高一数学中的分类讨论问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
高一数学中的分类讨论问题
作者：杨必敏
来源：《学校教育研究》2015年第05期
高中数学新课程实施以来，数学思想方法逐步引起重视。其中分类讨论思想是中学生必须要掌握的一种思想方法。所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，最后整合得答案。对于刚刚进入高中的学生来说，整个数学思想方法都还停留在一个浅层次。分类讨论的思想虽然在初中学习过一些，可对绝大多数同学来说，“为什么分类？怎样分类？”都是一个朦胧的状态。因此从高一开始，就对学生灌输这一思想方法尤为重要。下面，我就从高一数学（必修1）的几个常见问题来谈谈如何解决我们的分类讨论问题。
要解决分类讨论的问题就是要让学生弄清引发分类的原因（为什么分类），还要掌握科学分类的原则（怎样分类），即不重复，不遗漏。下面我举例说明。
例1：已知集合A 由三个元素 求实数 的值。
分析：本题是高一学生进入高中以来遇到的第一道分类讨论问题。学生在解决问题时主要是要搞清楚 三个元素中到底哪个为1，由集合的定义，我们知道，三个元素都可以为1，于是分类讨论的思想就出来了。但是我们也知道，集合元素的互异性，所以我们最后还要进行检验。这也就是说我们分类讨论要不重复，不遗漏。
解：若a+2=1，则a=-1，此时 ，这与元素的互异性相矛盾，故a=-1应舍去。 若 ，则a=0或a=-2. 当a=0时，A= ，满足题意。
当a=-2时，A= ，这与元素的互异性相矛盾，故a=-2应舍去。
当 时，则a=-1或a=-2。由（1）、（2）知两个值都应舍去。综上：a=0。
反思：我们分析之所以分类，是因为哪个元素为1不确定。这是很典型的由运算引起的分类讨论，这在我们含参数的运算中很常见。如初中的含参数的一元二次方程的解，就要根据△的正负来进行分类；再如，分式方程的求解等。解决这类问题的关键是对各种计算熟悉。当然尤其是这类问题的分类，是在运算过程中发现的，所以我们是要大胆的下笔。
例2：已知集合 ，若 ，求实数m 的取值范围。
分析：这是一个很典型的集合问题，也是学生在做题过程中最容易出错的问题，出错的原因就是子集的概念理解得不是很清楚，忽略掉空集是任何集合的子集这一重要信息，从而导致没有进行分类。当然这道题的分类标准就是分B 集合为空集或者不为空集。