一般双模双耦合谐振子能谱的精确解

　2007年3月　

第30卷　第2期四川师范大学学报(自然科学版)

Journal of Sichuan Nor mal University (Natural Science ) M ar . , 2007Vol . 30, No . 2

一般双模双耦合谐振子能谱的精确解

徐兴磊, 　李洪奇

(菏泽学院物理系, 山东菏泽274015)

　　摘要:在占有数表象中通过幺正变换将质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的哈密顿量对角化, 得到了双模双耦合谐振子体系能谱的精确解, 给出了求解双模耦合谐振子本征能谱的一般方法.

关键词:双模双耦合谐振子; 幺正变换; 能谱

中图分类号:O413. 1　　文献标识码:A 　　文章编号:100128395(2007) 0220220203

1　引言

在量子力学、领域, . , 研. 解此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦合. 文[1]利用微扰论和坐标变换技巧研究了坐标耦合的双模谐振子问题, 文[2]研究了3个非全同谐振子的哈密顿量的退耦合, 文[3]给出了各向异性n 模耦合谐振子的精确解. 但这些工作研究的均是坐标耦合问题, 而未涉及动量耦合. 文[4]虽涉及动量耦合, 但给出的也只是两个全同谐振子体系在特殊耦合λ(m ω2x 1x 2p 1p 2) 作用下的结果. 而许多实际的

m

. , a j =a j

+

πj j h /(m ωj j x j +i p j ) ,

=

+

πωj j h /

+

(m ω. (2) j j x j -i p j ) , 　j =1, 2

a j 和a j 为谐振子消灭和产生算符, 满足

[a k , a l ]=δk l , 　[a k , a l ]=[a k , a l ]=0, 　k, l =1, 2.

+

+

(3)

在(2) 式的变换下, (1) 式化为

1a 1+a 1+2a 2+a 2+

ππ22

α(a 1a 2+a 1+a 2+) +β(a 1a 2++a 1+a 2) +

H =

物理问题往往等效成非全同谐振子体系

[526]

, 为不

(ω1+ω2) , 2

(4)

失一般性, 本文将通过幺正变换精确求解质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的能谱.

式中

α=π4β=π4

λ

-v

1m 212λ

+v

ωω1m 212

+

1m 212) , 1m 2ω1ω2) .

2　质量和频率均不相同的双模双耦合谐振

子体系能谱的精确解

质量和频率均不相同的双模双耦合谐振子体系的哈密顿量为

H =

p

2

++

为消除(a 1a 2+a 1a 2) 的耦合项, 作变换

b j =U (φ) a j U

+

(φ) , 　j =1, 2,

+

(5)

2m 1

+

p

22m 2

+

22

m 1ω1x 1+2

(1)

式中U (φ) =exp (a 1a 2-a 2a 1) φ为Schwinger 角动量表象中幺正转动算符

[7]

. 经过复杂运算, 可得

(6)

22

m 2ω2x 2+λx 1x 2+vp 1p 2, 2

φ-a 2sin φ, b 1=a 1co s

φ+a 1sin φ, b 2=a 2co s

可以证明

[b k , b l ]=δk l , 　[b k , b l ]=

+

式中λ和v 分别为坐标耦合强度和动量耦合强度. 对(1) 式所示的哈密顿量, 直接在坐标表象中求解

　　收稿日期:2006-03-28

基金项目:山东省自然科学基金资助项目作者简介:徐兴磊(19702) , 男, 副教授

　第2期

+

+

徐兴磊等:一般双模双耦合谐振子能谱的精确解　　221

[b k , b l ]=0, 　k, l =1, 2. (7)

将(6) 式代入(4) 式, 并利用(7) 式, 可得

H =A 1b 1b 1+A 2b 2b 2+B (b 1b 2+b 1b 2) +C [(b 2

(b 1

+2+

+

+2

+

+

S j (ξ=exp j )

2+2

j (d j -d j ) , 　j =1, 2, (17) 2

+

式中ξj 为实参量. 作压缩变换

2

2

+b ) -(8)

ξe j =S j (ξj ) d j S j (j ) .

可以证明

ξξe j =cosh j d j +sinh j d j ,

e j

+

+

(18)

+b ) ]+

2

1

π4

(ω1+ω2) ,

式中

A 1=A 2=

ξξ=cosh +sinh j d j j d j ,

++

+

(19) (20) (21)

π2

1cos φ+

2

π2

2sin φ-βsin2φ,

2

[e k , e l ]=δk l , 　[e k , e l ]=[e k , e l ]=0, 　k, l =1, 2.

+

1sin 2φ+2cos 2φ+βsin2φ,

ππ22φ, 　C B =αco s2

α

)

φ为满足

φ1-2) +βco s2φ=0sin2

ππ222

将(19) (14) , ) 式, 可得

+″=1e 1A 2e 22D ″,

′

ξξA 1=A 1cosh2sinh21+2C ′1,

ξξA 2=A 2cosh2sinh22-2C ′2, ξξD ″=D ′+C (sinh21-sinh22) +

A 1sinh ξ1+A 2sinh ξ2.

′

2

″′

′2

的解, 即

φ=tg2

h (ω2-ω1)

.

(10)

(22)

++

为消除(8) 式中的(b 1b 2+b 1b 2) 耦合项, 引入

Bogoliubov 变换

[8]

+

) b j B d j =B (θ(θ) , 　j =1, 2, (11)

′

ξξξA 1sinh2cosh21为方程1+C ′1=0的解,

2′

ξξξA sinh2cosh22为方程2+C ′2=0的解, 即22

ξξ(23) tanh21=-2=-′, 　tanh2′.

A 1

A 2

θ(b 1+b 2+-b 1b 2) 为Bogoliubov 幺正式中B (θ) =exp 算符. 可以证明

θθd 1=co sh b 1-sinh b 2, θθd 2=co sh b 2-sinh b 1,

[d k , d l ]=δk l , 　[d k , d l ]=[d k , d l ]=0, 　k, l =1, 2.

+

++

++

由(21) 式立即可以得到该耦合谐振子体系能谱的

精确解为

″″

E n 1, n 2=A 1n 1+A 2n 2+D ″,

n 1, n 2=0, 1, 2, …

(24)

(12)

(13)

考虑(13) 式, 在(12) 式的变换下, 体系的哈密顿量化为

H =A 1d 1d 1+A 2d 2d 2+C ′[(d 2

(d 1

+2

为便于比较, 讨论几种特殊的情况.

2

(1) 当m 1=m 2=m , ω1=ω2=ω, λ=λ′m ω, v λ′

时, (1) 式化为

m

p p 22

H =++m 1ω1x 1+

2m 12m 22

2

2

′+′++2

+d 2) -(14)

2

+d 1) ]+D ′,

22

2

式中

θA 1=A 1co sh θ+A 2sinh θ+B sinh2, θA 2=A 1sinh θ+A 2co sh θ+B sinh2,

C ′=C,

D ′=

(ω1+ω2) +

2

222

(m ωx 1x 2+p 1p 2) , m 2ω2x 2+λ′

2m

(25)

′′

2

2

π4

(A 1+A 2) sinh θ+B sinh2θ,

(15) (16)

θ=-tanh2

A 1+A 2

.

[9]

为进一步消除(14) 式中的平方项, 引入压缩算符

λωπ这时α=0, β=. 由(10) 式易得φ=, 再由

π24

(15) , (16) , (22) 和(23) 式, 可得

″

A 1=,

π2

() ″

(26) A 2=, 　D ″=.

ππ22

代入(24) 式即得谐振子体系的能量本征值为

E n 1, n 2=n 1+n 2+,

πππ2

22

222　　四川师范大学学报(自然科学版) 　　　　　30卷　　　　

n 1, n 2=0, 1, 2, …(27)

和文[4]

的结果一致.

(2) 当m 1=m 2=m , ω1=ω2=ω, v =0时, α=β, 这时

ω24m π

λ′

(1-B =0, 　A 1=2) , π22m ω

λ

(1+=2) , π22m ωC ′=, 　D ′=.

ωπ8m π2

′

A 2

A 2=

″

π2

(1+

λD ″=. 2) , 　π22m ω

(30)

由此可得

E n 1, n 2=(n 2-n 1)

π2

(n 1+n 2+1) +

(31)

, 　n 1, n 2=0, 1, 2…ω4m π

(28)

代入(23) 式, 可得

λω2

ξtanh21m 2

2.

1+λ/2m ω

将(29) 式代入(22) 式, 略去高阶小量可得

λ″

(1-A 1=2) , π22m ω参考文献

(29)

与文[1]的结果一致.

同理, 当m 1=m 2=m , ω1=ω2=ω, λ=0时, 类似上述方法, 可以得到

(n 21) +n 1, n 22n 2n 1) , 　n 1, n 2=0, 1, 2…(32)

π4　　本文通过连续的幺正变换, 将质量和频率均不相

同的双模双耦合谐振子体系的哈密顿量退耦合并对角化, 在此基础上得到了体系能谱的精确解. 对所得结果的讨论表明, 文[1,4]的结果均是本文的特例.

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The Exact Soluti on of the Energy Spectru m of Double Module

Double Coup ling Har monic O scillat or

XU Xing 2lei, 　L I Hong 2qi

(D epart m ent of Physics, Heze College, Heze 274015, Shandong )

Abstract:By using unitary transfor mati on, the Ham ilt onian of double module double coup ling har monic oscillat or with different mass and frequency is diagonalized in occupati on nu mber rep resentati on . The exact s oluti on of the energy s pectru m of the double mod 2ule double coup ling har monic oscillat or is given . And the general method f or calculating its eigenenergy s pectru m is obtained .

Key words:Double module double coup ling har monic oscillat or; Unitary transf or mati on; Energy s pectru m

(编辑　李德华)