例谈功的计算方法
例谈功的计算方法
西峡二高 袁卫国
功是中学物理中一个重要概念,功能关系是解决力学问题的重要途径之一。因此,正确理解功的内涵和外延,正确把握求功的方法是解决力学问题的基础。本文用实例就求功的方法展开讨论,供大家参考。
1、公式法
对于恒力的功,通常利用功的定义式W =Fs cos θ进行计算。公式中的s 是指力的作用点的位移,它跟物体的位移不一定相同。公式中的θ是指F 与F 作用点位移s 间的夹角。 例1:如图1(a )所示,质量为m 的物块放在一固定的斜面上,某人通过动滑轮用恒力F 拉动物块,恒力F 与斜面夹角为θ,将物块沿斜面前进l ,求人所做的功。
解析:当物块沿斜面向上移动l 时,F 需将绳子拉过l 长度,而F 的作用点的位移为s ,方向由A 指向B ,如图1(b )所示,由等腰三角形知识易求s =2l cos θ
2,由功的定义式得:
W =Fs cos
2、微元法 θ2=2Fl cos 2θ2=Fl (1+cos θ)
当物体在变力的作用下作曲线运动时,若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变,且力与位移的方向同步变化,可用微元法将曲线分成无限个小元段,每一小元段可认为恒力做功,总功即为各个小元段力做功的代数和。
例2:某人用一个始终与速度方向一致的水平力F 拉动小车沿半径为r 的圆周运动一周,则此人做的功是多少?
解析:从整个运动过程来看,F 是一个大小不变,方向不断变化的变力,若把圆周运动分割成Δs 1、Δs 2、Δs 3、Δs 4……许许多多的子运动过程,在Δs 1这一个子运动过程中,小段圆弧Δs 1近似为直线,F 可以作为恒力,它做的功为:W 1=F·Δs 1
F 所做的功即为F 在各个子运动过程中做功的代数和
W = W1+ W2+ W3+ W4+……
= F·Δs 1+ F·Δs 2+ F·Δs 3+ F·Δs 4+……=F·2πr
3、功率法
功跟完成这些功所需时间的比值,叫做功率。表达式为W =P 。对于一段时间内外力的功,t
有时可以直接利用W=Pt求出功,这里的P 应该是恒定的功率,或者是平均功率。
例3:质量为m 的机车以恒定的功率由静止出发沿直线运动,在t 时间通过位移为s ,速度达到最大v m ,假设机车所受的阻力恒定。求机车在这段时间内所做的功_________。
解析:因机车的功率恒定,当机车从静止开始达到最大速度的过程中,牵引力不断减小,当速度达到最大时,机车所受的牵引力最小,与阻力相等。在这段时间内机车所受的阻力恒定,牵引力是变力,因此机车做功不能直接用功的定义式求解,但可用W =Pt计算。由动能定理:
W 牵+W 阻=12mv m 2
12mv m 2其中阻力做的功W 阻=- fs,牵引力的功W 牵=Pt,即上式变为:Pt -fs =
又因达到最大速度v m 时,F=f,故v m =
3mv m t 联立可解得:W 牵= 2(v m t -s ) P f
3、能量法
功是能量转化的量度,已知外力做功情况可计算能量的转化,同样根据能量的转化也可求外力所做功的多少。因此根据动能定理、机械能守恒定律、功能关系等可从能量改变的角度求功。
根据力做功后引起物体能量的变化计算功,即W =∆E 。功是能量变化的量度,外力对物体做功,不但会引起机械能的变化,也会引起其他形式能量的变化,因此可以通过计算物体能量的变化来求合力或某个力的功。这里,经常用到动能定理。合外力对物体所做的功等于物体动能的增量,这就是动能定理。由于在应用动能定理时不必追究物体运动全过程中各个变化的细节,只需要考虑初、末状态,为求解变力做功提供了简化处理的方法。
例4:质量为M 的平板车静止光滑水平面上,有一质量为m 的人静止在平板车上,若人以对地的速度v 水平跳出,则人水平跳出过程中做的功为多少?
解析:人从静止到跳出的这个极短的时间里,是一个变化的力在做功,直接利用定义式求解比较困难。系统开始是静止的,但在人水平跳出后,人和平板车的动能发生了改变,系统获得的机械能就是人所做的功W ,即:
11mv 2+MV 2 22
动量守恒可得:mv +MV =0 W =
(M +m ) mv 2
解得:W = 2M
例5:如图2所示,用汽车通过定滑轮拖动水面上的货船。汽车从静止开始把船从A 拖到B ,若滑轮的大小和摩擦不计,船的质量为M ,阻力为船重的K 倍,船在B 处时,汽车的速度为v ,其他数据如图所示,问这一过程中汽车对船做的功为多少?(绳子的质量不计)
解析:汽车对船所做的功,等于绳子对船做的功,而绳子的张力是变力,故直接求解比较困难。但在整个过程中, 小船动能的改变是由汽车和阻力共同作用的结果,所以可以用动能定理求解。 根据动能定理有:W 汽
-W 阻=12Mv B -0 2
其中阻力做的功: W 阻=KMg (Hctg θ1-Hctg θ2)
又小船在B 的速度为: v B =v cos θ2
Mv 2
解得:W 汽=+KMgH (ctg θ1-ctg θ2) 22cos θ2
4、图象法
利用F -s 图象计算,如图3所示,阴影部分面积在数值上等于外力F 在位移s 上所做的功,其大小可以由平面几何知识求解。一般说来,当力F 随位移是线形变化时,可以用图象法求解。
例6:用铁锤将一铁钉击入木块中,设每次打击锤子时给铁钉的动能相同,铁钉进入木块所受的阻力跟打入的深度成正比。如果钉子第一次被打入木块的深度为l ,求第二次打入的深度是多少?
解析:铁钉进入木块所受的阻力f 跟铁钉进入木块的深度x 之间的关系f=kx,由此可知,阻力是一个随位移线形变化的变力,所以用图象法求解,依题意做出f — x 关系图线如图4所示。
第一次打击时,铁钉克服阻力所做的功W 1等于图4中三角形
AOC 的面积值。
W 1=12kl 1 2
第二次打击时,铁钉克服阻力所做的功W 2等于图4中梯形
ABDC 的面积值。
W 2=11212k (l 2+l 1)(l 2-l 1) =kl 2-kl 1 222
由于两次打击时给铁钉的动能相同,故W 1=W2,则:
∆l =l 2-l 1=(2-1) l 1
例7:某人从10米深的水井中将质量为10kg 的装满水的水桶匀速提上来,由于水桶漏水,每升高1米,漏水0.2kg ,则人要做的功为多少焦耳?(g=10m/s2)
解析:水桶在匀速上升的过程中,由于漏水,所以人对水桶的力是变力。但是,水桶的水是随位移线形变化,所以人对水桶的作用力也是线形变化的。根据题目的条件作出F ——s 的关系图线如图5所示。 刚开始提升的时候,人的拉力为F 0=100N ,当完全提上时,人的拉力F 1=80N,通过的位移s 0=10m。人所做的功W 等于图线与坐标轴所围的阴影部分的面积为: W =1(100+80) ∙10=900J 2
5、平均力法
有些变力做的功,可用整个过程中的平均力的功来代替。如上面讲的力F 随位移是线形变化时,就可以利用平均力来求解。有时,当力随角度按正弦或余弦变化时,也可以利用平均法求解。
例8:将一根水平放置在地面上的长为L =6m,质量为m =200kg的粗细均匀的金属棒竖立起来,至少要做多少功(设所施加的力始终垂直于棒)?
解析:用一始终垂直于棒的力F 将棒的一端匀速提起,
由于力的方向和大小时刻发生变化,因而也不能直接利用功
的定义式求解。该力变化规律如何?如图6所示,在棒转动
到与地面成θ角时,以B 为转轴,可列力矩平衡方程: FL =G L 1cos θ,即F =mg cos θ 22
0利用数学知识可以知道,当θ由O 到90的变化过程中,
F 的平均值为:
F =-2
π
-F max =mg 1mg ∙mg = π2π2所以,该变力F 所做的功W 为: W =F s =1∙(2πL ) =6⨯103J π4
总之,我们要深刻领会功的含义,充分运用求功的各种方法,灵活巧妙地进行功的计算。变力做功的问题是一教学难点,在上述实例中,从不同的角度、用不同的方法阐述了求解变力做功的问题.在教学中,通过对变力做功问题的归类讨论,有利于提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力,有利于培养学生的创造性思维,开阔学生解题的思路.
例谈功的计算方法
西峡二高 袁卫国