圆梦计划-专升本高数试题
圆梦计划专升本高等数学入学测试模拟题及答案
一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）
⎧3e x , x ≤0⎪
1. 若函数f (x ) =⎨sin x 在x =0在处连续，则a =（ C ）
+a , x >0⎪⎩x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：由f (0+0) =f (0-0) =f (0) 得a +1=3⇒a =2, 故选C.
2. 当x →0时，与函数f (x ) =x 2是等价无穷小的是（ A ） A. ln(1+x 2) B. sin x C. tan x D. 1-cos x
f (x ) x 2解：由lim =lim =1, 故选A. 2) 2) x →0ln(x →01+x ln(1+x
3. 设y =f (x ) 可导，则[f (e -x )]'=（ D ）
A. f '(e -x ) B. -f '(e -x ) C. e -x f '(e -x ) D. -e -x f '(e -x ) 解：[f (e -x )]'=f '(e -x ) ⋅(e -x ) '=-e -x f '(e -x ) , 故选D. 4. 设
13
是f (x ) 的一个原函数，则⎰x f (x ) dx =（ B ） x
A.
11112
x +C B. -x 2+C C. x 3+C D. x 4ln x +C
2342
'
11⎛1⎫
解：因是f (x ) 的一个原函数, 所以f (x ) = ⎪=-2, 所以
x x ⎝x ⎭
3
x ⎰f (x ) dx =-⎰xdx =-
12
x +C 故选B. 2
5. 下列级数中收敛的是（ C ）
4n -7n
A. ∑ B. n
3n =1
∞
∑
n =1
∞
1
C.
n -2
n 3
D. ∑n 2n =1
∞
∑sin
n =1
∞
1
2n
(n +1) 3
∞3n +1n 31(n +1) 1解：因lim =lim =
n 2
6. 交换I =
⎰dy ⎰
11y 2
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰1f (x , y ) dx 的积分次序，则下列各项正确的
1
2y
21
是（ B ） A. C.
⎰dx ⎰
1x
2
2x x 2
f (x , y ) dy B.
⎰dy ⎰
12x x 2
f (x , y ) dy
⎰
2
1
dx ⎰f (x , y ) dy D.
2x ⎰
2
1
dx ⎰2f (x , y ) dy
x
2x
解：由题意画出积分区域如图:故选B.
7. 设向量α1, α2是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.
α1+α2 B. α1-α2 C. 2α1+α2 D. 2α1-α2
解：因A (α1+α2) =A α1+A α2=b +b =2b , 同理得
8. 已知向量α1=(1, 2, -1, 1), α2=(2, 0, k , 0), α3=(0, -4, 5, -2) 线性相关, 则k =（ D ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3
-11⎫⎛12-11⎫⎛α1⎫⎛12-11⎫⎛12
⎪ ⎪ ⎪ ⎪解: α⎪= 20k 0→0-4k +2-2→0-4k +2-2⎪ ⎪ ⎪ 2
α⎪ 0-45-2⎪ 0-4 ⎪5-2⎪⎭⎝⎭⎝00-k
+30⎭⎝3⎭⎝
9. 设A , B 为事件，且P (A ) =0. 6, P (B ) =0. 4, P (AB ) =0. 2, 则P (A B ) =（ A ） A.0.2 B. 0. 4 C. 0.6 D. 0.8
解: P (A B ) =P (A +B ) =1-P (A +B ) =1-[P (A ) +P (B ) -P (AB )]=0. 2
10. 有两个口袋, 甲袋中有3个白球和1个黑球, 乙袋中有1个白球和3个黑球. 现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球, 则取出白球的概率是（ B ） A.
3711 B. C. D.
201642
32117
⨯+⨯= 454520
解: 由全概率公式得p =
二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。) 11．设函数y =arcsin
x -11
，则函数的定义域为[-2, 4) . -
23-x
解：-1≤
⎧-2≤x ≤4x -1
≤1, 16-x 2>0⇒⎨⇒-2≤x
-4
12．设曲线y =x 2+x -2在点M 处的切线斜率为3, 则点M 的坐标是(1, 0) . 解：y '=2x +1，由y '=2x +1=3⇒x =1，从而y =0，故填(1, 0) .
13．设函数y =x arctan x ，则y ''=
2
.
(1+x 2) 2
22
x 11+x -2x 2解：y '=arctan x +, y ''=. +=2222221+x 1+x (1+x ) (1+x )
14．
⎰⎰
(lnx +1) 2012(lnx +1) 2013= +C .
2013x
(lnx +1) 2012(lnx +1) 20132012
=⎰(lnx +1) d (lnx +1) =+C . x 2013
+∞0解：
15．⎰xe -x +1dx ==
∞
(x -2) n
16．幂级数∑n 的收敛域为[-3, 7) .
n n =15
(x -2) n +1
n +1x -2u (x ) n 5n +1=lim 解：由lim n +1=lim x -2=
n →∞u (x ) n →∞(x -2) n n →∞5n +15n
5n n
得-3
∞
1(-1) n
当x =-3时, 级数为∑收敛; 当x =7时, 级数为∑发散;
n n n =1n =1
∞
故收敛域为[-3, 7) .
17．设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，且A -A -3E =0，则(A -2E ) -1=A +E . 解：A -A -3E =0⇒(A -2E )(A +E ) =E ⇒(A -2E )
19．设型随机变量X ~N (1, 8), 且P (X
2
-1
2
=(A +E )
1.
=1.
20．设型随机变量X 在区间[2, 4]上服从均匀分布, 则方差D (X ) =
13
.
(4-2) 21
解：直接由均匀分布得D (X ) ==.
123
三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。
x -sin x
.
x →0tan 2x x -sin x
解：原式= lim
x →0x 21-cos x =lim x →02x
sin x =lim =0. x →02
21．计算极限lim
22．求由方程y x =xy 确定的隐函数的导数解：两边取对数得x ln y =ln x +ln y , 两边求导得ln y +
dy
. dx
x 11y '=+y ', y x y
从而
dy y (1-x ln y )
. =
dx x (x -1)
23．计算定积分
⎰
22
1x
2
x -1
2
dx
解：令x =sec t , 则dx =sec t tan tdt , 当x =2时, t =
π
π
4
; 当x =2时, t =
π
3
.
sec t tan t
所以原式= ⎰πdt = 2
sec t tan t 4
3
π
⎰πcos tdt = sin t |π3==
34
4
π
1
(-2) . 2
24．求微分方程y '-2y -e x =0的通解. 解：原方程可整理为y '-2y =e x
这是一阶线性微分方程, 其中P (x ) =-2, Q (x ) =e x . 所以原方程的通解为
-P (x ) dx ⎡⎰P (x ) dx dx +C ⎤ y =e ⎰Q (x ) e ⎢⎥⎣⎰⎦
=e ⎰
2dx
-2dx
(⎰e x e ⎰dx +C ) .
=e 2x (⎰e -x dx +C ) =e 2x (-e -x +C )
=-e x +Ce 2x
25．计算二重积分
⎰⎰x
D
2
yd σ, 其中D 是由直线x =2、y =2x 和xy =2所围成的区
域.
解：区域D 如图阴影部分所示.
2
故⎰⎰x yd σ=⎰d x ⎰2x y d y
2
22x
D
1
x
=
1
x 2y ⎰21
2
22x
2x
|
d y
12
=⎰(4x 4-4)d x 21
222x 5
=(-2x ) |=10.
155
⎛1
26．设矩阵A = 1
0⎝
-1⎫⎛1⎫⎪ ⎪2
-30⎪，B = 3⎪, 且满足
X .
2⎪2-3⎪⎭⎝⎭0
解：由AX +B =A 2B +X 可得(A -E ) X =(A 2-) B 0
因|A -E |=1
0-42
-1
0=-2≠0, 所以A -E 图5-7
0-4
0-22
-1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎪ ⎪ ⎪0⎪ 3⎪= -5⎪
⎪ ⎪-2⎪⎭⎝2⎭⎝2⎭
⎛2
因此X =(A +E ) B = 1
0⎝
x +11231x +123
27．设行列式D (x ) =, 求D (x ) 在x =0处的导数.
12x +13123x +1x +1123x +7
1x +123x +7
解：D (x ) ==
12x +13x +7123x +x +7123x +123=(x +7) =(x +7)
2x +1323x +10
x 11
123x +123
2x +1323x +10000
x -101x -2
=x (x +7)(x -1)(x -2) =(x 2+7x )(x 2-3x +2) .
故D '(x ) =(2x +7)(x 2-3x +2) +(x 2+7x )(2x -3) . 从而D '(0) =14.
x
⎪a , 0≤x
28．已知离散型随机变量X 的密度函数为F (x ) =⎨1且数学期望
1≤x
⎪⎪x ≥2. ⎩1,
E (X ) =
4
. 3
求: (1) a 的值; (2) X 的分布列；(3)方差D (X ) ．
解：(1) 由分布函数的性质知, 随机变量X 的可能取值为0、1、2，且
11-a , P (X =2) = 221134
因E (X ) =0⨯a +1⨯(-a ) +2⨯=-a =
2223
1
所以a =.
6P (X =0) =a , P (X =1) =
(2) 由（1）即得
2222
(3) E (X ) =0⨯+1⨯+2⨯=,
6323
四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。 29．设u =xy 2f () ，其中f (t ) 可微，证明:x
x y
∂z ∂z
+y =3u . ∂x ∂y
证明：因为
∂u x x 1
=y 2f () +xy 2f '() ⋅ ∂x y y y
2
=y f () +xy f '(),
x
y x y
∂u x x ⎛x ⎫=2xyf () +xy 2f '() ⋅ -2⎪⎪ ∂y y y y ⎝⎭
x x
=2xyf () -x 2f '() ,
y y
故x
∂u ∂u x x x x
+y =xy 2f () +x 2y f '() +2xy 2f () -x 2y f '() ∂x ∂y y y y y
2
=3xy f () =3u . ⋯⋯⋯⋯(9分)
x y
30．设D 是由曲线y =ln x , x =e 及x 轴所围成的的平面区域
求: (1) 平面区域D 的面积S ; (2) D绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V ． 解:区域D 如图阴影部分所示。曲线y =ln x 与x 轴及 x =e 的交点坐标分别为(1, 0), (e , 1) （1）平面区域D 的面积
e
S =⎰ln x d x =(x ln x -x ) |=1.
1
1
e
（2）D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积V
V =π⨯e ⨯1-π⎰(e y ) 2d y
2
1
=πe 2-π⎰e 2y d y ==πe 2-
1
π
2
e 2y |
1
=
π
2
(e 2+1).
b ln b a
31．证明不等式：当a >b >e 时，
证明: 设f (x ) =x ln x , x ∈(e , +∞) , 则f '(x ) =1+ln x >0, x ∈(e , +∞) , 所以f (x ) =x ln x 在x ∈(e , +∞) 上单调递增, 从而当当a >b >e 时, 有
ln b a
ln x 1-ln x
, x ∈(e , +∞) , 则g '(x ) =
在x ∈(e , +∞) 上单调递减, 从而当当a >b >e 时, 有 所以g (x ) =x
ln a ln b b ln b
b ln b a
综上所述:当a >b >e 时，有
a ln a b
f (a ) >f (b ) , 即a ln a >b ln b , 即