机票预订策略

9建模论文—— 婧

航空公司的预订票策略

2011114114 覃

摘要:本文研究的是机票预定价格和数量的预测及优化设计问题。

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务, 本模型针对预订票业务，根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好两方面来考虑。社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不超过某一给定值来衡量。这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。

航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。于是航空公司预订票模型简化为一个两目标的规划问题，即求航空公司的平均利润

S (m )和被挤掉的乘客数超过j 人的概率P j (m )之间的平衡关系，决策变量是预订票数量的限额m 。

建立补偿金模型，综合考虑航空公司的经济效益和社会声誉，给定赔付比率

γ为0.2，被挤掉的乘客数超过j 人的概率为P j (m )≤0.1, 对于飞机最大容量为N

＝200，若估计预订票乘客不按时前来登机概率为q=0.1，则预订票数量的限额m=211.

最后，考虑不同的客源的实际需要，对补偿金模型进行改进优化，比较详细的给出了航空公司的预订票策略，具有很强的实际指导意义。

关键词：MATLAB 软件 模型转化 模型改进 订票策略 实际平均利润

正文 一、 问题重述：

航空公司为了提高经济效益开展了一项预订票业务。随之带来一系列的问题：若预订票的数量恰等于飞机的容量，则由于总会有部分已订票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员而利润降低，或亏本；若不限制订票的数量，那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损。 试建立航空公司订票决策的数学模型，解决以上的问题

二、 问题分析：

该问题作为线性规划问题，题目中给定的机票预定策略可以理解为了航空公司的经济利益与社会声誉，确定预订票的最佳数量。故问题转化为：怎样确定预订票数量限额，使得利润最大，同时被挤掉的乘客的数量尽可能小。故该题是一个以预订票数量为决策变量的双目标随机规划问题。

设飞机容量为N ，若公司限制只预订m 张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会引起那些不能登机的乘客（以下称被挤掉者）的抱怨，导致公司声誉受损和一定的经济损失（如付给赔偿金）。这样，综合考虑公司的经济利益和社会声誉，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。

假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。

航空公司的经济利润可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前来登机是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是一个两目标的规划问题，决策变量是预订票数量的限额。

三、 模型假设：

⑴飞机容量为常数 n，机票价格为常数 g，飞行 费用为常数 r。

⑵机票价格按照g =r λn 来制订，其中 λ(

⑶预订票数量的限额为常数 m(>n) ，每位乘客不按时前来登机的概率为 p ，各位乘客是否按时登机是相互独立的。

⑷每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b 。

四、 符号定义与说明：

五、 模型的建立与求解：

模型建立：

1. 公司的经济利益可以用平均利润S 来衡量，每次航班的利润s 为从机票收入中减去飞行费用和可能发生的赔偿金。当m 位乘客中有k 位不按时前来登机时

s =

(m -k ) g -r

ng -r -(m -k -n ) b m -k ≤n m -k ≥n

……（1）

由假设2，不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布，于是概率

k k m -k

p =P (K =k ) =C p q , q =1-p （2）k m

平均利润S （即s

的期望）为

m -n -1

S (m ) =

∑[(ng -r ) -(m -k -n ) b ]p

k =0

m

k

+

k =m -n

∑[(m -k ) g -r ]p

m

k

（3）

化简（3）式，并注意到∑kp k =mp , 可得

k =0m -n -1

S (m ) =qmg -r -(g +b )

∑(m -k -n ) p

k =0

k

（4）

当n,g,r,p 给定后可以求m 使S(m)最大。

2. 公司从社会声誉和经济利益两方面考虑，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量式随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j 人的概率为P j (m ) ，因为被挤掉的乘客数超过j 人，等价于m 位预订票的乘客中不按时前来登机的不超过m-n-j-1人，所以

m -n -j -1

P j (m ) =

∑

k =0

p k （5）

对于给定的n,j ，显然当m=n+j时不会有挤掉的乘客，即P j (m ) =0。而当m 变大时P j (m ) 单调增加。

综上，S(m)和P j (m ) 虽然是这个优化问题的两个目标，但是可以将P j (m ) 不超过某给定值作为约束条件，以S(m)为单目标函数来求解。 模型求解

为了减少S(m)中的参数，取S(m)除以飞行费用r 为新的目标函数J(m)，其含义时单位费用获得的平均利润，注意到假设2中有g =r λn ，由（2）式可得

m -n -1

1

J (m ) =S (m ) /r =（6） [qm -(1+b /g ) ∑(m -k -n ) p k ]-1

λn k =0

其中b/g式赔偿金占机票价格的比例。问题化为给定λ,n,p,b/g，求m 使J(m)最大，而约束条件为

m -n -j -1

P j (m ) =

∑

k =0

（7） p k ≤α

其中α是小于1的正数。

J(m)的经济意义是公司纯利润占固定损耗的比例。模型不能直接求解，但可以通过MATLAB 软件进行数值计算，求得最大值点。

模型求解：

由以上模型的建立可得该题的规划模型如下：

max J (m ) =S (m ) /r =

m -n -j -1

1

λn

[qm -(1+b /g ) ∑(m -k -n ) p k ]-1

k =0

m -n -1

st ..

P j (m ) =

k =0

∑

P k ≤α

0≤α

由此计算载客量为150的飞机所能得到的预期利润，假设p =0.05和0.1，

b /g =0.2和0.4，计算 P 5(m ) 、P 10(m ) 和J (m ) ，得下表：

从上表中可以看出，一架150座的航班，当超额订票的乘客数分别为10和16时，可以达到最大的预期利润。有超过5名乘客发生座位冲撞的概率却分别为12%和10%，有超过10名乘客发生座位冲撞的概率却分别为0%和0.2%。

六、 结果分析推广与评价

结果分析：

1．对于所取的N ，p, b/g, 平均利润S (m )随着m 的变大都是先增加再减少。不按时前来登机概率为p 对需要超额预定的票数有较大影响，为了保证航班满座，就必须多预售一些票。

2．对于给定的N ，p, b/g由0.2增加到0.4时S (m )的减少不超过2%，所以不放付给被挤掉的乘客以较高的赔偿金，也不会对其最大利润产生多大影响，而同时赢得社会声誉。

3．综合考虑经济效益和社会声誉，给定P 5、P 10由表得，若估计p=0.05，m=160，若p=0.1，取m=166. 评价： 1、

将问题转化成数学中的优化问题，使得题目更加简单清晰； 2、 通过模型改进对模型进行了进一步优化，更具有可行性。

七、参考文献：

[1]姜启源、谢金星等 《数学建模》高等教育出版社第三版

[2]蔡旭辉 刘卫国 蔡立燕等《matlab 基础与运用教程》人民邮电出版社。 [3]覃婧 《航空公司的预订票策略》

附件：

matlab 程序语言： 附录I >> clear a=0;

for m=150:2:176; for k=0:m-150-1; pk=binopdf(k,m,0.05); f=m-150-k; s=f*pk; a=a+s; end m

J=(1/90)*[0.95*m-(1+0.4)*a]-1 end m =

150 J =

0.5833 m =

152 J =

0.6044 m =

154

J =

0.6244 m =

156 J =

0.6398 m =

158 J =

0.6433 m =

160 J =

0.6270 m =

162 J = m =

164 J =

0.5159 m =

166 J =

0.4171 m =

168 J =

0.2889 m =

170 J =

0.1311 m =

172 J =

-0.0563 m =

174 J =

-0.2731 m =

176 J =

-0.5196 附录II >> clear a=0;

for m=150:2:176;

for k=0:m-150-1;

pk=binopdf(k,m,0.1); f=m-150-k; s=f*pk; a=a+s; end m

J=(1/180)*[0.95*m-(1+0.2)*a]-1 end m = J =

-0.2083 m =

152 J =

-0.1978 m =

154 J =

-0.1872 m =

156 J =

-0.1767 m =

158 J =

-0.1662 m =

160 J =

-0.1561 m =

162 J =

-0.1470 m =

164 J =

-0.1404 m =

166 J =

-0.1381

168 J =

-0.1424 m =

170 J =

-0.1554 m =

172 J =

-0.1784 m =

174 J =

-0.2125 m =

176

J =

-0.2582 >>