齿轮传动习题答案

4-12 解：

（1）一对标准直齿圆柱齿轮传动，当z 、b 、材料、硬度、传动功率及转速都不变时，增大模数，则可提高齿根弯曲疲劳强. 度，由于d 1增大，齿面接触疲劳强度也相应提高。 （2）当m 下降，z 1及z2增大，但传动比不变，d 1也不变时，因m 下降，其齿根弯曲疲劳强度下降，因d 1不变，齿面接触疲劳强度不变。 4-13 解：

该传动方案最不合理的是，因为转速不同，承载情况不同，使得两对齿轮齿面接触强度和齿根弯曲强度是不等的。低速级齿轮传递的转矩在忽略效率的情况下，大约为第一级的2.5倍（i =z 2/z 1=50/20=2.5），而两对齿轮参数，材质表面硬度等完全相同，那么如果满足了第二级齿轮的强度，则低速级齿轮强度就不够，反之，如果低速级齿轮强度够了，则第二级齿轮传动就会过于富裕而尺寸太大，所以齿轮参数的确定是不合理。齿轮的参数z 、m 及齿宽b 等对箱体内的高速级或低速级应有所不同，高级速要求传动平稳，其传递的转矩小，故z 1取多一

些，齿宽系数d 取小一些，低速级传递转矩大，要求承载能

d 也大一

力高，可取少一些的z 1，使m 大一些，齿宽系数些。

其次，齿轮相对轴承的布置也不合理。弯曲对轴产生的变形与扭矩对轴产生的变形产生叠加增加了载荷沿齿轮宽度的分布不均匀性，为缓和载荷在齿宽上的分布不均匀性，应使齿轮离远扭矩输入（输出）端。

4-19解：锥齿轮：圆周力Ft 在主动轮上与其回转方向相反，在从

动轮上与其回转方向相同。故Ft1方向向上，Ft2方向向左。径向力Fr 的方向由啮合点分别指向各自的轮心。轴向力的方向沿轴线分别指向各自的大端。故Fa1方向向左，Fa2方向向下。

斜齿轮：圆周力Ft 方向在主动轮上与其回转方向相反，在

从动轮上与其回转方向相同。故Ft3方向向右，Ft4方向向右。径向力Fr 的方向分别指向各自的轮心。轴向力：要使中间轴II 上轴向力尽可能小，则Fa3方向应与Fa2方向相反，即

Fa3方向向上，从动轮方向与其在同一直线上，大小相等，方向相反。则Fa4方向向下。 4-27 解：

(1) 低速级直齿圆柱齿轮传动 1. 选择材料

查表4-1小齿轮45钢调质，HBW 3=217~255，大齿轮45钢正火，HBW 4=162~217。计算时取HBW 3=230，HBW 4=190。(HBW3~HBW4=230~190=40，合适) 2. 按齿面接触疲劳强度初步设计 由表4-10 d 3≥766

KT 3(u +1) φd [σH ]2u

=9550

N ·m

1) 小齿轮传递的转矩T

3

P 211=9550⨯=520n 2970/4. 8

2) 齿宽系数φd ，由表4-9知，软齿面、非对称布置，取

φd =0.8

3) 齿数比u ，对减速传动，u =i =3.8

4) 载荷系数K ，初选K =2 (直齿轮，非对称布置) 5) 确定许用接触应力[σH ]

[σH ]=

由式(4-16)

σH lim

S H min

Z N

a. 接触疲劳极限应力σHlim 由图4-7c 查得σHlim3=580MPa，由图4-7b 查得σHlim4=390MPa（按图中MQ 查值） b. 安全系数S H ，由表4-8查得，取S Hmin =1

c. 寿命系数Z N ，由式(4-17)计算应力循环次数N =60ant 式中a =1，n 2=970/4.8=202r/min，t =10⨯250⨯8⨯1=20000h

N 3=60ant =60⨯1⨯202⨯20000=2. 43⨯108

2. 43⨯108

N 4=N 3/i 2==0. 64⨯108

3. 8

查图4-20得Z N 3=1.1，Z N 4=1.17（均按曲线1查得） 故 故

[σH 3]=

σH lim 3

S H

Z N 3=

580⨯1. 1

=6381

MPa MPa

[σH 4]=

σH lim 4

S H

Z N 4=

390⨯1. 17

=456. 31

6) 计算小齿轮分度圆直径d 3 d 3≥766⨯

KT 3(u +1) 2⨯5203. 8+1=766⨯=152. 472

u 0. 8⨯456. 33. 8φd [σH ]

mm

7) 初步确定主要参数

a. 选取齿数，取z 3=31 z 4=uz 1=3.8⨯31=118 b. 计算模数m =d z

3

=

3

152. 47

=4. 9231

mm

取标准模数 m =5mm c. 计算分度圆直径

d 3=mz 3=5⨯31=155mm>152.47mm (合适)

d 4=mz 4=5⨯118=590mm

d. 计算中心距

a =

11

(d 3+d 4) =(155+590) =372. 522

mm

为方便箱体加工及测量，取z 2=119，则d 2=5⨯119=595mm

a =

11

(d 1+d 2) =(155+595) =37522

mm

传动比误差≤ (3~5)% e. 计算齿宽b =φ取b =125mm

3. 验算齿面接触疲劳强度 由式(4-15)σ

H

d

⋅d 3=0. 8⨯155=124

mm

=Z E Z H Z ε

2000KT 3(u +1)

3

u φd d 3

≤[H ]

1) 弹性系数Z E ，由表4-7查得Z E =189.8

MPa

2) 节点区域系数Z H ，由图4-19查得Z H =2.5 3) 重合度系数Z ε 由

11⎫1⎫⎛1 ⎪ ε≈1.88-3.2⎛+=1. 88-3. 2⨯+ ⎪=1. 75 z z ⎪31119

⎝

3

4

⎭

⎝⎭

则

Z ε=

4-εα4-1. 75

==0. 86633

4) 载荷系数K =K A K v K H βK H α

a. 使用系数K A ，由表4-4查得K A =1.25

πd n 3. 14⨯155⨯202

b. 动载荷系数K v ，由v =60==1. 64m /s ⨯100060⨯1000

32

查图4-13得K v =1.12（初选8级精度）

c. 齿向载荷分布系数K H β，由表4-5，按调质齿轮，8级精度，非对称布置，装配时不作检验调整可得

K H β

22⎡⎛b ⎫⎤⎛b ⎫

⎥ ⎪⎪=A +B ⎢1+0. 6 +C ⨯10-3b ⎪ ⎪d ⎢⎝d 1⎭⎥⎣⎦⎝1⎭

22⎡⎛125⎫⎤⎛125⎫-3

=1. 23+0. 18⨯⎢1+0. 6 ⎪⎥⨯ ⎪+0. 61⨯10⨯125

⎝155⎭⎥⎢⎣⎦⎝155⎭

=1. 47

d. 齿间载荷分配系数K H α，由表4-6 先求 则

F t 3=

2000T 32000⨯520

==6710d 3155

N

K A F t 31. 25⨯6710

==67. 1b 125

N/mm

K H α=

11

==1. 32

Z ε0. 8662

故K =K A K v K H βK H α=1.25⨯1.12⨯1.47⨯1.3=2.68 5) 验算齿面接触疲劳强度

σH =Z E Z H Z ε

2000KT 3(u +1)

3

u φd d 3

2000⨯2. 68⨯520(3. 8+1)

3. 80. 8⨯1552

=446. 7MPa

4. 验算齿根弯曲疲劳强度 由式(4-20)

σF =

KF t

Y Fa Y sa Y ε≤[σF ]bm

1) 由前可知F t =6710N，b =125mm，m =5mm 2) 载荷系数K =K A K v K F βK F α

a. 使用系数 K A 同前，即K A =1.25 b. 动载荷系数K v 同前，即K v =1.12 c. 齿向载荷分布系数K F β 由图4-16，当K F β=1.47，

b /h =125/2.25M=125/(2.25⨯5)=11.11时，查出K F β=1.4 d. 齿间载荷分配系数K F α

由K A F t /b =67.1N/mm

=0.25+0.75/=0.25+0.75/1.75=0.68得，K F α=1/Y =1/0.68=1.47 故K =K A K v K F βK F α=1.25⨯1.12⨯1.4⨯1.47=2.88 3) 齿形系数Y Fa ，由z 3=31，z 4=119查图4-24，得

Y Fa3=2.53，Y Fa4=2.17

4) 齿根应力修正系数Y sa ，由z 3=31，z 4=119，查图4-25得

Y sa3=1.63，Y sa4=1.81

5) 重合度系数Y ，由前，Y =0.68 6) 许用弯曲应力[σF ] 由式4-22

[σF ]=

σF lim

S Fmin

Y N Y ST

式中σFlim 由图4-8c 、b 查得：σFlim3=430MPa，σFlim4=320MPa（按MQ 查值）；安全系数S F ，由表4-8，取S F =1.25；寿命系数Y N ，由N 3=2.43⨯108，N 4=6.4⨯107 ，查图4-26，得

Y N3=0.9，Y N4=0.94，修正系数Y ST 按国家标准取2.

则： [σ

F 3

]=

σF lim 3

S Fmin

Y N 3Y ST 3=

430⨯0. 9⨯2

=620

1. 25

MPa MPa

[σF 4]=

σH lim 4

S Fmin

Y N 4Y ST 4=

320⨯0. 94⨯2

=482

1. 25

7) 验算齿根弯曲疲劳强度

[σF 3]=

KF t 2. 88⨯6710

Y Fa 3Y Sa 3Y ε=⨯2. 53⨯1. 63⨯0. 68bm 125⨯5=86. 7 MPa

[σF 4]=σF 3

2. 17⨯1. 81Y Y sa 4

=86. 7⨯

Y Fa 3Y Fa 32. 53⨯1. 63

=82. 6 MPa

故弯曲疲劳强度足够

5. 确定齿轮的主要参数及几何尺寸 z 3=31，z 4=119，m =5mm，a =375mm 分度圆直径d

3

=mz 3=5⨯31=155

mm

d 4=mz 4=5⨯119=595

mm

齿顶圆直径d a3=d 3+2m =155⨯2⨯5=165mm

d a4=d 4+2m =595⨯2⨯5=605mm

齿根圆直径d f3=d 3-2.5m =155-2.5⨯5=142.5mm d f4=d 4-2.5m =595-2.5⨯5=582.5mm 齿宽

b 2=b =125mm

b 1=b 2+(5~10)mm=125+(5~10)=(130~135)mm 取b 1=135mm 中心距

a =

11

(d 3+d 4) =(15+559) 5=37522

mm

6 确定齿轮的结构、尺寸并绘制零件工作图(略) (2) 高速级斜齿圆柱齿轮传动 1. 选择材料：同前。

2. 按齿面接触疲劳强度初步设计 设计公式(表4-10) d 1≥1

KT 1(u +1)

φd [σH ]2u

11

P 11=9550⨯=108. 3N ·m 1) 小齿轮传递的转矩T =9550n

970

2) 齿宽系数φd ，由表4-9，取φd =1（软齿面，非对称布置） 3) 齿数比u =i =4.8 (减速传动)

4) 载荷系数K ，取K =2 5) 许用接触应力[σH ] 由式(4-16)

[σH ]=σH lim Z N

S Hmin

a. 接触疲劳极限应力σHlim ，同直齿轮

σHlim1=580MPa，σHlim2=390MPa

b. 安全系数S H ，由表4-8查得，取S H =1

c. 寿命系数Z N ，由式(4-17)计算应力循环次数N =60ant 式中a=1，n 1=970r/min，t=10⨯250⨯8⨯1=20000h N 1=60ant =60⨯970⨯20000=1164⨯109 N 2=N 1/i 1=1.164⨯109/4.8=2.43⨯108

查图4-20 Z N 1=1，Z N 2=1.1（均按曲线1查得） 故

[σH 2]=

σH lim 2

S H

Z N 2=

[σH 1]=

σH lim 1

S H

Z N 1=

580⨯1

=5801

MPa

390⨯1. 1

=4291

MPa

6) 计算小齿轮分度圆直径 d 1≥756

KT 1(u +1) 2⨯108. 34. 8+1=756=85. 02

42924. 8φd [σH ]2u

mm

7) 初步确定主要参数

a. 选取齿数 取z 1=34，z 2=uz 1=4.8⨯34=163.2，取z 2=163

b. 初选β=15° c. 计算法向模数

m n =

d 1cos β85. 02cos 15︒

==2. 42z 134

mm

取标准模数m n =2.5mm d. 计算中心距

a =

m n (z 1+z 2) 2. 5⨯(34+163)

==254. 94

2cos β2cos 15︒

mm

为便于箱体的加工及测量，取a =255mm e. 计算实际螺旋角β

f. 计算分度圆直径 验证

d 1=m n

z 134=2. 5⨯=88. 02 m m >85.02 m m cos βcos 15. 05294︒

z 2163

=2. 5⨯=421. 98cos βcos 15. 05294︒

m n (z 1+z 2) 2. 5⨯(34+163)

=arccos =15. 05293924︒

2a 2⨯255

=15︒3'11''

β=arccos

d 2=m n

mm

a =

1

(d 1+d 2)=1(88. 02+421. 98) =25522

mm

g. 轮齿宽度b =φd ·d 1=1⨯88.02=88.02mm 圆整取b =90mm

3. 验算齿面接触疲劳强度 由式(4-29)σ

H

=Z E Z H Z εZ β

KF t 1(u +1)

bd 1u

≤[H ]

1) 弹性系数Z E ，由表4-7，查得Z E =189.8

2) 节点区域系数Z H ，由图4-19，查得Z H =2.4 3) 重合度系数Z ε 先由ε

β

=

b sin β90sin 15. 05294︒

==2. 98>1πm n π⨯2. 5

，知Z

ε

=

1

εα

εα=⎢1. 88-3. 2⨯

⎢⎣

⎡

⎛11⎫⎤

⎪+⎪⎥cos βZ Z 2⎭⎥⎝1⎦

⎡1⎫⎤⎛1

=⎢1. 88-3. 2⨯ +⎪⎥cos 15. 05294︒=1. 71

34163⎝⎭⎦⎣

故

4) 螺旋角系数Z β=

T

5) 圆周力F =2000

d

t

11

Z ε=

1

εα

=

1

=0. 7641. 71

cos β=15. 05294︒=0. 983

=

2000⨯108. 3

=2461

88. 02

N

6) 载荷系数K =K A K v K H βK H α

a. 使用系数K A ，由表4-4，查得K A =1.25

d n π⨯88. 02⨯970

b. 动载系数K v ，由v =60π⨯==4. 47mm/s 100060⨯1000

11

查图4-13，K v =1.17（初取8级精度）

c. 齿向载荷分布系数K H β，由表4-5，按调质齿轮，8级精度，非对称布置，装配时不作检验调整可得

K H β

22⎡⎛b ⎫⎤⎛b ⎫

⎥ ⎪⎪=A +B ⎢1+0. 6 +C 10-3b ⎪ ⎪d ⎢⎝d 1⎭⎥⎣⎦⎝1⎭

22⎡⎛90⎫⎤⎛90⎫-3

=1. 23+0. 18⨯⎢1+0. 6 ⎪⎥ ⎪+0. 61⨯10⨯90

⎝88. 02⎭⎥⎢⎣⎦⎝88. 02⎭

=1. 59

d. 齿间载荷分配系数K H α，由K b F

A t

=

1. 25⨯2461

=34. 18

查表4-6得K 由式(4-24)α 则 故

cos βb =

t

H α

=K F α=

εα

cos βb

2

，式中ε=1.71

=20.65°

=

b

=arctan

tan αn tan 20︒

=arctan cos βcos 15. 05294︒

cos β⋅cos αn cos 15. 05294︒⋅cos 20︒==0. 9698

cos αt cos 20. 65︒

ε

K H α=K F α=cos

β

a 21. 71

=1. 82

0. 96982

K =K A K v K H βK H α=1.25⨯1.17⨯1.59⨯1.82=4.23

σH =Z E Z H Z εZ β

KF t (u +1) bd 1u

4. 23⨯2461(4. 8+1) 90⨯88. 024. 8

=431. 08 MPa >[σH2]=429MPa =189. 8⨯2. 4⨯0. 764⨯0. 983⨯

尽管H >[H2]，但末超过5%，故可用。

4. 验算齿根弯曲疲劳强度 由式(4-33)σ

F

=

KF t

Y Fa Y sa Y εY βbm n

≤[F ]

1) 由前已知：F t =2461N，b =90mm，m n =2.5mm 2) 载荷系数K =K A K v K F βK F α a. 使用系数K A 同前，即K A =1.25 b. 动载系数K v 同前，即K v =1.17

c. 齿向载荷分布系数K F β，由图4-16当K H β=1.59，

b 9090===16h 2. 25m n 2. 25⨯2. 5

，查出K F β=1.49

d. 齿间载荷分布系数K

F

由前可知ε=1.70，εβ=2.98，则ε=εα+εβ=1.71+2.98=4.69 由式(4-21)Y 则

ε

=0. 25+

0. 75

εa

=0. 25+

0. 75

=0. 691. 71

εγ4. 69

==3. 97εαY ε1. 71⨯0. 69

γ

前面已求得K F α=1.82

=3. 97

αε

K F α=1.82

可得K =K A K v K F βK F α=1.25⨯1.17⨯1.49⨯1.82=3.97 3) 齿形系数Y Fa ，由当量齿数

z v 1=

z 34

==37. 753

cos β(cos15. 05294︒) z 2163

==181cos 3β(cos15. 05294︒)

z v 2=

查图4-24，得Y Fa1=2.42，Y Fa2=2.12

4) 齿根应力修出系数Y sa ，由z v1=37.75，z v2=181。查图4-25得

Y sa1=1.67，Y sa2=1.85

5) 重合度系数Y ε，由前可知Y ε=0.7 6) 螺旋角系数Y β，由式(4-34)Y

β

⎛β⎫

=1-εβ ⎪

120︒⎝⎭

，由前面知，

εβ=2.98>1， 故计算时取εβ=1及β=15.05294°，得

⎛15. 05294︒⎫

Y β=1-1⨯ ⎪

⎝120︒⎭

=0.87

7) 许用弯曲应力[σF ]，由式(4-22)

[σF ]=

σF lim

S Fmin

Y N Y ST

a. 弯曲疲劳极限应力σFlim ，同直齿，即σFlim1 =430Mpa，σFlim2 =320MPa

b. 安全系数S Fmin ，由表4-8取S Fmin =1.25

c. 寿命系数Y N ，由N 1=1.164⨯109，N 2=2.43⨯108查图4-26，Y N1=0.88，Y N2=0.9

d. 修正系数Y ST ，按国家标准取2. 则 [σ

F 1]=

σF lim 1

S F min

Y N 1Y S T 1=

430

⨯0. 88⨯2=6061. 25

MPa

MPa

[σF 2]=

σF lim 2

S Fmin

Y N 2Y ST 2=

320

⨯0. 9⨯2=4601. 25

8) 验算齿根弯曲疲劳强度

σF 1=

KF t 3. 92⨯2461

Y Fa 1Y Sa 1Y εY β=⨯2. 42⨯1. 67⨯0. 69⨯0. 87bm 90⨯2. 5=105. 3MPa

σF 2=σF 1

Y Fa 2Y Sa 2105. 3⨯2. 12⨯1. 85

=

Y Fa 1Y Sa 12. 42⨯1. 67

=102. 2MPa

故弯曲疲劳强度足够。

5. 确定齿轮的主要参数及几何尺寸 z 1=34，z 2=163，m n =2.5mm，

=15.05294°，a =255mm

分度圆直径d

d 2=

1

=

m n z 12. 5⨯34

==88. 02cos βcos 15. 05294︒

mm

m n z 22. 5⨯163

==421. 98cos βcos 15. 05294︒

mm

齿顶圆直径d a1=d 1+2m n =88.02+2⨯2.5=93.02mm d a2=d 2+2m n =421.98+2⨯2.5=426.98mm

齿根圆直径d f1=d 1-2.5m n =88.02-2.5⨯2.5=81.77mm d f2=d 2-2.5m n =421.98-2.5⨯2.5=415.73mm 齿宽

b 2=b =90mm

b 1=b 2+(5~10)mm=90+(5~10)=(95~100)mm 取b 1=100mm 中心距

a =

1

(d 1+d 2)=1(88. 02+421. 98) =25522

mm

6. 确定齿轮的结构尺寸并绘制零件工作图(略) 。