介值定理及其应用
邯郸学院本科毕业论文
题 目 学 生 指导教师年 级 专 业 二级学院 (系、部)
介值定理及其应用 姚 梅 王淑云 教授 2008级本科 数学与应用数学 数学系 邯郸学院数学系 2012年6月
郑重声明
本人的毕业论文是在指导教师王淑云的指导下独立撰写完成的.如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督.特此郑重声明.
毕业论文作者(签名):
年 月 日
介值定理及其应用
摘 要
介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一,在《数学分析》教材中,一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.本课题通过构造辅助函数,应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明.介值定理应用非常广泛,应用介值定理能很巧妙的解决一些问题.如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等.此外本文还对介值定理进行了推广,并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用.
关键词:介值定理 连续函数 根的存在定理 应用
Intermediate value theorem and its application
Yao Mei Drected by Professor Wang Shuyun
ABSTRACT
Intermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In" mathematical analysis" textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monotone bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. Intermediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem.
KEY WORDS:Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root
Application
目 录
摘 要 . .............................................................I 外文页 . ............................................................II 前 言 . .............................................................1 1 介值定理及其证明方法 . .............................................2
1.1 介值定理的内容 ..............................................2 1.2 介值定理的四种证明方法 ......................................2
1.2.1 应用确界原理 . ..........................................2 1.2.2 应用区间套定理 . ........................................3 1.2.3 应用致密性定理证明 . ....................................4 1.2.4 应用柯西收敛准则证明 . ..................................6
2 介值定理的应用 . ...................................................7
2.1 利用介值定理判断方程根的存在性 ..............................7 2.2 介值定理在解不等式中的应用 ..................................9 2.3 介值定理在证明等式中的应用 .................................11 2.4 介值定理在实际问题中的应用 .................................13 3 介值定理的推广 . ..................................................15
3.1 一元函数介值定理的推广 .....................................15
3.1.1 推广介值定理的内容 . ...................................15 3.1.2 推广的介值定理的一个应用 . .............................16 3.2 二元函数的介值定理 . .......................................19
3.2.1 二元函数介值性定理的内容 . .............................19 3.2.2 二元函数介值定理的应用 . ...............................20
参考文献 . ..........................................................22 致 谢 . ............................................................22
前 言
介值定理是闭区间上连续函数的一个重要性质.这一定理虽然简单,但应用却异常广泛,微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理.介值定理(Intermediate value theorem )首先由伯纳德·波尔查诺提出和证明.对波尔查诺来说有点不幸的是:他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视,他的许多成果等到后来才被重新发现,但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了.
华东师范大学版的《数学分析》对介值定理的描述是:设函数f 在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ) ≠f (b ) . 设μ为介于f (a ) 与f (b ) 之间的任何实数(f (a )
f (a ) >μ>f (b ) ), 则至少存在一点x 0∈(a , b ) , 使得f (x 0) =μ.介值定理是闭区间上连续
函数的重要性质之一,在《数学分析》教材中一般应用有关实数完备性的6个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明.在这里我们通过巧妙地构造辅助函数,应用区间套定理,致密性定理,柯西收敛准则以及确界原理来证明.介值定理在连续函数中具有广泛的应用性.比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等.
当然还有其它许多关于介值定理的研究,他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的,例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章《介值定理的推广及其应用》,一方面他把闭区间推广为任意区间,另一方面从常数f (a ) 和f (b ) 入手,f (a ) 和f (b ) 也可以为
-∞或+∞.利用推广的介值定理,得到了求一类方程绝对误差为0. 1m (m ∈N ) 的近似解的一种好方法.
此外二元函数介值定理的介绍,拓宽了研究范围,加深了学习难度.使我们能够更加努力地学习.
1 介值定理及其证明方法
1.1 介值定理的内容
定理[1] 设函数f 在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ) ≠f (b ) . 设μ为介于f (a ) 与f (b ) 之间的任何实数(f (a ) μ>f (b ) ), 则至少存在一点x 0∈(a , b ) , 使得
f (x 0) =μ.
这个定理表明,若f 在[a , b ]上连续,又不妨设f (a )
[f (a ), f (b )]⊂f ([a , b ]).
推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ) 与f (b ) 异号(即
f (a ) f (b )
f (x 0) =0.
即方程f (x ) =0在(a , b ) 内至少有一个根.根的存在定理也就是零点定理.在下面一些问题的证明中,我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题,并且借用根的存在定理证明介值定理.
1.2 介值定理的四种证明方法 1.2.1 应用确界原理[1]
不妨设f (a )
g (a ) 0.于是定理的结论转化为:存在x 0∈(a , b ), 使得g (x 0) =0.这个简单的情
形即为根的存在性定理.
记E ={x g (x ) >0, x ∈[a , b ]}. 显然E 为非空有界集(E ⊂[a , b ]且b ∈E ), 故由确界原理,E
有下确界,记x 0=inf E . 因由连续函数的局部保号性,存在δ>0, 使得在[a , a +δ) 内g (x ) 0, 由此易见x 0≠a , x 0≠b , 即x 0∈(a , b ) .
下证g (x 0) =0.倘若g (x 0) ≠0, 不妨设g (x 0) >0, 则又由局部保号性,存在U (x 0; η)
(⊂(a , b )), 使在
g (x ) >0, 特别有g (x 0-) >0⇒x 0-∈E .但这与x 0=inf E 相矛盾,
22
ηη
故必有g (x 0) =0.
1.2.2 应用区间套定理[1]
我们可以把问题转换为证明根的存在定理,即若函数g 在[a , b ]上连续g (a )
g (b ) >0,则存在x 0∈(a , b ) 使得g (x 0) =0.
将[a , b ]等分为两个子区间[a , c ]与[c , b ].若g (c ) =0,则c 即为所求;若g (c ) ≠0,则当g (c ) >0时记[a 1, b 1]=[a , c ],当g (c ) 0,且[a 1, b 1]⊂[a , b ],b 1-a 1=
1
(b -a ) . 2
再从区间[a 1, b 1]出发,重复上述过程,得到:或者在[a 1, b 1]的中点c 1上有g (c 1) =0,或者有闭区间[a 2, b 2],满足g (a 2) 0,且[a 2, b 2]⊂[a 1, b 1],b 2-a 2=
将上述过程不断地进行下去,可能出现两种情形:
(1) 在某一区间的中点c i 上有g (c i ) =0,即c i 即为所求;
1
(b -a ) . 22
(2) 在任一区间的中点c i 上均有g (c i ) ≠0,则得到闭区间列{[a n , b n ]},满足
g (a n ) 0,且
[a n +1, b n +1]⊂[a n , b n ],b n -a n =
1
(b -a ), n =1, 2, . 2n
由区间套定理,存在点x 0∈[a n , b n ],n =1, 2, . 下证g (x 0) =0. 倘若g (x 0) ≠0, 不妨设
g (x 0) >0, 则由局部保号性,存在U (x 0; δ), 使在其内有g (x ) >0. 而由区间套定理的推论,当但这与[a n , b n ]选取时应满足的g (a n ) 0.相矛盾,故必有g (x 0) =0.
1.2.3 应用致密性定理证明
先证明下面两个引理
引理1[2] 设{x n }是有界数列,而且lim (x n -1-x n ) =0,则{x n }的聚点的集合是[a , b ],其
n →∞
中a =lim x n , b =lim x n ,
n →∞
n →∞
证明 根据定义,a 与b 都是{x n }的聚点,故我们只要证明a 与b 之间的任意实数
x (a
',必有n *>n 0'存在,使得x n *-x 0及任给的正整数n 0
''时,恒有x n +1-x n n 0事实上,由假定可知必有正整数n 0
', n 0''}, 则数列{x n }∞'''令n 0=max {n 0n =n 0+1 中必至少有两项x n 和x n 存在,使
'x (因为否则的话,例如,无小于x 的项,则必x n ≥x ,此与a
n →∞
不妨设n '
n *≤n ''-1,且x n *x ,
因此n *>n 0,且x n *-x
先取ε1=1, N 1=1,则存在x n 1(n 1>1) ,使x n 1-x
ε2=,N 2=n 1,则存在x n 2(n 2>n 1) ,使x n -x
2
又取ε3=, N 3=n 2,则存在x n 3(n 3>n 2) ,使x n 3-x
如此继续下去,得到{x n }的一个子列{x n k },满足x n k -x
x n k →x (k →∞) ,即x 是{x n }的一个聚点.
引理2[3] 设f 在闭区间[a , b ]连续,数列{x n }⊂[a , b ]且lim f (x n ) =A ,证明存在点
n →∞
ξ∈[a , b ],使得f (ξ) =A .
证明 因为{x n }⊂[a , b ],所以{x n }有界.由致密性定理“有界数列必有收敛子列”可
知{x n }中必有收敛子列x n k ,设lim x n k =ξ.由于a ≤x nk ≤b , 故ξ∈[a , b ].又lim f (x n ) =A ,
k →∞
n →∞
{}
故lim f (x n k ) =A , .由于f 在闭区间[a , b ]连续,因而
k →∞
A =lim f (x n k ) =f (lim x n k ) =f (ξ) .
k →∞
k →∞
下面对根的存在性定理进行证明
证明 取[a , b ]的中点,记为x 1,再取[a , x 1]及[x 1, b ]的中点,分别记为
x 2, x 3,且
x 1-x 2
1
(b -a ) . 2
又取[x 3, b ],[x 1, x 3],[x 2, x 1],[a , x 2]的中点,顺次记为x 4, x 5, x 6, x 7, 且
x 3-x 4
1
(b -a ), i =4, 5, 6. 22
然后取[a , x 7],[x 7, x 2],[x 2, x 6],[x 6, x 1],[x 1, x 5],[x 5, x 3],[x 3, x 4],[x 4, b ]的中点,顺次 记为x 8, x 9, x 10, x 11, x 12, x 13, x 14, x 15, 且
x 7-x 8
1
(b -a ), i =8, 9, 10, , 14. 23
如此继续下去可得到数列{x n },满足:对任意的正整数n ,存在正整 数k ,使2k ≤n +1≤2k +1,从而有
x n +1-x n ≤
1
(b -a ) . 2k
由于g (x ) 在闭区间[a , b ]连续,所以g (x ) 在闭区间[a , b ]上一致连续且有界,因而,对任给的ε>0,存在δ>0,及正整数N ,当n , k >N 时,有
x n +1-x n ≤
1
(b -a )
因而g (x n +1) -g (x n )
lim (g (x n +1) -g (x n )) =0.
n →∞
由引理2 得{g (x n )}的聚点的集合是[α, β],其中α=lim g (x n ), β=lim g (x n ),
n →∞
n →∞
2n +12n +1
显然{x n }的子列{x n i }:x 7, x 8, x 31, x 32, , x 2-1, x 2, 收敛于a ;{x n }的子列{x n i }:2n 2n
x 3, x 4, x 15, x 16, , x 2-1, x 2, , 收敛于b .
由于g (x ) 在[a , b ]上连续, 所以有
lim g (x n i ) =g (a ), lim g (x n j ) =g (b ), i →∞j →∞
即g (a ) 和g (b ) 都为数列{g (x n )}的聚点.因为g (a ) 0, 所以α0.
0∈(α, β) , 即0为数列{g (x n )}的聚点.也即存在{g (x n k )}(x n k ⊂[a , b ])且lim g (x n k ) =0. k →∞
由引理2 得, 存在点ξ∈(a , b ), , 使得g (ξ) =0.
1.2.4 应用柯西收敛准则证明[4]
假设∀x ∈(a , b ), 有g (x ) ≠0, 设X ={g (x ) 0x ∈[a , b ]}, 显然X 和Y 非空,(因为g (a ) 0, 所以g (a ) ∈X , g (b ) ∈Y ) 且X ⋂Y =φ.
将区间[a , b ]二等分, 若g (a +b a +b ) >0则记左半个区间为[a 1, a 2]; 若g ()
个区间为[a 1, a 2].总之有g (a 1) ∈X , g (a 2) ∈Y , 如此继续下去, 得到数列{a n }{, b n }满足:
(1) a
取数列{c n }:a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n , b n ,..., 则数列{c n }满足柯西条件,即∀ε>0, 存在正整数N , 当n , m >N 时,c n -c m 0存在正整数N , 有0
增性,有 ε2.当n , m >N 时,根据数列的递
a n -a m =a n -α+α-a m ≤a n -α+α-a m
同理可得,c n , c m 为数列{b n }中的项的情况.当c n , c m 一个为数列{a n }中的项时,一个为数列{b n }中的项时,由(2)得:∀ε>0, 存在正整数N '(>N ), 当n >N '时, b n -a n N '时
b n -a m =b n -a n +a n -a m ≤b n -a n +a n -a m
由柯西收敛准则得{c n }收敛.
设lim c n =ξ.由于g (x ) 在[a , b ]上的连续,所以数列{g (c n ) }收敛于g (ξ), 从而g (ξ) ∈X n →∞
或g (ξ) ∈Y .
不妨设g (ξ) ∈X , 根据数列极限的保号性,存在正整数N , 当n >N 时, g (c n )
以上我们总共列举了四种方法来证明介值定理,应用确界原理和区间套定理来证明比较简单,易于学习者明白.对于另外两种方法,则需要储备大量的知识,来理解.对于初学者来说理解起来比较吃力,但这也是证明的一种方法,有利于学习者多多思考,开阔眼界,为以后的学习提供帮助.其实还有其他的方法来证明介值定理,由于篇幅有限,在此不在一一列举.
2 介值定理的应用
2.1 利用介值定理判断方程根的存在性
在证明一些方程根的存在性时,如果没有给出具体方程往往很难求出根.即使给出了方程,如果方程特别复杂,那么想证明根的存在性,那也是很费劲的.我们往往不能采用先求出其根而后说明根存在的方法.利用连续函数在闭区间上的重要性质,介值定理或推论(根的存在定理)易得出存在使函数值为零的点,也就是可得出存在使方程成立的根.介值定理在判断方程根的存在性上的题目较多,应用介值定理可以清晰地界定出根的情况.
例2.1[5] 证明方程x =a sin x +b (a >0, b >0) 至少有一个正根,且不超过a +b . 证明 设f (x ) =x -a sin x -b ,
由已知可得:
1b 1b x -=sin x , 即-1≤x -≤1. a a a a
因为a >0, b >0, 所以b -a ≤x ≤a +b
考察
f (b -a ) =b -a -a sin(b -a ) -b =-a [1+sin(b -a )]≤0,
f (b +a ) =b +a -a sin(b +a ) -b =a [1-sin(b +a )]≥0,
当b -a >0时,至少存在一个正根ξ∈(b -a , a +b ) ,使f (ξ) =0;
当b -a ≤0时,不妨只考察[0, a +b ],因为[0, a +b ]⊂[b -a , a +b ],并且
f (0) =-b
所以至少存在一个正根ξ∈(0, a +b ) ,使f (ξ) =0.
因此,方程x =a sin x +b (a >0, b >0) 至少有一个正根,且不超过a +b .
n 例2.2 证明:若r >0,n 为正整数,则存在唯一正数x 0,使x o =r (x 0称为r 的n 次正根
(即算数根),记作x 0=r ) .
证明 先证存在性.
由于当x →+∞时,有x n →+∞,故必存在正数a ,使得a n >r .
因f (x ) =x n 在[0, a ]上连续,并有f (0)
n x o ∈(0, a ) ,使得f (x 0) =x 0=r .
再证唯一性.设正数x 1使得x 1n =r ,则有
n n n -1n -2x 0-1=(x 0-x 1) (x 0+x 0x 1+... +x 1n -1) =0.
由于第二个括号内的数为正,所以只能x 0-x 1=0, 即x 1=x 0.
例2.3 设f 在闭区间[a , b ]连续,满足f ([a , b ])⊂[a , b ].证明:存在x 0∈[a , b ],使得
f (x 0) =x 0.
证明 由条件知:对任何x ∈[a , b ]有a ≤f (x ) ≤b ,特别有
a ≤f (a ) 以及 f (b ) ≤b .
若a =f (a ) 或f (b ) =b ,则取x 0=a 或b ,从而f (x 0) =x 0成立.
现设a
F (x ) =f (x ) -x ,
则
F (a ) =f (a ) -a >0, F (b ) =f (b ) -b
故由根的存在性定定理,存在x 0∈(a , b ), 使得F (x 0) =0, 即f (x 0) =x 0.
2.2 介值定理在解不等式中的应用
其实介值定理在解不等式中的应用,并不是直接应用根的存在定理,而是应用根的存在定理的逆否命题.我们都知道,如果原命题成立,那么它的逆否命题也成立,因此不在对逆否命题进行证明,下面给出根据根的存在定理所得出的逆否命题以及推论命题.
设函数f (x ) 在某一区间I =(a , b ) (也可指[a , b ]、[a , b ) 、(-∞, +∞) ) 内有定义且连续.
(1)(根的存在定理的逆否命题)若方程f (x ) =0在I 内没有根,则函数f (x ) 的值在I 内保持相同的正(负) 号;
(2)若方程f (x ) =0在I 内所有不同的根为x 1, x 2,..., x n 且x 1
以上结论告诉我们,对于(2)中的每一个小区间内的一切x 值,不等式f (x ) >0(或
f (x ) 0 (或f (x ) 0 (或f (x )
1(第四届国际数学奥林匹克试题) 2
1解 原不等式的定义域为[-1, 3],我们考察方程3-x -x +1=解得 2例2.4[6] 解不等式3-x -x +1>
x 1=8-8+,x 2=.
88
这两个根将定义域分成三个小区间:[-
、、.
在[-1内,取x =0,左边=-1>,原不等式为真.
2在(188+内,取x =1,左边=2-2=0
288
18内,取x =2,左边=1-
所以原不等式的解集为[-. 无理不等式通常要进行“两边平方”的变形,但这只是在一定条件下才是等价变形,所以必须就x 的不同取值范围进行讨论,因此相对来说计算是比较困难的.利用介值定理则计算简单,而且易于理解.
3-x )
3-x ) -1(原不等式等价于不等式F (x )
F (x ) 的定义域为(-∞, 1) ⋃(1, 2) , 解方程F (x ) =0,得方程解x =5-, 2
将定义域(-∞, 1) ⋃(1, 2) 分成三个小区间(-∞, 1), (1,
表2-1 5-5-5), (, 2) 列表如下: 22
2可见, 以介值定理为基础, 将不等式的定义域分成若干区间, 然后找出不等式解集的方法是解不等式解集的一种非常实用的方法.
求解一般形式的不等式f (x ) >g (x ) (或f (x ) >g (x ) ) 的一般方法归纳如下:
(1)设F (x ) =f (x ) -g (x ) ;
(2)求出F (x ) 的定义域, 即f (x ) 和g (x ) 定义域的交集;
(3) 解出F (x ) =0的所有解(x 1
(4) 利用这些解将定义域分成n +1个小区间;
(5) 在每个小区间内取一个特殊点x 0, 通过F (x 0) 的符号判别F (x ) 在此区间内的符
号;
(6) 找出使F (x ) >0(或F (x )
2.3 介值定理在证明等式中的应用
介值定理在证明等式方面也有广泛应用.正是由于介值定理的广泛使用,才使得一些较复杂的等式能够轻而易举地被证明出来.其中积分中值定理的证明就用到了介值定理.
例2.6 设函数f (x ) 在[0, 1]上连续,在(0, 1) 内可导,且f (0) =0,f (1) =1.则对于任意给定的正数a , b .求证:存在0
a b =a +b . +''f (x 1) f (x 2)
证明 (证法一)因为a >0,b >0,所以0
且f (0) =0,f (1) =1.由介值定理知,必有ξ∈(0, 1) ,使
f (ξ) =a . a +b
由于f (x ) 在[0, 1]上连续,在(0, 1) 内可导,函数f (x ) 由拉格朗日中值定理有:
f (ξ) -f (0)=f '(x 1)(ξ-0) ,f (1)-f (ξ) =f '(x 2)(1-ξ) (其中0
即有
a a 1--0a +b a +b =1-ξ, =ξ, f '(x 2) f '(x 1)
将两式相加得
a a
+=1, f '(x 1) f '(x 2)
整理式子即有
a b =a +b . +f '(x 1) f '(x 2)
例2.7 设f (x ) 在[a , b ]上连续,且a
得pf (c ) +qf (d ) =(p +q ) f (ξ) 成立.其中p , q 均为任意正的常数.
证明 (证法一) 作辅助函数F (x ) =(p +q ) f (x ) -pf (c ) -qf (d ) ,
由题设知,F (x ) 在[c , d ]⊂[a , b ]上连续,又
F (c ) =q [f (c ) -f (d )],F (d ) =p [f (d ) -f (c )].
由于p , q 均为任意正的常数,有
F (c ) F (d ) =-pq [f (d ) -f (c )]2≤0.
当f (c ) =f (d ) 时,F (c ) =F (d ) =0,则c , d 均可取作所求的;当f (c ) ≠f (d ) 时,F (c ) F (d )
pf (c ) +qf (d ) =(p +q ) f (ξ) .
(证法二) 由于f 在[c , d ]⊂[a , b ]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .即
m ≤f (x ) ≤M , x ∈[c , d ].
因此有 m ≤f (c ) ≤M ,m ≤f (d ) ≤M .
即有 pm ≤pf (c ) ≤pM ,qm ≤qf (d ) ≤qM .
把上面两个式子相加得到
(p +q ) m ≤pf (c ) +qf (c ) ≤(p +q ) M ,
把以上不等式同时除以p +q , 又得到 m ≤pf (c ) +qf (c ) ≤M , p +q
由介值定理可得必存在一点ξ∈[c , d ]⊂[a , b ],使得
pf (c ) +qf (c ) =f (ξ) , p +q
变换一下形式,得到所求,即
pf (c ) +qf (d ) =(p +q ) f (ξ) .
例2.8 (积分第一中值定理)若f 在[a , b ]上连续,则至少存在一点ξ∈[a , b ],使得
⎰b
a f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) .
证 由于f 在[a , b ]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由
m ≤f (x ) ≤M , x ∈[a , b ],
使用积分不等式性质得到
m (b -a ) ≤
或者 1b f (x ) dx ≤M . m ≤b -a ⎰a ⎰b a f (x ) dx ≤M (b -a ) ,
再由连续函数的介值性,至少存在一点ξ∈[a , b ],使得 1b f (x ) dx , b -a ⎰a
在变换一下形式,等式得证. f (ξ) =
2.4 介值定理在实际问题中的应用
介值定理在实际问题的解题中具有广泛的应用.往往一些较复杂的难题应用介值定理都能轻易地解决,解题思路清晰,解题步骤简单.下面我们就举几个较复杂的例题,浅谈介值定理在解题中的应用.
问题2.9[7] 某运动员30min 跑了6km ,证明一定存在某时刻,该时刻起的5min 内该运动员跑了l km.
证明 假设x 为离开起跑线的公里数.对于[0, 5]中的任意一个x , f (x ) 表示运动员从x 跑到x +1所需要的时间.函数f (x ) 是连续函数.由已知条件知道,
f (0) +f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =30.
由此推出f (0),..., f (5) 既不同时都小于5,又不同时都大于5.所以在[0, 5]内存在点a , b 满足f (a ) ≤5≤f (b ) .由介值定理可知,在a , b 之间存在c ,满足f (c ) =5.也就是说从c km 到c +1km 恰好跑了5min ,c km 处对应时刻即为所求.
问题2.10[7] 某登山运动员于星期六上午7:00开始登山,下午5:00到达山的顶点.在山上宿营后,在星期日上午7:00开始返回,下午5:00到达出发点.证明在星期日的某时刻和星期六的同一时刻在同一高度.
证明 假设时间格式为24制,且星期日的出发点就是山的顶点.出发点和山的顶点的高度差为h (h >0) , f (t ) 表示运动员在上山过程中在t 时刻的位置离出发点的高度,其中t ∈[7, 17], f (7) =0, f (17) =h , g (t ) 表示运动员在下山过程中在t 时刻的位置离出发点的高度,其中t ∈[7, 17],g (7) =h , g (17) =0. F (t ) =f (t ) -g (t ) (t ∈[7, 17])表示在星期日的某时
刻和星期六的同一时刻运动员所处位置的高度差.因为函数f (t ) 、g (t ) 是连续的,所以函数F (t ) 也是连续的, 且F (7) =-h 0. 由介值定理可知,在[7, 17]内存在t 0,使F (t 0) =0,即在星期日的t 0时刻和星期六的同一时,运动员所在高度是相同的.
问题2.11[7] 椅子在不平的地面能否放稳?
先作以下假设:
①椅子有四条腿,且每条腿一样长.每条腿与地面有一个接触面,可视为一个点,4个点连线成矩形;
②地面不平,地面的高度是连续变化的,不允许有台阶,将地面看作连续曲面; ③椅子在任何位置至少有3个椅脚同时着地;
④椅子放稳,指四条腿都与地面接触,每条腿的脚与地面的距离为零.椅子虽然可能会倾斜,但不会摇晃.
解 图2(a ) 中ABCD 为椅子4个椅脚的初始位置,椅子的中心是O 点,椅子绕中心旋转180︒后的位置如图2(b ) 所示.记A , D 到地面的距离和为f (θ) ,B , C 到地面的距离和为g (θ) ,则由于椅子必有三条腿同时着地,所以必有两条相邻的椅脚同时着地,即对任意的旋转角,f (θ) 和g (θ) 至少有一个为零,因此恒有f (θ) g (θ) =0,不妨设当θ=0时,g (θ) =0, f (θ) >0.当椅子旋转180︒时,AD 与BC 的位置互换,
这样,当θ=π时, g (θ) >0, f (θ) =0, 令h (θ) =f (θ) -g (θ) ,则h (0) >0, h (π)
(a ) 初始位置 (b ) 旋转后的位置
因为f (θ) 和g (θ) 是连续函数,所以h (θ) 也是连续函数,由介值定理可知,在[0, π]内图2-1 椅子4个椅脚位置示意图
必存在θ0使h (θ0) =0,即f (θ0) -g (θ0) =0.又因为恒有f (θ) g (θ) =0,所以f (θ0) g (θ0) =0,即f (θ0) =g (θ0) =0说明当椅子绕着中心旋转θ0方向,椅子的四条腿同时着地.
3 介值定理的推广
3.1 一元函数介值定理的推广
对于介值定理,从两个方面进行推广.一方面,从闭区间[a , b ]入手,推广为任意 区间 ;另一方面,从常数f (a ) 与f (b ) 入手,f (a ) 与f (b ) 也可为-∞或+∞.利用推广的介值定理,得到了求一类方程绝对误差为0. 1m (m ∈N ) 的近似解的一种好方法.
3.1.1 推广介值定理的内容[8]
定理1 如果函数f (x ) 在区间[a , b ) 内连续,且
f (a ) =A 、lim -f (x ) =B (A ≠B ) , x →b
不论C 是A 与B 之间的怎样一个数, 在开区间(a , b ) 内至少有一点c ,使得f (c ) =C .
证明 不妨设A
因为 lim -f (x ) =B ,所以对于给定的正数ε0=B -C , 存在一个正数δ0(δ0
当0-ε0,f (x ) >B -ε0=B -(B -C ) =C , 其中x 满足条件0
又因为f (x ) 在闭区间[a , d ]上连续,且f (a ) =A 、f (d ) =D .由介值定理得:在开区间(a , d ) 内至少有一点c ,使f (c ) =C .所以在开区间(a , b ) 内至少有一点c ,使得f (c ) =C .
同理可得定理2:
定理2 如果函数f (x ) 在区间[a , b ) 内连续,且f (a ) =A 、lim -f (x ) =-∞(或+∞) ,不x →b 论C 是(-∞, A )(或(A , +∞) ) 中的怎样一个数,在区间(a , b ) 内至少有一点c ,使得f (c ) =C .
定理3 如果函数f (x ) 在区间[a , +∞) 内连续,且f (a ) =A 、lim f (x ) =-∞(或+∞) , x →+∞
不论C 是(-∞, A )(或(A , +∞)) 中的怎样一个数,在区间(a , +∞) 内至少有一点c ,使得f (c ) =C .
证明 因为lim f (x ) =-∞, x →+∞
所以对于给定的正数M =C , 必有正数N (N >a ) ,使得当x >N 时,就有f (x ) N .现从{x x >N }中任取一点d ,令
D =f (d ) ,显然D
所以在区间(a , +∞) 内至少存在一点c ,使得f (c ) =C .
同理可得定理4:
定理4 如果函数f (x ) 在区间[a , +∞) 内连续,且f (a ) =A 、lim f (x ) =B (A ≠B ) , 不论x →+∞
C 是A 或B 之间的怎样一个数,在区间(a , +∞) 内至少有一点c ,使得f (c ) =C .
以上我们只是讨论了区间[a , b ) 与[a , +∞) 这两种情形.实际上,对于其他区间也有类似的结论.这样,就构成了推广的介值定理.
3.1.2 推广的介值定理的一个应用
以推广的介值定理为基础,结合函数的单调性,可以得到求一类方程f (x ) =0绝对误差为0. 1m (m ∈N ) 的近似解的一种好方法,其中y =f (x ) 的定义域D = I i ,而y =f (x ) 在I i 内单调连续,且I i 与I j (i ≠j ) 无公共内点.
定理5 如果函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上单调连续,且f (a ) f (b )
a
b >x 21>x 22> >x 2n > >a , f (x 21), f (x 22), , f (x 2n ), 均同号,
其中f (x 1n ) f (x 2n )
(1) 当lim f (x 1n ) =lim f (x 2n ) =0时,则lim x 1n =lim x 2n =x 0,且x 0就是方程f (x ) =0在n →∞n →∞n →∞n →∞
(a , b ) 内的那个唯一解.
(2) x 1i +x 2j
2为x 0的绝对误差为x 2j -x 1i
2的近似值.
证明 (1) 因为函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上单调连续,且f (a ) f (b )
f (x ) =0在(a , b ) 内只有一个解x 0,即
f (x 0) =0.
因为 x 11, x 12, , x 1n , 单调增加有上界.所以lim x 1n =c (c 为常数,a
又lim f (x 1n ) =0,lim f (x 1n ) =0, f (c ) =0. n →∞x 1n →c
所以c 也是方程f (x ) =0在(a , b ) 内的一个解.
由解的唯一性知,c =x 0,即lim x 1n =x 0. n →∞
同理可得lim x 2n =x 0. n →∞
(2) 因为函数f (x ) 在闭区间[a , b ]的子区间[x 1i , x 2j ]上也单调连续,且f (x 1i ) f (x 2j )
2为x 0的绝对误差为x 2j -x 1i
2的近似值.
注 如果定理5中的条件闭区间[a , b ]改为任意其他区间,而条件f (a ) f (b )
例3. 1 求方程e x =x 4的绝对误差为0.01的近似解.
解 (1) 当x ∈(-∞, 0) 时,方程e x =x 4与方程x =4ln(-x ) 在(-∞, 0) 内是同解的.令
g (x ) =x -4ln(-x ) ;
因为 g '(x ) =1-x >0,所以 g (x ) 在(-∞, 0) 内单调连续.
g (x ) =+∞, 又因为lim g (x ) =-∞,lim -x →-∞x →0
3-1 寻找解x 1的绝对误差为0.01的近似值
x 1n -0.9 -0.85 -0.83
x ∈(-∞, 0) g (x 1n ) -0.4786 -0.19999 -0.0847
x 2n -0.5 -0.8 -0.81
g (x 2n ) 2.2726 0.0926 0.0329
所以根据定理5, x 1≈-0. 83+(-0. 81) =-0. 82,其绝对误差为0.01; 2
(2) 当x =0时,显然x =0不是原方程的解;
(3) 当x ∈(0, +∞) 时,方程e x =x 4与方程x =4ln x 在(0, +∞) 内是同解的.
令
f (x ) =x -4ln x ,
因为
f '(x ) =1-=(x -4) , x x
而当x ∈(0, 4) 时,f '(x ) 0.
所以f (x ) =x -4ln x 分别在(0, 4],[4, +∞) 内单调连续.
f (x ) =+∞,f (4) =4-4ln 4=4ln 又因为lim +x →0e f (x ) =+∞,
表3-2 寻找解x 2的绝对误差为0.01的近似值
x 1n 1.3 1.4 1.42
x ∈(-∞, 0) f (x 1n ) 0.2505 0.0541 0.0174
x 2n 2 1.5 1.45 1.44
f (x 2n ) -0.7726 -0.1219 -0.0363 -0.0186
表3-3 寻找解x 3的绝对误差为0.01的近似值
x 1n 8 8.5 8.6 8.61
x ∈(4, +∞) f (x 1n ) -0.3178 -0.0603 -0.0070 -0.0017
x 2n 10 8.7 8.65 8.63
f (x 2n ) 0.7897 0.0467 0.0198 0.0090
所以根据定理5,x 2≈1. 42+1. 448. 61+8. 63=1. 43, x 3≈=8. 62, 其绝对误差均为0.01 . 22
综合(1), (2), (3) 得:方程e x =x 4一共有三个不同的解x 1, x 2, x 3, 而-0.82、1.43、8.62分别为它们的绝对误差为0.01的近似值.
3.2 二元函数的介值定理
不仅一元函数有介值定理,二元函数也有介值定理.在此本文只是简单的介绍一下二元函数的介值性定理,仅供读者进行参考.
3.2.1 二元函数介值性定理的内容[9]
设函数f 在区域D ⊂R 2上连续,若P 1, P 2为D 中任意两点, 且f (P 1)
f (P 1)
的实数u ,必存在点P 0,使得f (P 0) =u .
证 作辅助函数
F (P ) =f (P ) -μ,P ∈D .
易见F 仍在D 上连续,且由不等式(3. 2. 1) 知道F (P 这里不妨假设P 1,F (P 2) >0.1)
P 2是D 的内点.下面证明必存在P 0(x 0, y 0) ∈D ,使F (P 0) =0.
由于D 为区域,我们可以用有限段都在D 中的折线连结P 1和P 2.若有某一个连结点所
对应的函数值为0,则定理已得证.否则从一端开始逐个检查直线段,必定存在某直线段,F 在它两端的函数值异号.不失一般性,设连结P 1(x 1, y 1) ,P 2(x 2, y 2) 的直线段含于D ,其方程为
⎧x =x 1+t (x 2-x 1), ⎨⎩y =y 1+t (y 2-y 1),
在此直线段上,F 表示为关于t 的复合函数,设 0≤t ≤1.
G (t ) =F (x 1+t (x 2-x 1), y 1+t (y 2-y 1)) ,0≤t ≤1.
它是[0, 1]上的一元连续函数,且G (0) =F (P 由一元函数根的存在性定1)
理,在(0, 1) 内存在一点t 0,使得G (t 0) =0.记
x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1) ,
则有P 0(x 0, y 0) ∈D ,使得
F (P 0) =G (t 0) =0,
即
f (P 0) =μ.
3.2.2 二元函数介值定理的应用
例3.2 若f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续,则存在(ξ, η) ∈D ,使得
⎰⎰f (x , y ) d σ=f (ξ, η) S
D D ,
这里S D 是积分区域D 的面积.
证 由于函数f (x , y ) 在有界闭区域D 上连续,则f (x , y ) 在D 上存在最大值与最小值,设其分别为M 和m ,即对于区域D 中的一切点(x , y ) ,有
m ≤f (x , y ) ≤M ,
因此有
mS D ≤⎰⎰f (x , y ) d σ≤MS D ,
D
即
m ≤1
S D ⎰⎰f (x , y ) d σ≤M , D
由介值性定理存在(ξ, η) ∈D ,使得
⎰⎰f (x , y ) d σ
D =f (ξ, η) S D .
例3.3 设f (t ) 在区间(a , b ) 内连续可导,函数
F (x , y ) =f (x ) -f (y )
x -y (x ≠y ), F (x , y ) =f '(x )
定义在区域D =(a , b ) ⨯(a , b ) 内.证明:对任何c ∈(a , b ) ,有
(x , y ) →(c , c ) lim F (x , y ) =f '(c ) .
证 由于f (t ) 在(a , b ) 内连续可导,当(x , y ) ∈D 且x ≠y 时,在以x , y 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理有:
F (x , y ) =f (x ) -f (y ) =f '(ξ) , ξ∈(x , y ) , x -y
又由于
F (x , y ) =f '(x ) ,
则∀(x , y ) ∈D ,∃ξ∈(x , y ) ,使得:
F (x , y ) =f '(ξ) ,
而当(x , y ) →(c , c ) 时,ξ→c 并且f '(t ) 在c 处连续,从而
(x , y ) →(c , c ) lim F (x , y ) =f '(c ) .
本课题简单地介绍了介值定理,首先介绍了介值定理的四中证明方法,应用区间套定理证明、应用致密性定理证明、应用柯西收敛准则证明以及应用确界原理证明. 然后通过一些具体的例题来展示介值定理的广泛应用性,最后本课题简单地介绍了一下推广的介值定理,以及二元函数介值定理. 通过本文的介绍,我们对介值定理有了更加深刻的认识,这对于我们的学习是很有帮助的.
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致 谢
在此篇毕业论文划上句号之际,我郑重地向我的指导教师王淑云老师表示我最诚挚的感谢!衷心地感谢她的关心、指导和教诲.在王老师的精心引导下,几经修改我终于完成了毕业论文,从她身上我获得了太多的文化和知识,王淑云老师追求真理、献身科学、严以律己、宽已待人的崇高品质对学生将是永远的鞭策.
我在撰写毕业论文期间的工作自始至终都是在王淑云老师的全面、具体指导下进行的.老师渊博的学识、民主而严谨的作风,使我受益匪浅.王淑云老师谦逊的学术作风和高尚的人格品德将永远激励我前行!
最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助.