基尔霍夫衍射积分公式中虚系数的解释
第19卷 第4期郑州工业大学学报Vol 19 No 4
1998年 12月 Journal of Zhengzhou University of Technology Dec 1998
基尔霍夫衍射积分公式中虚系数的解释
关智武
(郑州工业大学数理力学系)
摘 要 基尔霍夫通过严格的数学理论推导出了衍射积分公式, 本文以简化的方法验证了公式
中的虚系数, 并给予直观物理解释。
关键词 波前; 次波; 衍射中图分类号 O 436 1
1816年, 法国的菲涅耳在惠更斯原理中的 次波 概念的基础上, 引入 次波相干叠加 的思想, 较为成功地解释了光的衍射现象, 形成了后人所谓的惠更斯-菲涅耳原理:波前上的每一点都可看作为一个新的球面波的次波源, 波场中的任意点(场点) 的光扰动是所有次波到达该点的次级扰动的叠加。惠更斯-菲涅耳原理的数学表示式为:
U(P) =K
jkr
U 0(Q) ( , 0) d r
j kr
(1)
该式又称为菲涅耳衍射积分公式, 式中所用符号参见图1。U 0(Q) 表示波前 上某次波源Q
r
发出的复振幅为U 0(Q ) 的球面次波, k =, d
为积分面元, 图1中的 n 为面元d 的法线, f ( , = , 0) 为倾斜因子, 菲涅耳设想 0=0时, f ( 0) 最大(可取作1) 。
1882年, 德国的基尔霍夫利用严格的数学理论(亥姆霍兹方程、格林公式) , 得出了如下基尔霍夫衍射积分公式:
U(P ) =j
图1 基尔霍夫公式说明
jkr cos 0+cos U 0(Q ) d r 2
(2)
将菲涅耳衍射积分与基尔霍夫衍射积分相比较, 发现两点明显区别, 其一, 后者将前者的倾斜因子具体化; 其二, 前者的比例系数K 在后者中变为j 。比例系数为虚数是个难以理解
的问题, 下面我们通过一个熟知的物理事实, 验证菲涅耳衍射公式中的K 就等于, 并给
j
以直观物理解释。
1 验证K =
j
如图2所示, 点光源S , 取波前 为以S 为球心、半径为R 的球面。显然, 由点光源S
收稿日期:1998-04-19
第一作者 男 1941年4月生 大学本科 副教授
1
第4期
关智武 基尔霍夫衍射积分公式中虚系数的解释
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发出的球面波传播距离(R+b ) 时在场点P 引起的复振幅应为
A 1jk (R+b )
R +b
现在用菲涅耳衍射积分公式求U(P )
U(P ) =
U(P) =K
(3)
j kr
U 0(Q) ( , 0) d r
(4)
图2 菲涅耳衍射
其中U 0(Q ) 是波前 上Q 点发出的次波的复振幅, U 0(Q) =
A 1jkR
。欲对整个波前(球面 ) 积分从而求出U(P ) 并不是件容易的事。用菲涅R
耳波带法可以解决积分的困难, 由波带法得出的结论是:球面 上所有次波对场点P 的复振幅的总贡献等于第一个波带 1对P 点贡献的一半[1], 因此
U(P ) =2K
U 0(Q ) r ( , 0) d 1
[2]
jk r
对于第一个波带 1, f ( , 0) =1, 由球帽的微分关系可以得到d =R +b
下限为b 和b +, 因而
2
2 A 1K jkR
U(P ) =e
22(R +b)
, 积分上、
b
b +j kr
e d r =-
A 1jk (R+
e
j R +b
b )
(5)
式(3) 与式(5) 应相等, 故-=1, 即K =。
j j
2 K =
的直观物理解释 等效次波j
j 则有:
kr--将基尔霍夫衍射公式中的j 放进积分号内, 并注意到j =e
U(P ) =
U 0(Q ) j
式(6) 中的kr -
U 0(Q) j
r
cos 0+cos
d 2
(6)
/a
r
可以理解为由Q 点发出的等效次波, 它与Q 点真实点光源发出
的次波有两点明显区别:首先它的复振幅是真实点光源次波复振幅的; 其次, 它比真实点
光源次波的相位超前(已约定指数上的正相位表示落后, 负相位表示超前) 。等效次波的
2
这些奇特性质从历史角度来看是很重要的, 因为在菲涅耳的早期工作中, 只有当我们能够使次级具有这些性质之后, 才能通过惠更斯包络作图法和子波干涉原理的结合来准确预言衍射条纹。基尔霍夫的严格数学推导表明, 这些性质是光的波动本性的结果。
另一方面, 惠更斯-菲耳原理中的 次波 是处理衍射问题时提出的一种假设, 为了使这种假设更符合实际情况, 应在合理的范围内不断修改假设, 而使次波具有真实光源不具备的某些性质, 这是完全允许的。
)
1163 5 报表文件
(1) 文档报表;
郑 州 工 业 大 学 学 报 1998年
(2) 工程图报表。
系统集成了两个工具, 一个是文档编辑器EDIT , 一个是A UT O CAD 。
参考文献
1 刘 琼 Fox pro 应用程序中建立图形的简易方法. 软件世界, 1995, 26(2) :10~122 Charle S Sieg el. Fox pro 从入门到精通. 刘京志译. 北京:电子工业出版社, 1992. 145~150
Management of Engineering Drawings
Yan Qiao Dong M ing liang Yang Yaomin (Zhengz hou Univer sity of T echnology )
Abstract Manag ement of eng ineering draw ings is an important part of CAD engineering application. A practical system of m anaging engineering draw ings is introduced in this paper.
Keywords eng ineering draw ings; management of draw ings; CAD
(上接113页)
参考文献
1 玻恩M , 沃尔夫E 光学原理 黄乐天译 北京:科学出版社, 1978. 4882 赵凯华, 钟锡华 光学 北京:北京大学出版社, 1982. 198
An Explanation for the Imaginary Parameter of
Kirchhoff s Diffraction Formula
Guan Zhiw u
(Zhengz hou Univer sity of T echnology )
Abstract By the strict mathem atics theory, Kirchhoff deduced his diffraction form ula. T his paper supports the imag inary parameter in a simplified w ay, and offers an intuitive ex pla -nation for it.
Keywords w ave front; w avelet; diffraction