l量子力学教程精华版

量子力学教案

主讲 周宙安

《量子力学》课程主要教材及参考书

1、教材：

周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979

2、主要参考书：

[1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993

[2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000

[3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003

[4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984

[5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999

[6] L. I. 希夫，《量子力学》，人民教育出版社

[7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999

[8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990

[9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999

[10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979）

[11] L.D.Landau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980）

第一章 绪论

量子力学的研究对象：

量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。

§1.1经典物理学的困难

一、 经典物理学是“最终理论”吗？

十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明：

机械运动（v

电磁现象麦克斯韦方程光现象（光的波动）

热现象热力学、统计物理学（玻耳兹曼、吉布斯等建立）

有人认为：物理现象的基本规律已经被揭穿，剩下工作只是应用和具体的计算。

这显然是错误的，因为“绝对的总的宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的，因而在绝对真理的长河中，人们在各个一定发展阶段上的具体认识只具有相对的真理性”。

二、经典物理学的困难

由于生产力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象无法用经典理论解释。

1. 黑体辐射问题

2. 光电效应问题

3. 原子的线状光谱和原子结构问题

4. 固体在低温下的比热问题

三、量子力学的两个发展阶段

1. 旧量子论（1900-1924）

以普朗克、爱因斯坦、玻尔为代表

2. 量子论（1924年建立）

以德布罗意、薛定谔、玻恩、海森堡、狄拉克为代表

四、学习上应注意的几点：

1. 牢记实验是检验真理的标准

2. 冲破经典理论的束缚

3. 建立创造性思维方法

4. 正确认识微观现象的基本特征

§1.2光的波粒二象性

1.光的波动性

最典型的实验是1802年的杨氏干涉实验和后来的单缝、双缝衍射实验。 相干条件：k (k=0，1 ，2，……)加强

(2k1) 相消 2

或位相差 =2

=2k 加强

=(2k+1) 减弱

2.黑体辐射

热辐射同光辐射本质一样，都是电磁波对外来的辐射物体有反射和吸收的作用，如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体为绝对黑体（简称黑体），它是一种理想化模型。例如：一个用不透明材料制成的开小口的空腔，可以看作是黑体，其开口可以看成是黑体的表面，因为入射到小孔上的外来辐射，在腔内经多次反射后几乎被完全吸收，当腔壁单位面积在任意时间内所发射的辐射能量与它所吸收的辐射能相等时，空腔与辐射达到平衡，研究平衡时腔内辐射能流密度按波长的分布（或频率的分布）是19世纪末人们注意的基本问题。

1）实验表明：当腔壁与空腔内部的辐射在某一绝对温度T下达到平衡时，单位面积上发出的辐射能与吸收的辐射能相等，频率到dv之间的辐射能量密度()d只与和T有关，与空腔的形状及本身的性质无关。即

()dF(,T)d

其中F(,T)d表示对任何黑体都适用的某一普通函数。当时不能写出它的

具体解析表达式，只能画出它的实验曲线。见P5图2

2）维恩（Wien）公式

维恩在做了一些特殊的假设之后，曾用热力学的方法，导出了下面的公式：

()dc1v3e2vTd

其中c1，c2为常数，将维恩公式与实验结果比较，发现两者在高频（短波）区

域虽然符合，但在低频区域都相差很大。

3）瑞利-琼斯（Rglaigh-Jeans）公式

瑞利-琼斯根据电动力学和统计物理也推出了黑体辐射公式：

()d82

c3kTd

23其中k是玻耳兹曼常数（1.3810J/K），这个公式恰恰与维恩公式相

反，在低频区与实验符合，在高频区不符，且发散。

因为： ()d08Tc302d

当时称这种情况为“紫外光灾难”。

由于经典理论在解释黑体辐射问题上的失败，便开始动摇了人们对经典物理学的迷信。

4）普朗克（Planck,1900）公式

1900年，普朗克在前人的基础上，进一步分析实验数据，得到了一个很好的经验公式：

vd8h33ce1h

kTd 1

式中h称为普朗克常数， h6.6261034JS

在推导时，普朗克作了如下假定：黑体是由带电的谐振子组成，对于频率为的谐振子，其能量只能是h的整数倍，即：

Ennh

当振子的状态变化时，只能以h为单位发射或吸收能量。能量h成为能量子，这就是普朗克能量子假设，它突破了经典物理关于能量连续性概念，开创了量子物理的新纪元。

3. 光电效应

在光的作用下，电子从金属表面逸出的现象，称为光电效应。自1887年Hertz起，到1904年Milikan为止，光电效应的实验规律被逐步揭露出来。其中，无法为经典物理学所解释的有：

（1）对一定的金属，照射光存在一个临界频率v0，低于此频率时，不发生光电效应。（不论光照多么强，被照射的金属都不发射电子）

（2）光电子的动能与照射光的频率成正比（Ek），而与光的强度无关。

（3）光电效应是瞬时效应（109s）

爱因斯坦的光量子假设：

光就是光子流，在频率为的光子流中，每一光子的能量都是h。（这样就可解释光电效应），由此得到爱因斯坦方程：

光子的动量： 1vm2hw0 2

 E0c2



2vc22 对于光子vc,00 又 因为：E20c2c2p2 （相对论中能量与动量的关系）

所以：Ecp

而 Eh

所以： pEhh cc

hh或 pnnk c

22其中n表示该光子运动方向的单位矢量，2，nn成为波矢。c

上式把光的两重性质——波动性和粒子性有机地联系了起来。

4.康普顿效应（略）

本节结论：光具有波粒两象性。

课外作业：（1）推导普朗克黑体辐射公式

（2）设计光电效应实验原理图

§1.3原子结构的玻尔理论

经典理论在原子结构问题上也遇到不可克服的困难。

玻尔理论的两个基本假设：

（1）量子条件：pmvrn

（2）频率条件：h （且存在定态） 2EnEm~RZ2(11) ，有（1）、（2）可得hm2n2

量子化通则：pdqnh n=1，2，3……

玻尔理论不能解释多电子原子和谱线的强度。玻尔理论是半经典半量子的理论。

§1.4微粒的波粒二象性

一、德布罗意假设

德布罗意仔细分析了光的波动说及粒子说发展的历史，并注意到了十九世纪哈密顿曾经阐述的几何光学与经典粒子力学的相似性[集合光学的三条基本原理，可以概括为费米原理——亦即最小光程原理，ndl0，n为折射系数，

AB

经典粒子的莫培督（Maupertius）原理，亦即最小作用原理：BB

pdl2m(EV)dl0，p为粒子的动量]，通过用类比的方法分析，使他AA

认识到了过去光学理论的缺陷是只考虑光的波动性，忽视了光的粒子性。现在在关于实物粒子的理论上是否犯了相反的错误，即人们只重视了粒子，而忽视了它的波动性了呢？运用这一观点，德布罗意于1924年提出了一个具有深远意义的假设：微观粒子也具有波粒二象性。

具有确定动量和确定能量的自由粒子，相当于频率为或波长为的平面波，二者之间的关系如同光子与光波一样，即：

Eh （1）

p

hn （2）

这就是著名的德布罗意关系式，这种表示自由粒子的平面波称为德布罗意波或“物质波”。

P2设自由粒子的动能为E，当它的速度远小于光速时，其动能E，由（2）2

式可知，德布罗意波长为：

hph2E （3）

如果电子被V伏电势差加速，则Eev电子伏特，则：

h

2eV12.25

A （为电子质量） 0

当V=150伏特时，1A，当V=10000伏时，0.122A，所以，德布罗意波长在数量级上相当于晶体中的原子间距，它宏观线度要短得多，这说明为什么电子的波动性长期未被发现，若把电子改成其他实物粒子，情况是怎样的？ 00

二、平面波方程

频率为，波长为，沿x方向传播的平面波可用下面的式子来表示：

xAcos[2(t)] 

如果玻沿单位矢量n的方向传播，则：

rnAcos[2(t)]Acos(rt) 

写成复数的形式：

Aexpi(krt)

i或 Aexp(prEt) （量子力学中必须用复数形式） 

这种波（自由粒子的平面波）称为德布罗意波。

三、德布罗意波的实验验证

德布罗意波究竟是一种什么程度的波呢？德布罗意坚信，物质波产生于任何物体的运动，这里所说的任何物体，包括大到行星、石头，小到灰尘或电子。这些物质和物质波一样，能在真空中传播，因此它不是机械波；另一方面，它们都产生于所有物体——包括不带电的物体，所以它们不同于电磁波。这是一种新型的尚未被人们认识的波，就是这种波构成了量子力学的基础。

1. 电子的衍射实验

1927年美国科学家戴维孙（Davisson）和革末（Germer）用实验证实了德布罗意波的正确性。

（注：介绍其发现过程、光

强等），后来，汤姆逊又用电子通过金箔得到了电子的衍射图样。

2. 电子的干涉实验

它是由缪江希太特和杜开尔在1954年作出。后来又由法盖特和费尔特在1956年做出。

3. 其他实验表面：一切微观粒子都具有波粒二象性

4. 物质波的应用

电子显微镜 （d

作业：

0.61 分辨率的普遍表达式） sinp16，1.2，1.3，1.5

第二章波函数的薛定谔方程

§2.1波函数的统计解释

一、经典力学对质点的描述（坐标和动量） 规律：m2r(t)

2dt,t) F(r,r

二、自由粒子的波函数（德布罗意假设）

Eh

hpn 

iAexp(prEt) 

问：的物理意义？

错误的解释：（1）波是由它所描写的粒子组成，即它是一种疏密波。

（2）粒子是由波组成，一个粒子就是一个经典的波动。

三、波函数的统计解释

Born 首先提出了波函数意义的统计解释：

波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，即描写粒子的波可以认为是几率波。

分析：电子的衍射实验，见书18页



量子力学的一个基本原理：微观粒子的运动状态可用一个波函数(r,t)来描写。

四、波函数的性质

1. dw(x,y,z,t)c(x,y,z,t)d

表示：在t 时刻,在r点，在d τ = dxdydz 体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率2.几率密度：(x,y,z,t)dw(x,y,z,t)

2



c

2

3.粒子在全空间出现的几率（归一化）：



cd1 则：c



2

1



2

d

4.c，描写的是同一态 5. 归一化波函数 令： 

dwd

2





2



d1 为归一化条件

2

满足上式的波函数称为归一化波函数，使变为的常数称为称为归一化常数。 注意：

1）.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子ei的不

确定。因为：e

i2

1

2

2）.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求d为



有限（平方可积的），如果是发散的，则无意义。

i

(prEt)

例如：自由粒子的波函数p(r,t)Ae，

pdA2dA21 A0

2

注意：波函数是时间位置的函数，即(x,y,z,t)u(x,y,z,t)iv(x,y,z,t) 例题：曾书第13页

§2.2态迭加原理

回顾：（1）在量子力学中用波函数描写微观粒子的量子状态

（2）波函数的统计解释：当确定时，粒子的力学量取各种可能值的几率确定。

一、经典波的态迭加原理

两个可能的波动过程1,2的线形迭加的结果a1b2也是一个可能的波动过程。

二、态迭加原理

以粒子的双狭缝实验为例，见书第14页，图6

如果1,2是体系的可能状态，那么，它们的线形迭加c11c22也是这个体系的可能状态

三、两种迭加原理的区别

1.在状态c11c22中，对某力学量Q进行测量，测到Q值可能是1，也可能是2，但绝对不会是其他的值（和抛硬币的情形差不多）。

2.若12，则c1c21，这时与1是同一态，这与经典波的迭加不同 3.当粒子处于态1和态2的线形迭加态时，粒子是既处于态1，又处于态2，例如抛正六面体的塞子。

四、态迭加原理的一般表达式

cnn,c1,c2……为复数

n

物理意义：书第23页，学生回答。

五、态迭加原理的一个实例（电子在晶体表面衍射实验中的情形）P2325。同学们自学，并看一看数理方法中的傅立叶变换。下次课解答疑问。



以一个确定的动量p运动的电子状态的波函数

Etp·r

pr,tAe （1）

i





由态迭加原理，在晶体表面上反射后，粒子的状态可以表示为p取多种可能值的平面波的线性迭加：

r,tcppr,t （2）

p





由于p可以连续变化，求和改为积分：

r,tcp,tprdpxdpydpz （3）





式中



pr



cp,t

1

e

ip·r

21

（4）

i

2p·r

r,tedpxdpydpz （5）

把（4）式代入（3）式得：



r,t

1

p·r

cp,tedpxdpydpz （6）

i

2



显然（5）、（6）两式互为傅立叶变换式，且c(p,t)与(p,t)描写的是一个状态。

是同一个状态的两种不同的描写方式。(r,t)是以坐标为自变量的波函数。

c(p,t)则是以动量为自变量的波函数。

§2.3 薛定谔方程

简述经典力学中质点的状态及运动方程

类似地，详见曾书P18，微观粒子状态的变化规律也应该遵循某一方程。

一、薛定谔方程应该满足的条件



1、方程应当是(r,t)对时间的一阶微分方程 

这是由波函数(r,t)完全描写的基本假设所决定。 2、方程是线性的（只包含一次项）

即如果1和2是方程的解，那么它们的线性迭加c11c22也是方程的解，这是态迭加原理的要求。



3、这个方程的系数不应该包含状态的参量。如动量、能量等。但可含有Ur，

因为Ur由外场决定，不是粒子的状态参量。

二、自由粒子波函数所满足的微分方程

p·rEt

∵ pr,tAe （1）

i

将上式两边对时间t求一次偏导，得：

p·rEtii

EAeEp t

p

i

或 i

pt

Ep （2）

∵上式还包含状态参量——能量E，故不是我们所要求的方程。

将（1）式两边对x求二次偏导，得到：

i

p

p·rEtxxAe



i

xpxypyzpzEt

xAe



i

i

p

xpxypyzpzEt



xAe

i



pxp 22

Px2ip

xp2

xp2

p 2

同理： 2P

y2py2p

2

2Ppz

z22

p 上三式相加得： 222



x2y2z2



p2p2p 令 2

222

x2y2z2 ——Laplace算符则（3）式简化为：

2

p2

p

2p （4）

对自由粒子： EEp2

K

2

p22E 将（5）代入（4）得：

222

pEp 比较（2）、（6）两式得：

3） 5）

6） （

（ （

22

i p （7）

t2显然它满足前面所述条件。

p

三、薛定谔方程 1、能量算符和动量算符 由（2）式 i

pt

Ep 可看出E与i



对波函数的作用相当： t

Ei

将（4）式改写成：



（能量算符） （8） t



p·pi·i



由此知 pi （动量算符） （9）

 i （劈行算符） jk

xyz问：px? （pxi2、薛定谔方程

现在利用关系式（8）、（9）来建立在立场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中的势能为Ur，则：



） x

p2

Ur （10） E 2



上式两边乘以波函数r,t得： p2

Ur E2将（8）、（9）式代入得：

22

Ur it2

（11）



这个方程为薛定谔方程。（UUr,t）

注：上面我们只是建立了薛定谔方程，而不是推导，建立的方式有多种。薛定谔方程的正确与否靠实验检验。 3、关于薛定谔方程（详见曾书P1921）

四、多粒子体系的薛定谔方程

p∵ EiUr1,r2,rN

I12i

n

2



上式两边乘以波函数r1,r2,rN,t并做代换



piii ； t



其中 ii jk

xiyizi Ei

N

22

则有： iiU

ti12i

上式就是多粒子体系的薛定谔方程。

§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

一、几率随时间的变化 几 ）

则：

率

：









(r,t)(r,t)(r,t)|(r,t)|2

（1

 ttt

（2）

22

Ur] Sch-eq： i[

t2

i21

Ur （3）t2i

i21

及 （4） Ur

t2i（3）、（4）代入（2）式有：

i*22* t2





i

** （5） ·2

令（6）

：

iJ[]

2

则（5）式可写成：



·J0 （7） t这方程具有连续性方程的形式



为了说明（7）式和矢量J的意义，下面考察（7）式对空间任意的一个体积V的积分：



d·Jd vtvvt



由高斯定理：·AdA·ds 可得到：

v

s



J·dsJnds （8）  vts面积分是对包围体积V的封闭面S进行的，（8）式左边表示单位时间内体积



V中几率的增加，右边是矢量J在体积V的边界S上法向分量的面积分，因而很

Jn表示单位时间内流过S面上单位体积自然的可以把J解释为几率流密度矢量。

的几率。（8）式也说明单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V的边界S上而流进V内的几率。

若



0，则：

dd

d*d0 （9）dtdt



若波函数是归一的，即*d1，也有0，即将保持归一的性

t质，而不随时间改变。

二、质量密度和质量流密度（守恒定律） 1.质量密度：

|(r,t)|2

2.质量流密度：Ji

J2()

3.质量守恒定律：以乘以方程（5）得：

t

·J0 4.电荷守恒定律：

e

t·Je0

其中： J

ee Jee 三、波函数的标准条件

单值，有限，连续（∵和J满足连续性方程）

§2.5定态薛定谔方程

一、定态sch-eq：

如果Ur

不显含时间，则薛定谔方程的解可用分离变量法求之。

Sch-eq: it(r,t)[222

V(r)](r,t) 设： (r,t)(r

)f(t) 将（2）代入（1）式中：

10）

（1）

（2） （

f(t)22

i(r)[Ur]f(t)(r)

t2



上述方程两边除以(r)f(t)得：

d22

i(r)f(t)f(t)[Ur](r) （3）

dt2

（3）式恒成立的条件是左边和右边都等于同一个函数，设这个常数为E，则有：

i

df(t)

Ef(t) （4）

dt

22

[Ur](r)E(r) （5）

2

方程（4）解为：

f(t)CeiEt/ （6）

C为任意常数，将（6）代入（2）式得：

Et

(r,t)(r)e （7）

这个波函数与时间的关系是正弦式的，它的角频率数称为定态波函数。 定态的特点：

1） 粒子的几率密度和几率流密度与时间无关

i

E

，（7）式所示的波函

2Et

∵ (r,t)(r)e显然，



0 t

i

2

2

(r)

2） 能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证） 3） 各力学量的平均值不随时间变化 二、哈密顿算符的本征方程

iEt

以r乘方程（4）两边，e乘方程（5）两边，可以看出定态波函数



(r,t)(r)f(t)满足下列两方程

i



E （8）

t

22

[ Ur]E （9）

222

从上面方程可看出：i与[Ur]相当，它们都称为能量算符，

2t22p2

又由于算符[Ur]是由pi代换而来，EUr在经典力学

22



中称为哈密顿函数，所以这种算符又称为哈密顿算符，通常以H表示，这样（9）式可写为：



HE

（10）



这种类型的方程称为本征值方程，E被称为算符H的本征值，称为算符的本征方程。



讨论定态问题，就是要求出(r,t)（或(r)）和E，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加：

Ent

(r,t)Cnn(r)e Cn为常数。

n

i

作业：第52页，2.1，2.2

补充作业：试判定下列波函数是否为定态波函数 （1）(x,t)u(x)costu(x)isint （2）(x,t)u(x)costu(x)sint

§2.6一维无限深势阱

从这一节起，我们将用薛定谔方程处理几个简单的定态问题，研究这些问题，不仅因为它们简单，容易得到严密的结果，而更重要的是因为这些问题具有典型性，处理方法带有一般性，是研究各种复杂问题的基础。此外，微观体系的许多特性，可以在这些问题中明显地表露出来，通过学习，可以进一步加深我们对微观现象所具有的特性的认识。 一、粒子的势能

在许多情况中，如金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质子和中子等粒子的运动有一个共同点，即粒子的运动都被限制在有限的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。为了分析束缚态粒子的共同特点，我们可以将上述情况简单化、理想化，建立无限深势阱模型。粒子的势能为：

0,

U(x)



如下图所示：

二、粒子的能级和波函数 在势阱外： (x)0 [x0

0xa

x0,xa

xa] （1）

在势阱内：因为U(x)0，所以其定态薛定谔方程为：

2d2

E 0xa （2）

2dx2令 k

2E

（3）

2

则方程（2）可化为标准形式：

d2

k202

dx

0xa （4）

其通解为： (x)Asinkx () （5）式中A，为两个待定常数，单从数学上看，E为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有

(0)0 （6） (a)0 （7） 由（5）式和（6）式得： asin0

令波函数不能恒为零，而A不能为零，所以必须0 ，于是

(x)Asinkx （8） 再根据（7）式得

(a)Asinka0

所以ka必须满足：

kan n1,2,3......

n取负数给不出新的波函数。这告诉我们k只能取下列值 k

n

n1,2,3...... (9) a

由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：

n222

En n1,2,3...... (10) 2

2a这就是说，并非任何E值对应的波函数都满足问题所要求的边值条件（6）、（7），而只有当能量值取（10）式所给出那些En值时对应的波函数才有满足边值条件，这样我们就能很自然地得到，被束缚在阱中的粒子的能量只能取一系列

离散的数值，即能量是量子化的。

将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为 的波函数。

0

n(x)

Asinnxan1,2,3......

x0,xa

（11）

0xa

n0,n0,0，波函数无意义

（11）式中A可由归一化条件确定



知：A





|n(x)|2dx|(x)|2dxA2sin2

aa

n

xdx1 a

2 a

最后得到能量为En的归一化波函数为：

0

(x)

2sinnxaa

三、讨论（留给同学们自己做） 提示：1）关于能级 2）关于波函数 3）与经典力学比较 4）物理实质

x0,xa

0xa

§2.7线性谐振子

一、粒子的势能

U(x)

1

2x2 （1）

2

显然，当x时，势能U，可见谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。 二、能力和波函数

2d2122

定态薛定谔方程： xE （2）2

2dx2既然粒子处于束缚态，则要求波函数满足条件



x0 （3）

下面我们就来求（2）式的满足边值条件（3）的解： 先将方程（2）简化，引进无量纲的参数

x





（4）

和 

2E

（5） 

则方程（2）变成：

d2

[2]0 （6） 2

d

首先粗略分析一下时解的渐进行为，当很大时，与相比可以忽略，方程（6）可以近似表示为：

d2

20 （7） 2

d不难证明，当时，方程（7）的渐近解为： e其中e

2

2

/2

/2

不满足边值条件，故只能取：e

2

/2

在渐进解形式的启发下，我们令方程（6）的精解为 e

2

/2

H() （8）

的形式，将它代入方程（6）得：

d2HdH

2[1]H0 2

dd（9）

这就是厄密方程，解为H()，从而得，但是，不是方程（9）所有形式的解都能使满足边值条件（3），从附录Ⅱ中我们知道，只有当 12n（10）

时，方程（9）才能满足要求，此时，方程的解为厄密多项式，通常认为： Hn()(1)e（11）

它是的n次多项式，如：

n2

n0、1、2、3......

dnd

2

e

2

H01H12H2422H38212

由（1）式可以得出Hn()满足下列递推关系：

dHn

2nHn1() d

由（5）式和（10）可得一维谐振子的能量可能取值为：

1

En(n)

2与之相应的波函数为： n(x)Nne归一化因子（见附录Ⅱ）为：Nn四、讨论（留给学生思考）

n0、1、2、3......

x22/2

Hn(x)



n!2

n

作业：第52页，2.3，2.4，2.5

2.8势垒贯穿

在2.6，2.7节中所讨论的问题，体系的势能在无限远处都是无穷大，即粒子处于束缚态，波函数在无穷远处为零，这个条件是得体系的能级是分立的，量子化的。这一节我们将论非束缚态的问题，非束缚态最简单最典型的例子是方势垒贯穿，它也明显地表露出量子效应。（注意：这类问题中，粒子的能量是预先确定的）

一、一维方势垒问题

U,0xa势能：Ux0

0,xa,x0如右图所示：

设具有一定能量E的粒子沿x正方向射向方势垒，若U0，则按经典力学理论，它必将全部在x=0处返回，不能进入势垒，现在来看量子力学会给出什么结果。

二、粒子的定态波函数（先讨论U0）的情形

d x

2dxd

 0

d x>a (3) Ⅲ: 

2dx

2

2

12

1

2

2

22

2

2

2

2

32

3

2

令： k1

2E2

2k2

2(EV0)

2

(4)

则（1），（2），（3）式可化为：

1k1210

2

2k220

x00xa

I区 x

II区 0

3k1230

xaIII区 x>a (7)

方程（5），（6），（7）的通解为：

1AeikxAeikx x

1

1

2BeikxBeikx 0

2

2

3Ce

ik1x

Ceik1x x>a (10)

当我们用时间因子乘以上面三个式子，立即可以得出1,2,3中的第一项表示向右传播的平面波，第二项为向左传播的平面波，在x>a的区域，当粒子以左向右透过方势垒，不会再反射，因而Ⅲ中应当没有向左传播的波，也就是说

c0。

下面利用波函数及其一阶微商在x=0和x=a处连续的条件来确定波函数中的其他系数。

由：1(0)2(0)：AABB

1'(0)2'(0)：k1Aik1Aik2Bik2B 2(a)3(a)：BeikaBeikaCeika

2

2

1

2'(a)3'(a)：ik2Beikaik2Beikaik1Ceika

2

2

1

可见，五个任意常数A,A,B,B,C满足四个独立方程，由这一组方程我们可以解得：

A

22i(k12k2)sink2a

(k1k2)2eik2a(k1k2)2eik2a

A （11）

4k1k2eik1a

CA （12）2ik2a2ik2a

(k1k2)e(k1k2)e（11），（12）两式给出透射波振幅和反射波振幅与入射波振幅之间的关系。 三、几率流密度、透射系数、反射系数 1、几率流密度

i

入射波： J[]

2

Aeik1x

（注：几率流密度还可写成几率密度与粒子速度的承继，对于动量和能量确定的

pk22

） 粒子，即J2①入射波几率流密度：（入Aeik1x）

k2

J1A



②透射波几率流密度：（透Ceik1x）

k2 JD1C



③反射波几率流密度：（反Aeik1x）

k2

JR1A



2、透射系数

222

CJD4k1k2

D2 （13）

2222222JAk1k2sinak24k1k2

3、反射系数

222

AJRk1k2sink2a21D R

222222JAk1k2sink2a4k1k2

2





2

由上两式可见，这说明入射粒子一部分贯穿到xaD和R都小与1，D与R这和等于1。

的区域，另一部分被势垒反射回去。下面讨论EU0的情形。这时k2是虚数。 令： k2ik3 ， 则k3是实数

k3

2(U0E)

2 

1

2

把k2换成为ik3，前面的计算仍然成立。经过简单计算后，（11）式可改写成：

C

k

2

1

k3

22

shka2ikkchka

3

13

3

2ik1k3eik1a

A

其中sh和ch依次是双曲正弦函数和双曲余弦函数，其值为

exex

shx

2exex

chx

2

透射系数 的公式（13）式可改写为：

D

k

2

1

k3

22

shka4k

3

4k1k3

22

2

1

k3

2

如果粒子能量比势垒高度小很多，即EU0，同时势垒高度a不太小，以至于

k3a1，则e

k3a

e

k3a

ek3a

，此时shk3a，于是

24

2

D

1k1k32k3ae44k3k1

因为k1和k3同数量级，k3a1时，e2k3a4[或（所以当k3a足够大时

k1k3

）为恒大于1的数值]，k3k1

DD0e

2k3a

D0e

22



2

2(U0E)a

其中D0

k

16k1k3

1

2

k2

22

，上式给出了EU0时，粒子透过方势垒的几率。对于任

意形状的势垒，我们可以把上式加以推广，写成：



DD0e

2

x2x1



0dx

即我们可以认为是透过许多方势垒的几率的乘积。（见书50页图17） 四、微观粒子和宏观粒子经势垒散射的讨论

1、若EU0，宏观粒子完全穿透势垒，无反射，而微观粒子既有穿透的可能，又有反射的可能。

2、若EU0，宏观粒子完全被反射，不能穿透势垒，而微观粒子既有反射的可能，又有透射的可能。这种粒子在能量 小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

按经典理论，隧道效应是无法理解的，因为当粒子进入到势垒内部时，而一个经典粒子的总能量E又等于动能与势能的和，因此粒子的动能将EU0，

小于零。动量（p2EU0）将是虚数，这自然是不允许的。但按照量子力学的概念，这一现象是不可理解的，这是由于微观粒子具有被动性的表现。这可用光波在介质表面的反射与折射做类比。

注：隧道效应是一种微观效应。参见书第49页的表 作业：书53页 2.7

小结 书50-52

第三章 量子力学中的力学量

正如前面所说的，由微观粒子的波粒二象性，我们必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符

§3.1表示力学量的算符

一.算符

1.定义：算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号

通俗地说，算符就是一种运算符号。我们通常用上方加“”的字母来表示算符，例如：F,P,2.算符的作用

算符作用在一个函数u上，使之变成另一个新的函数v，例如：Fuv,







d

,dx

,x,3,i它们都称为算符。

du

v dx

d

是微商算符。 dx

又如x也是一个算符，它对函数u的作用是与u相乘，即xu=xu=v,

还有也是一个算符，把它作用在函数uv 即

是一个开平方的运算符

号，可见，算符并不神秘，x,3,-1等都可以看作是算符。

二.算符的运算规则

1.算符相等：如果PuQu，则PQ

其中u为任意函数，注意：这里u必须是任意的函数，如果上面前一式中只对某一个特定的函数，我们就不能说算符P和Q相等。













d222

(x)2x,而(x)2xdxx

例如：

d2

dxx

２.算符相加：若FuPuQu，则FPQ

即如果把算符F作用在任意函数u上，所得到的结果和算符P、Q分别作用在u上而得到的两个新函数Ｐu，QU之和相等，则我们说算符F等于算符P与



















Q之和.

且ABB









A （满足加法交换律）



A(BC)(AB)C （满足加法结合律）

３.算符相乘：

若PQuFu，则PQF



dd

例如：，又如Px,Q,PQx

dxdxxyxy

















2



如果同一算符P连续作用n次，则写作P，例如：PuP[P(Pu)] ４.算符的对易关系





0P与Q对易如果， PQQP

0P与Q不对易







注意：一般来说，算符之积并不一定满足对易律，即一般地PQQP







n3



例如：x与

ddddd

x,xu(xu)\ 就不对易，即x

dxdxdxdxdx

但是，在某些情况下，算符之积满足对易律，例如：X和



是对易的，y

\x

uuxux\ yyy

另外，如果算符和

A和B对易，B和C对易，则A和C不一定对易，例如：x



dddd对易的，和对易，但x和都不对易。 dydydxdx

有了这些规定，我们就可以象普通代数中那样对算符进行加、减和乘积运算

了，但是必须记住有一点是与代数运算不同的，即我们不能随便改变各因子的次序（因为两个算符不一定对易），例如：

(AB)((AB)



ABAABB

2



2

2

2

除非我们已经知道Ａ与Ｂ对易，否则不能轻易地把上式写成等于AB.

三.线性算符

若

Q(cu





11

c2u2)c1Qu1c2Qu2



则称Q为线性算符，其中u1,u2为两个任意函数，c1,c2是常数（复数）。 显然，x,，积分运算dx都是线性，但平方根算符“因为：1u1c2u2c1u1c2u2

另外，取复共轭也不是线性算符，以后我们可以看到，在量子力学中刻划力学量的算符都是线性算符。

2

”则不是线性算符。

四.厄密算符

如果对于任意两个函数和，算符

F



满足下列等式：

d*F





d(F)*



则称F为厄密算符，式中x代表所有变量，积分范围是所有变量变化的整个区域，且和是平方可积的，即当变量x时，它们要足够快地趋向于０。 补充１：两个厄密算符之和仍为厄密算符，但两个厄密算符之积却不一定是厄密算符，除非两者可以对易。

例：１.坐标算符和动量算符都是厄密算符

２.

d

不是厄密算符 dx

另：厄密算符的本征值是实数

补充２：波函数的标积，定义：(,)*d

五.算符的本征值和本征函数

如果算符F作用在一个函数，结果等于乘上一个常数：



F

则称为F的本征值，为属于的本征函数，上面方程叫本征方程。本征方程的物理意义：如果算符F表示力学量，那么当体系处于F的本征态时，力









学量有确定值，这个值就是F在态中的本征值。



六.力学量的算符表示

１.几个例子：（表示为坐标的函数时，(x,y,z,t)）

动量p：



ˆi p

2

2

能量E：U(r)

2





坐标r：xx,y

y,zz,（可写成等式）







２.基本力学量算符：动量和坐标算符

p



x

i,

x



p





y

i,

y



p



z

i

r

r,xx,yy,zz

z

３.其他力学量算符（如果该力学量在经典力学中有相应的力学量），由基本力学量相对应的算符所构成，即：

如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符F











由经典表示式F(r,p)中将p换为算符







p而得出，即：



,i)

(,)(pFFrFrpU(r

)，则E例如：E

22

2





2

2



U(r)



又如：Lrp

则：Lrpr(i)ir







注：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，为什么？

因为：所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数，而厄密算符就具有这个性质。

求证：厄密算符的本征值是实数

证明：设F为厄密算符，为F的本征值，表示所属的本征函数，即：





F

因为：



d*Fd(F)*（Ｆ为厄密算符）

取 ，则有：



d*Fd(F)*

d**d**

即是实数。



§３.２动量算符和角动量算符

一.动量算符

动量算符的本征值方程是：



(r)p(r) （１） ipp



式中p是动量算符的本征值，p(r)为相应的本征函数，（１）式的三个分量方程是：



(r)p(r) ipxp(r)p(r) ipyp



(r)p(r) （２） izpzp

它们的解是：

pr(r)cep （３）

式中Ｃ是归一化常数，为了确定Ｃ的数值，计算积分：







2(r)(r)dc*pp



i

exppxpx)x(pypy)y(pzpz)z]dxdydz 



i

因为：exp[(pxpx)x]dx2(pxpx)



式中(pxpx)是以pxpx为变量的函数，所以有：







(r)d(r)p

*

p

|c|

2







e

i(pp)rd



|c|2(2)3(pp)



因此，如果取c(2)，则p(r)归一化为函数：

2

32







23

(r)d|c|(2)(pp) （ ４） *pp(r)



pr(r)cep （５）

i

而是归一化为函数，这是p(r)不是象*d1所要求的归一化为１，





由于p(r)所属的本征值组成连续谱的缘故。 二.箱归一化

问题：我们能否把动量的连续本征值变为分立本征值进行计算？ 答案是肯定的，可通过下面的方法来实现：

设粒子被限制在一个正方形箱中，箱子的边长为Ｌ，取箱的中心作为坐标原点，（如图１８）显然，波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值。波函数所满足的这种边界条件称为周期性边界条件，加上这个条件后，动量的本征值就由连续谱变为分立谱。因为根据这一条件（参见图１８），在点Ａ（和点A（

1

L，y,z）2

1

L,y,z), P的值应相同，即： 2

iL

[pxpyypzz]2

ce

或

ce

iL

[pxpyypzz]2

e

i

[pxL]

1

这个方程的解是：

1

pxL2nxnx0,1,2, （６）

这样有：px

2nx

（７） L

同理： py

2ny

L

（８）

pz

2nz

（9） L

ny,nz0,1,2,

从上三式显然可以看出两个相邻本征值的间隔与Ｌ成反比，当L 时，本征值谱由分立谱变为连续谱。

在加上周期性边界条件后，动量本征函数可以归一化为１，归一化常数是

CL，

3/2

因而： p(L)e

i

pr

32

（10）

L/22

这是因为：

L/2

L/2



*dcpp



L/2

dc2L31

像这样地粒子限制在三维箱中，再加上周期性边界条件的归一化方法，称为箱归一化。

iEt



p(r)乘上时间因子e就是自由粒子的波函数，在它所描写的态中，粒



子的动量有确定值p，这个确定值就是动量算符三.角动量算符

p在这个态中的本征值。





角动量Lrp，由力学量的算符表示得：

Lrpr(i)rp









ˆzzpˆyi(yzzy)Lxyp



ˆxxpˆzi(zxxz)Lyzp

（１）



Lzxpˆyypˆxi(xyyx)角动量平方算符是：Lˆ2Lˆ2xLˆ2yLˆ2z

2[(y2z)2(zx)2(xy) 直角坐标与球坐标之间的变换关系是：

xrsincos

r2x2y2z2 yrsinsin cosz/r zrcos tany/x 对于任意函数f (r, θ, φ)

（其中r，θ，φ，都是x,y,z的函数）有：

ffrffxx



irxiixi

其中：x1,x2,x3x,y,z

r

xrxx



x或： ry

ry

yy r

z

rz

z

z

将（３）式两边分别对x,y,z求偏导得：

（3）

（4）

（5） （２） （６）

r

xsincosr

sinsins （７）

yr

z

cos将（４）式两边分别对x,y,z求偏导得：

1

xrcoscos



1

cossin yr 

z

1

rsin将（５）式两边分别对,y,z求偏导得：

1sin

xrsin1cos

y

rsin z

0将上面结果代回（６）式得：



11sin

xsincosrrcoscosrsin



sinsin11cos y

rrcossinrsin 

z

cos1rrsin

0则角动量算符在球坐标中的表达式为：

Lˆx

i[sincotcos



]Lˆi[coscotsin] 

y

 

ˆ

Lz

i（ ８） （９） 10） 11） （ （

11222ˆL[(sin)]sinsin22（12）

ˆ2Y(,)L2Y(,) L本征方程： L

112

或：[ (sin)2]Y(,)2Y(,) （13）2

sinsin

2



2

Y(,)是L2算符的本征函数，属于本征值2的。 以下参见书第６２－６３页……

由以上的结果知L2的本征值是(l(l1)2，所属本征函数是Y(,)：





ˆ2Y(,)l(l1)2Y(,) Llmlm

因为：l表征角动量的大小，所以称为角量子数，m则称为磁量子数，且对于一个l值，m可取（２l+1）个值，因此L2算符的本征值是（２l+1）度简并的。



ˆY(,)LY(,) Lz的本征方程：Lzlmzlm

ˆY(,)mY(,) Lzlmlm

ˆm m0,1,2, Lz

补充：Lz()Lz() 或：i



()Lz() 

iLz

解之得：()c

其中Ｃ为归一化常数。

１）.波函数有限条件：要求Lz为实数

２）.波函数单值条件，要求当转过2角回到原位时波函数相等。即：

()(2)ce

iLz

ciLz(2)



e

iLz2

cos[

2Lz2Lz

]isin[]1 

于是：

2Lz

2mm0,1, 

由归一化条件得：c

12

im

所以：m()

e2

1

最后书上列出了几个球谐函数

§３.３电子在库仑场中的运动

以类氢离子例，取核为坐标原点，则电子的势能为：

Ze

U(r)s

r

其中 ese(4)，在CGS单位制中：ese，r是电子到核的距离。

12

2

一.哈密顿算符的本征方程

HE (1) 22Ze2

 E （2）

r2

这个方程在球坐标中的形式为：

22112

[(r)(sin)]U(r) (3) 222rrsinsin令：(r,,)R(r)(,) （4）

2

R(r)Y(,)除方程两边，移项后得： 将（4）式代入方程（3）中，并以

2r21d2dR2r211Y12Y

(r)2[EU(r)][(sin)] （5）22

Rdrdrrsinsin

则方程（5）分离为两个方程：

1d2dR2r2 2(r){2[EU(r)]20 （6）

drrdrr1Y12Y

(sin)Y （7）

sinsin22方程（7）即为电子角动量平方的本征方程：

1Y12Y

[(sin)]2Y 22

sinsin

2

或：LY2l(l1)，l0,1,2 其：Ylm(,)为球谐函数。l(l1) 将l(l1)代入径向方程（6）中，得：



1d2dR2l(l1)(r){[EU(r)]R0 222drdrrr

当E>0时，对于E的任何值，方程（8）都有满足波函数条件的解，体系的能量具有连续谱，这时电子可以离开何而运动到无限远处。

当E

En

Z2e4

22n2

（9）

n1,2,3,l0,1,2,,n1

式（9）即束缚态（E

RnlNnle

其中





n

L

l

2l1

nl

() （10）

2zrl1

,,L2nl()叫做缔合拉盖多项式。 na0

L

2l1nl

d2l1

()2l1Lnl()

d

而Lnl()叫拉盖尔多项式：

Lnl()e



nld2l1

()

d2l1e

式（10）告诉我们，只要给出了n和l的一对具体数值，我们就可得到一个满足标准条件的径向波函数Rnl，书第70页列出了前面几个径向波函数Rnl ，以共今后查用，这些Rnl已归一化，径向波函数的归一化条件为：



2

nl

R

(r)r2dr1

且Rnl(r)均为实数，式中a0轨道半径。

2

es2

420.5291010米， 是氢原子的第一2

e

由（4）可知，库仑场中运动的电子能量小于零时的定态波函数为：

nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)

归一化条件是：



*nlm

2

nlmdR(r)rdrYYsinddRnl(r)r2dr1



2

nl

2

*

lmlm



且Rnl(r)和Ylm(,)可分别归一化

二.一些结论及讨论

1. 主量子数n：决定能量量子化

2n2me4z2

En22n1,2,3 222

2n(4)nh2. n,l,m之间的关系：

n=1,2,3………… l=0,1,2,3,……n-1

Z2e4

m=0，1,2,l 且：nl1或ln1,即lm

即当n一定，l取n个不同的值， l定，m取2l+1个不同的值 因为：nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)

这样，对有着n,l,m的一组确定的数值，我们就可以写出nlm(r,,)一个具体表达式，也就是说，在量子力学中，氢原子（或类氢原子）中电子的状态是由量子数n,l,m 来表征的。 3.能量的简并度

首先，类氢离子的状态总由波函数nlm(r,,)来完全描述，在nlm(r,,)中只要有一个脚标不同，就代表不同的状态，而En只与n有关，所以能级En是简并的，简并度为：

Nn(2l1)n2

l0

n1

简并原因见书71页第二段。

§3.4氢原子

一. 两体问题（详见理论力学书）

可以归结为一个粒子在场中的运动（引入折合质量）

(x,y,z)(x,y,z)x(t)波函数：(x1,y1,z1;x2,y2,z2;t)

xx1x2,yy1y2,zz1z2

x,y,z表示体系的质心坐标

二. 氢原子的状态（电子相对于核的运动状态）

En

Z2e4

2n

2

2

n1,2,3,

nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)

（质心按能量为E总E的自由粒子的方式运动，我们并不关心，我们所感兴趣的是原子的内部状态。）

三.氢原子中电子的几率分布

1.当氢原子处于nlm(r,,)态时，电子的几率密度为：

Wnlm(r,,)|nlm(r,,)|2|Rnl(r)Ylm(,)|2

由于在(r,,)点周围的体积元dr2sindrdd内的几率是：

Wnlm(r,,)d|nlm(r,,)|2r2sindrdd

2.电子的径向分布几率

此种分布表明电子在空间出现的几率随r的变化，而不管从哪个方向上出现，在半径r到r+dr球壳内找到电子的几率是：

Wnlm(r)drd|Rnl(r)Ylm(,)|2r2sindrd

2

Rnl(r)rdrd|Ylm(,)|2sindRnl(r)r2dr

2

2

2

2

书76页图20表示nl在不同n,m,l值时和的值。

例如：10表示n=1,l=0,即1s态

r

的函数关系，曲线上的数字表示n,la0

R10

a0

3/2

er/a0

2

4a0所以：W10(r)R10(r)r2

r2e2r/a0

由上式可知，除r0和r外，其余各处的10都不为零，即除r0，r以外的点，都有找到电子的几率，问：在1s态电子出现的最大几率为何处？

令：

dW10(r)428r

3(2rr2)e2r/a04(a0r)e2r/a00 dra0a0a0

ra0,0, 有极值

3.电子的角分布几率

这种分布表明电子的几率随空间角度的变化，而不管其径向位置分布如何，在

d,d的立体角d内找到电子的几率lm()d为：

Wlm(,)d|Ylm(,)|2d|Rnl(r)r2dr|Ylm(,)|2d

0

Nlm|Pl(cos)|2d

书77页图21表示在各种l,m,的态中lm()对的函数关系，由于lm()与无关，所以这些图形是绕Z轴旋转对称的立体图形，例如，在l=0,m=0时，几率是：

2m

1

，它与无关，所以在图中是一个球面，又如l=1,m=1时，几率为： 43

11()sin2，在有最值，在极轴方向（0）的值为零，而在

82

3

cos2]。 l=1,m=0时，情况恰恰相反[1.0()4

0,0

§3.5厄密算符本征函数的正交性

一.函数正交性的意义

如果两函数1和2满足关系式： 12d0

*

则称1和2相互正交。

二.定理

厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

证明：设1,2,n是F的本征函数，对应的本征值为1,2,n都不相等。 因为：Fkkk （1） Flll （2）

且当kl时， kl （3） 





又因为F厄密，所以它的本征函数是实数，即：

*kk

（4）

*

这样有：F

*kkk 以l右乘上式两边，并对全空间积分，得：

Fˆ**

k

l

dk



k

ld 以*

k左乘（2）两边，并积分得：

*kFˆ

ldl*kld 由厄密算符的定义，有： *kFˆldFˆ*k

l

d 即（6），（7）两式的左边相等，因而其右边也相等，即： *

kkldl*

kld

或： *

klkld0 由于 kl0

所以： *

kld0 这个定理F

ˆ的本征值组成分立谱或连续谱都成立。 若k已经归一化，即

（5）

（

6） （7） （8）

证毕！

kkd1 （对分立谱） （9）

*

则（8），（9）两式合并可写成：

kldkl （10）

*

1式中： kldkl

0

*

*

当kl当kl

叫做克罗尼克尔符号

对连续谱有： d() （11） 满足（10），（11）式的函数k或l，称为正交归一系。

在上面证明厄密算符的本征函数的正交性，是无简并的情况，简并情况在下面讨论。

正交归一条件： 分立谱： kldkl

*

连续谱： d()

*

满足上述条件的函数系k或l，被称为正交归一系。

2.简并情况

如果F的一个本征函数n是f度简并的，属于它的本征函数不止一个，而是f个： n1,n2,nf Fninni





i1,2,,f （1）

则前面的证明对这些函数不能适用，这些函数并不一定相互正交。

但是，可以证明我们总可以用f2个常数Aji把这f个函数线性组合成f个新函数

nj：

njAjini

i1f

j1,2,,f

（2）

使得这些新函数nj是相互正交的，即：

*

dAAnjnjjijininidjj

*

i1i1f

f

j,j1,2,,f

证明分如下两步进行：

（1） nj是本征值n的本征函数

（2） 满足正交归一条件的f个函数nj可以组成。 证明（1）：

FnjFAjiniAjiFni

i1f

i1



ff



nAjininnj 证毕！

i1

证明（2）： 因为：njAjini

i1f

j1,2,,f

为此只要证明线性迭加系数Aji的个数f2大于或等于正交归一条件方程的个数即可。

njnjdAjiAjininidjj （3）

*

*

i1i1f

f

方程的归一化条件有f个，正交条件有

f(f1)

个，所以共有独立方程个数为两2

f(f1)

； 2

f(f1)f(f1)

0 因为：f2

22者之和

所以，方程的个数少于待定系数的个数，因而，我们有多种可能来确定这f2个系数是（3）式成立，故f个新函数nj的确是算符F的对应于本征值n的正交归一化的本征函数。

结论：既然厄密算符的本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄

