cosC-4cosC+1=0 …………4分

解 得：

cosC=

1

2 ……5分

∵0︒

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分

2

7=(a+b)-3ab ………………8分 ∴

由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分

ab=6……10分

S∆ABC=

113absinC=⨯6⨯=2222 …………12分

∴

m=(2b-c,a)，n=(cosA,-cosC)，12、在∆ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

且m⊥n。

π

(取最大值时，求角) ⑴求角A的大小； ⑵当y=2si2nB+sinBB的大小 6解：⑴由m⊥n，得m n=0，从而(2b-c)cosA-acosC=0 由正弦定理得2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0

2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0

A,B∈(0,π)，∴

sinB≠0,cosA=

1π

A=

3 （6分） 2，∴

y=2sin2B+sin(2B+)=(1-cos2B)+sin2Bcos+

cos2Bsin

666 ⑵

πππ

=1+

1π

2B-cos2B=1+sin(2B-)226

0

2πππ7πππ

,-

由(1)得，

B=

π

3时，y取最大值2

即

13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若⋅=⋅=k(k∈R). （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c=2,求k的值. 解：（I） AB⋅AC=cbcosA,BA⋅BC=cacosB …………1分

又⋅=⋅∴bccosA=accosB

∴sinBcosA=sinAcosB

…………3分

即sinAcosB-sinBcosA=0

∴sin(A-B)=0 …………5分

-π

∴∆ABC为等腰三角形. …………7分

（II）由（I）知a=b

b2+c2-a2c2

∴AB⋅AC=bccosA=bc⋅=

2bc2 …………10分

c=2

∴k=1 …………12分

14、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosBb

. cosC2a+c

（I）求角B的大小； （II）若b，求△ABC的面积. 3，a+c=4

abc

=2RinAsinBsinC解：（I）解法一：由正弦定理s得

=2RsinA，b=2RsinB，cR=2sinC a

cosBbcosBsinB

osC2a+ccosC2sinA+sinC 将上式代入已知c

sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0 即2

sinAcosB+sin(B+C)=0 即2

∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0

1

sinA≠0，∴cosB=，

2 ∵

∵B为三角形的内角，∴

B=

2π3.

222222a+-cba+-bc

cos，cos2ac2ab 解法二：由余弦定理得

222

cosBba+c-b2abb

222

osC2a+c2aca+ca+b-c2 将上式代入c

+c-b=-ac 整理得a

222a+c-b-ac1

cosB=2ac2ac2 ∴

222

∵B为三角形内角，∴

B=

2

π3

2

b3，a+c=4，Bπ222

3代入余弦定理b=+ac-2accosB （II）将得

22

b=+(ac)-2ac-2accosB ，

113=162-ac(1)，∴ac=3

2 ∴ 13

SacsinB3△ABC

2. ∴

15、（2009全国卷Ⅰ理） 在∆ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC, 求b

15、解：在∆ABC中 sinAcosC=3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理

a2+b2-c2b2+c2-a2

a=3 c,222

2(a-c)=b2ab2bc有:化简并整理得：.又由已知a2-c2=2b∴4b=b2.解得b=4或b=0(舍）.

16、（2009浙江）在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

，且满足cos

A， =

2

AB⋅AC=3．

（I）求∆ABC的面积； （II）若b+c=6，求a的值．

cos

A34A ∴cosA=2cos2-1=,sinA==

255，又由AB⋅AC=3，25，

解析：（I

）因为

1

∴S∆ABC=bcsinA=2

2得bccosA=3,∴bc=5， 21世纪教育网

（II）对于bc=5，又b+c=6，∴b=5,c=1或b=1,c=5，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bccosA=

20，∴a=

17、6.（2009北京理）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=

cosA=

4

,b= 5

π

3

，

C的值； （Ⅱ）求∆ABC的面积. （Ⅰ）求sin

18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，

cos(A-C)+cosB=

32

,b=ac，求B. 2

1

19、（2009安徽卷理）在∆ABC中，sin(C-A)=1, sinB=.

3

（I）求sinA的值 ， (II)设

∆ABC的面积.

20、（2009江西卷文）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=

π

6

，

(1c=2b．

（1）求C； （2

）若CB⋅CA=1a,b，c． 21、（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

tanC=

sinA+sinB

,sin(B-A)=cosC.

cosA+cosB

（1）求A,C； （2

）若S∆ABC=3求a,c. 21世纪教育网

22、（2009天津卷文）在∆ABC中，BC=5,AC=3,sinC=2sinA （Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin2(A-

π

4

)的值。

23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，

若a2-b2=，

，则A=

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）

∆ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=

53

，cos∠ADC=，求AD 135

25．（2010年高考浙江卷理科18）在 ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= -1

。 4

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。 26、（2010年高考广东卷理科16）

已知函数f(x)=Asin(3x+ϕ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0

27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）

设∆ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sin2A=sin(+B) sin(-B) + sin2B。

33

(Ⅰ)求角A的值； (Ⅱ)

若AB AC=12,a=，求b,c（其中b

π

12

时取得最大值4．

2π12

α +)=,求sinα． 3125

ππ

解三角形专题（高考题）练习

1、在∆ABC中，已知内角A=

π

3

，边BC=设内角B=x,面积为y.

(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域； (2)求y的最大值. 2、已知∆ABC中，|AC|=1，∠ABC=1200，∠BAC=θ， 记f(θ)=AB∙BC，

（1）求f(θ)关于θ的表达式； （2）（2）求f(θ)的值域；

3、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2-b2= （1）求sin2

1ac. 2

Ａ→

→

A+C

+cos2B的值； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值． 2

4、在∆ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c

，向量m=2sinB,，

B⎫⎛

n= cos2B,2cos2-1⎪，且m//n。

2⎭⎝

(（I）求锐角B的大小； （II）如果b=2，求∆ABC的面积S∆ABC的最大值。 5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB. （I）求cosB的值； （II）若BA⋅BC=2，且b=22，求a和cb的值. 6、在∆

ABC中，cosA=

，cosB=. 510

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）设AB，求∆ABC的面积.

7、在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量m=(1,2sinA)，

（II）求sin(B+6)的值. n=(sinA,1+cosA),满足m//n,b+c. （I）求A的大小；

8、△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+3cos（A+B）=0，.

当a=4,c=，求△ABC的面积。

9、在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知tanA=,tanB=，且最长边的边长为l.求：

（I）角C的大小； （II）△ABC最短边的长.

10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =7，且4sin2A+B7-cos2C=. 221213

(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

11、已知△ABC中，

AB=4,AC=2,S∆ABC= （1）求△ABC外接圆面积. （2）求cos(2B+π)的值. 3

m=(2b-c,a)，n=(cosA,-cosC)，12、在∆ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

且m⊥n。

π ⑴求角A的大小； ⑵当y=2sin2B+sin(2B+)取最大值时，求角B的大小 6

13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若AB⋅AC=BA⋅BC=k(k∈R). （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若c=2,求k的值.

14、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBb. cosC2a+c

（I）求角B的大小； （II）若b，求△ABC的面积. 3，a+c=4

15、（2009全国卷Ⅰ理） 在∆ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC, 求b

16、（2009浙江）在∆ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c

，且满足cosA=， 2 AB⋅AC=3．

（I）求∆ABC的面积； （II）若b+c=6，求a的值．

17、6.（2009北京理）在∆ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求∆ABC的面积.

18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A-C)+cosB=32,b=ac，求B. 2π4cosA=,b=， 35

119、（2009安徽卷理）在∆ABC中，sin(C-A)=1, sinB=. 3

（I）求sinA的值 ， (II)设

∆ABC的面积.

20、（2009江西卷文）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A=

π

6，

(1c=2b．

C（1）求； （2

）若CB⋅CA=1a,b，c．

21、（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，

tanC=sinA+sinB,sin(B-A)=cosC. cosA+cosB

（1）求A,C； （2

）若S∆ABC=3求a,c. 21世纪教育网

22、（2009天津卷文）在∆ABC中，BC=5,AC=3,sinC=2sinA

（Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求sin(2A-π

4)的值。

23、(2010年高考天津卷理科7)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，

若a2-b2=，

，则A=

（A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

24．(2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分10分）

∆ABC中，D为边BC上的一点，BD=33，sinB=53，cos∠ADC=，求AD 135

25．（2010年高考浙江卷理科18）在 ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C= -1。 4

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。

26、（2010年高考广东卷理科16）

已知函数f(x)=Asin(3x+ϕ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0

(1) 求f(x)的最小正周期； (2) 求f(x)的解析式；

(3) 若f(

27、（2010年高考安徽卷理科16）（本小题满分12分）

设∆ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对边长，并且

sin2A=sin(+B) sin(-B) + sin2B。 33

(Ⅰ)求角A的值； (Ⅱ)

若AB AC=12,a=b,c（其中b

一. 填空题（本大题共15个小题，每小题5分，共75分）

1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形.

2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则的值为 .

2223.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=（b+c-a），则A= .

4.在△ABC中，BC=2，B=

222，若△ABC的面积为，则tanC为 . 5.在△ABC中，a-c+b=ab,则C= .

6.△ABC中，若a+b+c=2c(a+b),则C= .

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=8.在△ABC中，若∠C=60°，则+= . ,c=,则B= . 444222

9.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,

灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，

则灯塔A与灯塔B的距离为 km.

10.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时.

11. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=

222，b=，B=120°,则a= . ac，则角B的值为 . 12. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=

13. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航 行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船是每小时 航行________ 海里.

14.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .

15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（b-c）cosA=acosC，则cosA= . 00