平方数定律
“平方数定律”探究
此定律由我在2012年4月份探究而出,如有雷同,纯属本人兴趣。
主要是运用“三数探究法”进行探究。
以下是部分平方数表:
说明:
关于“平方数定律”涉及的数学概念 1、“三数探究法”:指的是用三个有相互关联的数来进行探究,并得出关于这三个数之间的关系的方法,如:3、4、5;3、5、7;3、7、11等。他们都是中间隔了一个整数或多个整数或是没有隔任何数。
2、已知X 1、X 2、X 3都属于整数,且X 1<X 2<X 3。
“零隔数”:指的是在“三数探究法”中,三个有相互联系的数是三个连续的数,中间没有什么数隔着,例如:3、4、5;10、11、12等,即X 2-X 1=X 3-X 2=1;“隔一数”指的是在“三数探究法”中,有相互联系三个数,第一个数与第二个数、第二个数与第三个数中间隔了一个数,例如:3、5、7(3和5之间隔了一个整数4;5和7之间隔了一个整数6);11、13、15等,即X 2-X 1=X 3-X 2=2;, 其它隔n 数依此类推。(注:这里所隔的数都指的是整数,但也可以是小数,但小数在这里用不合适,后面会提到的。)
以下是探究过程:
一、零隔数。
首先,我们先随便取三个连着数的平方,如:3²=9、4²=16、5²=25 〈你也可以选取其他的数〉
从上我们可以得出,:3²+4²=5²=25 (这是三角形的勾股定理数) ,但是我们可以从另一个方面来探究这三个连着数的平方之间的关系:
已知5²=25=16+9,4²=16,3²=9
∴ 5²=25可由4²+3²代替,4²可由5²﹣3²代替,3²可由5²﹣4²代替 ∴就有:4²+3²=5²-3²+5²-4²
即,5²=5²-3²+5²-4²=4²+3²-3²+4²+3²-4² ∵4²=16=3²×2-2
∴5²=4²+3²-3²+4²+3²-4²
=4²+3²-3²+4²+3²-﹙3²×2-2﹚ =2×4²-3²+2 即,5²=2×4²-3²+2
若设X 1 ²=3 ²、X 2 ²=4 ²、X 3 ²=5 ² 那么则有以下结论:
X 3 ²=2X2 ²-X 1 ²+2
﹙注:X 1、X 2、X 3是相连的三个数,都属于整数,且X 1<X 2<X 3;若 X 1、X 2、X 3中存在负数,则它们的绝对值满足上式。﹚
二、隔一数。我们随便取六个连着数的平方,如:11²=121、12²=144、 13²=169、14²=196、15²=225、16²=256,
根据“三数探究法”,我们取12²=144、14²=196、16²=256三个数,
∵16²=256=14²+60=196+60······① 14²=196=12²+52=144+52······②
∴①-②式,得16²-14²=196+60-144-52=52+8······③ ∵14²-12²=144+52-144=52······④
∴③-④式得,16²-14²-14²+12²=52+8-52 即,16²-2×14²+12²=8 ∴16²=2×14²-12²+8
若设X 1²=11²、X 2²=12²、X 3²=13、X 4²=14²、X 5²=15²、X 6²=16², \那么则有以下结论:
X 6²=2X4²-X 2²+8
﹙注:X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6为相连的六个数,都属于整数,且X 1<X 2<X 3<X 4<X 5<X 6;若X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6中存在负数,则它们的绝对值满足上式。﹚
根据以上探究规律可推出另一个结论: 即,X 5²=2 X3²-X 1²+8
三、隔两数。同样,我们随便取七个相连的数的平方,如:3²=9、4²=16、5²=25、6²=36、7²=49、8²=64、9²=81。 根据“三数探究法”,我们取:3²=9、6²=36、9²=81三个数
∵9²=81=6²+45=36+45······① 6²=36=3²+27=9+27······②
∴①﹣②式得,9²-6²=36-9+45-27 =27+18······③ ∵6 ²-3 ²=9+27-9=27······④
∴③-④式得,9²-6²-6²+3²=27+18-27 即,9²-2×6²+3²=18 ∴9²=2×6²-3²+18
若设X 1²=3 ²、X 2²=4 ²、X 3²=5 ²、X 4²=6 ²、X 5²=7 ²、X 6²=8 ²、X 7²=9 ² 则有以下结论:
X 7²=2 X4²-X 1²+18
﹙注:X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6、X 7为相连的七个数,都属于整数,且X 1<X 2<X 3<X 4<X 5<X 6<X 7;若X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6、X 7中有负数存在,则它们的绝对值满足上式。﹚
四、隔三数。我们随便取九个相连的数的平方,如:3²=9、4²=16、5²=25、6²=36、7²=49、8²=64、9²=81、10²=100、11²=121。 根据“三数探究法”,我们取3²=9、7 ²=49、11 ²=121三个数
∵11²=121=7 ²+72=49+72······① 7 ²=3 ²+40=9+40······②
∴①﹣②式得,11²-7²=49+72-9-40 =32+40······③ ∵7²-3²=9+40-9=40······④
∴③-④式得,11²-7²-7²+3²=40+32-40 即,11²-2×7²+3²=32 ∴11²=2×7²-3²+32
若设X 1²=3 ²、X 2²=4 ²、X 3²=5 ²、X 4²=6 ²、X 5²=7 ²、X 6²=8 ²、X 7²=9 ²、X 8²=10 ²、X 9²=11 ², 则有以下结论:
X 9²=2 X5²-X 1²+32
﹙注:X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6、X 7 、X 8、X 9为相连的九个数,都属于整数,且X 1<X 2<X 3<X 4<X 5<X 6<X 7<X 8<X 9;若X 1、X 2、X 3、X 4、X 5、X 6、X 7、X 8、X 9中有负数存在,则它们的绝对值满足上式。﹚
综上探究结论:
“零隔数”时,满足:
X 3 ²=2X2 ²-X 1 ²+2; “隔一数”时,满足:
X 5²=2 X3²-X 1²+8; “隔二数”时,满足:
X 7²=2 X4²-X 1²+18; “隔三数”时,满足:
X 9²=2 X5²-X 1²+32;
∴由上探究结论可知,探究结论中,他们的序数“2”、“8”、“18”、“32”等满足一个关系式,我们可以进行探究:
8-2=6
18-8=10 → 10-6=4 32-18=14 14-10=4 · · · · · ·
根据以上探究,等探究“隔四数”时。那么它的序数就会相应地在“隔三数”的基础上再加上一个数,而这个数又满足一个关系式,这个关系式可以看做是一个等差数列,且这个等差数列的首项是以“隔一数”中的“一”为首项, 若设之为a n ,即为a 1,则a n =4n+2,
∴“隔四数”的序数为:4×4+2+32=50,等
若以“零隔数”的序数为首项,则有以下关系式:
8-2=6; 18-8=10; 32-18=14; 50-32=18; · · ·
设之位b n ,则有:
b 2-b 1=8-2=6; b 3-b 2=18-8=10; b 4-b 3=32-18=14; b 5-b 4=50-32=18; · · ·
∵6、10、14、18成等差数列,且公差d=4,首项为6,若设之为c n ,因为总共有n -1项,所以就可以得出:c n -1=6+4﹙n -2﹚=4n-2 ∴bn -bn -1=4n-2 即,
b 2-b 1=8-2=6; b 3-b 2=18-8=10; b 4-b 3=32-18=14; b 5-b 4=50-32=18;
·
· ·
bn -bn -1=4n-2
根据累加法原理累加上式,得: bn -b 1=6+10+14+18+、、、+﹙4n -2﹚
即bn -2=6﹙n -1﹚+½﹙n -1﹚﹙n -2﹚×4
∴bn=2n ²-2+2=n ² 由上探究结论:
X 3 ²=2X2 ²-X 1 ²+2; X 5²=2 X3²-X 1²+8; X 7²=2 X4²-X 1²+18; X 9²=2 X5²-X 1²+32;
可以得出一个关系式,这个关系式是以“零隔数”为首项“1”来推理的,所以就可以得出,“隔一数”为第二项,“隔二数”为第三项,„„,“隔n 数”为﹙n +1﹚项,所以,
当“隔n 数”时,满足:
X ﹙2n +3﹚²=2X﹙n +2﹚²-X 1 ²+﹙n +1﹚﹙2n +1﹚+n +1 =2X﹙n +2﹚²-X 1 ²+2﹙n +1﹚²
即,X ﹙2n +3﹚²=2X﹙n +2﹚²-X 1 ²+2﹙n +1﹚²
其中这里的n 属于正整数。
在探究的过程中,“隔n 数”中的“n ”所代表的数,并不单指的是隔了几个数,还可指整数、小数、分数等,但满足一个式子,即,
X 2-X 1=X 3-X 2=n
我们来验证一下,看是否满足上式:
若,X 2-X 1=X 3-X 2= ¾,且X 1=1,则X 2=7∕4,X 3 =10∕4, ∵﹙10∕4﹚²=100∕16,
2﹙7∕4﹚²-1²+2×﹙3∕4﹚²=98∕16-1+18∕16
=100∕16,
即,﹙10∕4﹚²=2﹙7∕4﹚²-1²+2×﹙3∕4﹚²=100∕16, ∴在这里,对于任意的n 满足这个式子:X 3²=2X2²-X 1 ²+2n ²
其中n 属于R ,且满足X 3-X 2=X2-X 1=n
2012年4月~2012年10月
平方数定律探究
探究人:朱 志 恒
和之美工作室
(Harbuitmen Workroom )
时间:2012年4月~10月