矩阵的特征值与特征向量的简易求法

福建信息技术教育

FujianEducationofInformationTechnology

矩阵的特征值与特征向量的简易求法

黄金伟

(福建信息职业技术学院,　)

3

摘　要:变换方法。

关键词:。::A

1　引　言

Ι-A|=0的全部根λ一般教科书介绍的求矩阵的特征值的方法是求特征方程fA(λ)=|λ1,λ2,…,λr

(互异),而求相应的特征向量的方法则是对每个λi求齐次线性方程组(λiI-A)X=0的基础解系,两者的计算是分离的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线性方程组,计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法,只用一种运算———矩阵运算,其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法,而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法,在求出特征值的同时,已经进行了大部分求相应特征向量的运算,有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少,且运算规范,不易出错。

2　列行互逆变换法

定义1把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1.互换i、j两列(ci∴cj),同时互换j、i两行(rj∴ri);2.第i列乘以非零数k(kci),同时第i行乘

ri);kk

3.第i列k倍加到第j列(ci+kci),同时第j行-k倍加到第i行(ri-kri)。

定理1　复数域C上任一n阶矩阵A都与一个Jordan标准形矩阵

λλr)}J=diag{Jk1(λ1),Jk2(2),…,Jkr(

λ10

1

0100

……

00

001

λ100

相似,其中Jki00

…λ1…

λki

称为Jordan块,k1+k2+…+Kr=n并且这个Jordan标准形矩阵除去其中Jordan块的排列次序外被矩阵A唯一确定,J称为A的Jordan标准形。

定理2　A为任意n阶方阵,若

I

系列列行互逆变换

————————J

P

其中

λλr)}是Jordan标准形矩阵,P=(P1)…(Pr),J=diag{Jk1(λ1),Jk2(2),…,Jkr(

3

收稿日期:2006年6月

33

福建信息技术教育

FujianEducationofInformationTechnology

βiki)T(i=1,…,r),k1+k2+…+kr=n。则λi为A的特征值,α=βiki为A的对应特征值λiPi=(βil…

的特征向量。

T

证:由定理1可知,任一矩阵必相似于一约当阵,按定理2中化简方法,有矩阵A的转置矩阵A相似

TTTT

于一约当矩阵J,即存在可逆矩阵P,使PA(P)=J,故AP=PJ

αl…βr1…αr),其中P=(βll…λλ10…0000…011

λ100

100

…001

000

000

　　　Jki00

ki…λ1ki

T

…λ1…

1

0JK1

T

λki

l…βr1…αr)=(β11…α1…βr1…αr)所以　A(ω

JKT

αi=λα故有　Aii(i=1,…,r)

所以λi为A的特征值,αi=βiki为A的对应特征值λi的特征向量。

2

-1

1

-的特征值与特征向量。31-3001020-111

0-4001

c3-c22r2+r3

23

c1-c3r3+r11

例1　求A=03

212-103

A21解:=

10

0021010-1

10

11010-121010-1

-13001

0020-111

1-4001

0041/2-11/2

2c3

r23

c2-c1r1+r22

—————()——————→()

21010-1

020-111

0041-1

—————()

—————λ所以特征值λ1=2=2,λ3=4,对应特征值λ1=λ2=2的特征向量

-1

α1=1,对应λ　　　　　-。3=4的特征向量α3=

11

注:解答过程中(1)处的k=-1是由方程2+3k+(2+k)(-k)确定的,(2)处的k=-1是由方程k

=-1+k+(3+k)(-k)=0确定的,(3)处的k=-是由方程-1k+2k+4(-k)=0确定的。

2

3.列初等变换法

定理3　设A是n阶方阵,I为n阶单位阵,λ为待求特征值。若对矩阵λI-A施行一系列列初等变34

福建信息技术教育

FujianEducationofInformationTechnology

换,可得到下三角矩阵M(λ),则令M(λ)的主对角线上元素乘积为零,求得λ值即为矩阵A的特征值。

λ-a11-a12…-a1n

λI-A=证明:设　

-a21

λ-a22

…

-an2

…

-a2n

…-an1………λ-a考察λI-A

的第一行元素:若a1i不全为零(i=2,…,n),,b1b1(λ)0

;若a1i=

0(i=2,…,n),则λI-A再对),

3c1(λ化为

b2(λ)

0c2(λ0b2(λ)

3

,再对λ行类,直至λI-A化为三角矩阵M(λ)=

b1(λ)…

bn-1(λ)

00

ω

3

…0b1(λ,由以上运算可知,λI-A与M(λ)等价,则λI-A与M(λ)有相同的

初等因子,定理得证。

由定理3求出λi(i=2,…,n),将每个特征值λi代入M(λ)得M(λ1),再由定理4求出相应的特征向量。

定理4对矩阵λI-A施行一系列列初等变换,化为列阶梯形,同时对单位阵也施行相应的列初等变换,即存在n阶可逆阵Qn,n,使λI-Cn,r0n,n-r

…Qn,n=

Qn,rQn,n-I

其中R(λI-A)=r,Cn,r为满秩矩阵,Qn,n=(Qn,rQn,n-r),则分块矩阵Qn,n-r的n-r个n维列向量即为矩阵A的特征值λ1对应的特征向量。

证明:对矩阵(λI-A),经过有限次初等变换化为标准形,即存在n阶可逆阵Pn,n及Qn,n,使Pn,n(λI-A)Qn,n=

Ir,r0n-r,r

0r,n-0n-

r

,于是(λI-A)Qn,n=Pn,n

’

n,r

’

n,n-r

-1

Ir,r0n-r,r

0r,n-0n-

r

,根据分块矩阵的运算

r,n-r,n-(λI-A)Qn,nQn,n-r=PP

Ir,r0n-r,r

0r,n-0n-r

r

r,n-((λI-A)Qn,r(λI-A)Qn,n-r)=Cn,r0n,n-(λI-A)Qn,n-r=0(λI-A)Qn,n-r=λIQn,n-r

故Qn,n-r的n-r个n维列向量即为矩阵A的特征值λi对应的特征向量,又因为Qn,n可逆,知这些特征向量线性无关。证毕。

由定理3、定理4可知计算特征值与特征向量的步骤:

λI-C(λ)

一系列初等变化

(1)计算—————,其中C(λ)为含λ的下三角矩阵,Q(λ)为I经过初等列变换得

IQ(λ到的矩阵;

35

福建信息技术教育

FujianEducationofInformationTechnology

(2)令C(λ)主对角线元素之积为零,求出根即为特征值λi(i=1,2,…,n);

C(λiC(λ(3)将求出的λi(i=1,2,…,n)代入

Q(λ中为

Q(λi,再进行列初等变换,当C(λ)化为列阶梯

形,当非零列向量个数为r时,Q(λ)中后的n-r个列向量即为λi对应的特征向量。

例2　重做例1

λ-2λ-1--1

λ-3301λI--2-1λ--2cΖ解:

I

=

0-11

c2+c1c3+(λ-2)c1

——00

010

001-11

0100

100

00(λ-4)(λ-2)

=

00

01

1-1

Q(λC(λ)

1λ-2λ-2

——c3-c1

2

λ-3λ-4λλ+-5

λ-2

λ-3λ-4

—————001

011

10

λ-3λ-211

2123

令C(λ)主对角线元素之积为零,即-(λ-4)(λ-2)=0,特征值λ=λ=2,λ=4。

-11

C(λ112

当λ=λ=2时,

00-2011

0001--1-;--1=

001

Q(λ1λ=2对应的特征向量为α1=R(C(λ1)=2,于是λ=

-11

C(λ31=

Q(λ3001

3

12

020011

000

,1-1

1-。1

当λ=4时,

3

R(C(λ3)=2,于是λ=4对应的特征向量为α2=

36

福建信息技术教育

FujianEducationofInformationTechnology

【校园信息】

我院隆重举行党建ISO9001质量管理体系

认证颁证仪式

2006年12月28日上午,学院党委在综合楼合班(三)质量管理体系认

证颁证仪式”。省委教育工委副书记刘剑津,心主任、研究员成潮,、,中共中央党校党建部博士后、研究员权伟太,、省教育厅直属机关党委专职副书记陈晃,,,省委教育工委、省教育厅,,院党委书记苏文锦同志,院党委副书记、院长林东,、纪委书记陈武,副院长杨忠祥、张家福、张华,学院离退休老领导蔡金开、刘祺钟、侯秀钦,以及学院全体党员和机关工作人员300人参加了会议。颁证仪式由学院党委副书记陈建忠主持。

颁证仪式在庄严的国际歌声中开始。北京世标认证中心代表、高级审核员郑永辉作了简要发言后,代表北京世标认证中心,向学院党委书记苏文锦颁发了党建ISO9001质量管理体系认证证书,并与苏文锦书记热烈握手表示祝贺。

接着,学院党委书记苏文锦作了重要讲话。苏文锦书记在讲话中说明了学院党建工作质量管理引入ISO9001管理体系的背景、目的、意义和作用,介绍了学院贯标工作的主要过程,总结了学院党建质量管理取得的初步成效,要求学院全体党员要以通过党建工作ISO9001质量管理体系认证为新起点,不断推进学院党的先进性建设,争创高校党建工作先进单位,尽快把学院建设成为省内一流、全国知名、特色鲜明、人民满意的示范性高职学院。

省委教育工委副书记刘剑津在会上代表省委教育工委、省教育厅党组向我院党委和全体党员同志致以热烈的祝贺,向对学院党建质量管理工作给予有力的理论研究支撑和业务咨询指导的中共中央党校党建部、北京质量环境安全管理标准技术中心的专家表示衷心的感谢。刘剑津副书记对我院党建质量管理工作取得的成效给予充分的肯定,并对我院今后扎实推进党建工作质量管理提出了希望和要求,给我院党建质量管理工作指明了努力的方向。

会上,中国认证认可协会理事、北京质量环境安全管理标准技术中心主任、研究员成潮同志与中共中央党校党建部研究员权伟太同志也分别发表了热情洋溢的讲话。

颁证仪式在完成各项议程后圆满结束。

4.结束语

通过以上例题求解方法可以看出,用列行互逆变换法和列初等变换法求矩阵的的特征值与特征向量简捷实用,能收到事半功倍的效果。参考文献

[1]赵树原.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社.1997

[2]北京大学数力系几何与代数教研室.高等代数[M].北京:人民教育出版社.1988[3]同济大学数学教研室.线性代数[M].北京:高等教育出版社.1999

37