离散傅里叶变换的的讲述和实例参考
离散傅里叶变换的物理含义
不知道为什么，我们的教科书总是不把读者最希望了解的东西告诉他们。这里可能有专业与非专业的区别。浸淫多年的专家认为必须让读者理解的东西其实读者并不关心，读者想要知道的简单答案课本上就是不说。
以离散傅里叶变换为例，许多书都会从用一系列正弦波逼近方波开始，好的，这我们都好理解，但是从此以后大堆的公式就开始上场了，以及卷积呀，皱褶呀，截断呀，延拓呀，中间经历了傅里叶变换，拉普拉斯变换，以及Z 变换，时间域从连续到离散，频域从离散到连续，最终在离散傅里叶变换里时域和频域都离散了，这时频域里的幅值与相位和我们的原始信号有何联系，物理含义是什么，现在没人说了。
其实作为一个普通的，数学不怎么样的工程师，真的不关心离散傅里叶变换背后的数学原理，但是我们现在的教科书往往是告诉了他，这确实是极有用的工具，却不告诉他如何简单有效地使用它。
我在网上搜索答案，发现许多作答的人其实自己也不了解。直到找到一篇说得比较明白，但是在我读它的时候，早把网页关了，也不致应向谁致谢和致敬。下面举的例子，就基于那篇文章，有的部分是原文，在此基础上改写。
例子：
假设我们有一个信号，它含有a 、2V 的直流分量，b 、频率为50Hz 、相位为-30度、幅度为3V 的交流信号，以及c 、频率为75Hz 、相位为90度、幅度为1.5V 的交流信号。用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。
式中cos 参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz 的采样率对这个信号进行采样，采样时间为1秒，数据长度为256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz ，第n 个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz 、50Hz 、75Hz ，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT 的（部分）结果的模值如下所示，我们把在第1点、第51点、和第76点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz 信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz 信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz 信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz 信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT 结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。
原文的总结：
总结：假设采样频率为Fs ，采样点数为N ，做FFT 之后，某一点n （n 从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N ）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi 到pi 。要精确到xHz ，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT 。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT ，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
加一点我自己的理解：
1、无论采样时间是多少，数据长度是多少，离散傅里叶变换的第一项是直流分量。只要计算不错，如何理解是你自己的事。举个例子，如果我们有一个1Hz 的正弦波，你的采样时间是0.5秒，正好采了这个1Hz 正弦波的正半周，那么无论你的数据长度是多少（即采样频率有多高），你的变换结果中一定有很大的直流分量。如何理解这个直流分量？可见，变换结果的判读是十分重要的，另外，对于信号的先验知识是更加重要的，因为它可以帮助我们正确地设计采样时间、采样频率，以及事后对变换结果的正确判读。
2、离散傅里叶变换的第一项是基频，也就是可以分辨的最小频率（间隔），这是由采样时间决定的，即采样时间的倒数。例如，我的采样时间是1秒，那么频率分辨率就是1Hz ，如果我要分辨到0.5Hz ，那么采样时间就得是2秒。
3、数据长度决定倍频的次数。例如，采样长度是16个点，那么转换结果第一个值是直流分量，第二个值是极品，第三个就是2倍频，第四个十三倍频，因此类推，N 个数据，可以到N-1倍频。
4、幅值与相位的计算，前面说了，不多说了。
5、补零可以提高频率分辨率吗？清华程佩青认为不可以。例如，实际采样了1秒时间，补了1秒的零，计算的频率分辨率显然提高了。为什么不可以？程佩青说“实际的”频率分辨率还得按实际的测量数据的长度来算，这怎么看？我认为，无论实际采样的长短如何，它是真实的，在补了零以后，你就把数据的形态给改变了，你让傅里叶变换认为实际数据中有一段是持续的零，那么你在理解变换的结果的时候也得充分考虑补零带来的影响。否则显然会理解错误。
原作者是用Matlab 做的实验，附了源程序，如下：
[附录：本测试数据使用的matlab 程序]
clc;
clear;
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
subplot(411);plot(S);
title('原始信号');
Y = fft(S,N); %做FFT 变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
subplot(412);stem(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT 模值结果
title('FFT 模值');
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值，Fn=(n-1)*Fs/N subplot(413);stem(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT 模值结果
title('幅度-频率曲线图');
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=angle(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
subplot(414);stem(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');