线性代数与概率统计作业--2013年

一．问答题

1．叙述n 阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

答：定义：在n 阶行列式D 中划去a ij 所在的第i 行和第j 列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n-1）阶行列式，称为a ij 的余子式，记为M ij ，即

a 11 a i -1, 1

M ij=

a 1, j -1a 1, j +1

a 1n

a i -1, j -1a i -1, j +1 a i -1, n

a n , j -1

a n , j +1

a nn

a i +1, 1 a i +1, j -1a i +1, j +1 a i +1, n a n 1

（-1）i+j×M ij 称为a ij 的代数余子式，记为A ij ，即A ij =（-1）i+j×M ij

2．叙述矩阵的秩的定义。

答：定义：设A 为m ×n 矩阵。如果A 中不为零的子式最高阶为r ，即存在r 阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r 为矩阵A 的秩，记作（秩）＝r 或R （A ）＝r 。

3．齐次线性方程组的基础解系是什么？

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0⎪a x +a x + +a x =0⎪2112222n n ⎨

⎪答：定义：设T 是的所有解的集合，若T 中存在一组非零解v ，v ，„，v 满足 ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0

1

2

s

（1）v 1，v 2，„，v s 线性无关；

（2）任意v ∈T ，都可用v 1，v 2，„，v s 线性表示，则称v 1，v 2，„，v s 是此方程组的一个基础解系。

4．试写出条件概率的定义。

答：条件概率的定义：在事件B 发生的条件下事件A 发生的概率定义为

P (AB )

P (A B ) =P (B ) ＞0）

P (B )

5．试写出全概率公式和贝叶斯公式这两个定理。

答：定理1（全概率公式）设事件A 1，A 2，„,A n 构成完备事件组，且P(AI ) ＞0（i=1,2，„，n ），则对任意事件B ，有

P (B )=∑p (A i ) P (B A i ) 。特别地，当n=2时，全概率公式为

i =1

n

P(B)=A ) +P(A A )

定理2（贝叶斯公式）设事件A 1，A 2，„,A n 构成完备事件组，且P(AI ) ＞0（i=1,2，„，n ）, 则对任意事件B(P(B)＞0) ，有

P (A k B ) =

P (A k ) P (B A k )

∑P (A ) P (B A )

i

i

i =1

1

n

(k =1, 2, , n )

二．填空题

1

1

1．行列式D =-111=．

-1-11

2．设A , B 均为3阶矩阵，且|A |=|B |=-3，则-2AB T =。

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0⎪a x +a x + +a x =0⎪2112222n n

3．如果齐次线性方程组⎨的系数行列式|D |≠0，那么它有 唯一零 解．

⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0

4．用消元法解线性方程组AX =b ，其增广矩阵经初等行变换后, 化为阶梯阵

⎡1-53

⎢02-3

→⎢

⎢00s ⎢

⎣0001⎤4⎥⎥， t ⎥⎥0⎦

则 (1)当 s=0，t ≠0 时, AX =b 无解;

(2)当, AX =b 有无穷多解;

(3)当 , AX =b 有唯一解。

5．设有N 件产品，其中有M 件次品，若从N 件产品中任意抽取n 件，则抽到的n 件中检有m (m ≤M ) 件次品的概率为P ＝

C C C

m M

n -m N -M n N

。

6．随机变量数学期望的性质有

（1）E (aX +b ) ＝（a ，b 为常数）；

（2）设有两个任意的随机变量X ，Y ，它们的期望E (X ), E (Y ) 存在，则有E (X +Y ) ＝ E(X)+E(Y) 。 （3）设X 1, X 2是的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有

E (X 1X 2) =E (X 1) E (X 2) 。

7．设(X 1, X 2, X n ) 为总体X 的一个容量为n 的样本，则称统计量

1n

X i ∑（1）X ＝n i -1

（2）S 2

为样本均值；

1n 2(X -X ) ∑i ＝n 为样本方差。 i -1

8．由概率的加法公式知， （1）对任意两个事件A ，B ，有

P (A +B ) ＝；

（2）如果事件A ，B 互不相容，则

P (A +B ) ＝；

三．计算题

21111．计算行列式421-1

201102-9998．

121-2

211121421-142解：

201102-9998＝201102121-212

-221-10-9998＝2010-5110

0-1020

-2

-3-5 102

21-2

1+1

-201102-（〈-1）⨯2＝2

-5

+（-1）

1+2

2011201+（-1）⨯（-2〉-512

1+3

12-5

=-（-2600+1400-600）=1800

⎡⎡11⎢1201⎤

2-1-14⎥

⎢⎤2-1⎥⎥2．设A =⎢

⎢⎥B =⎢⎢0-20-1⎥，

⎢01⎥，求(I -A ) B 。 ⎣1431⎥

⎦

⎢⎣1-2⎥⎦⎡⎢1

000⎤⎡100⎥⎢1201⎤⎡02-1-14⎥⎢-2解：（

I -A ）=

⎢0⎢⎢0010⎥⎥-⎢⎢0-⎥=⎢⎣0

00

1⎥⎦⎢20-1⎥⎣1431⎥⎢⎦⎢0⎣-1-202121-4-3-1⎤

4⎥1⎥⎥ 0⎥⎦

⎡⎢0-20-1⎤⎡1(I -A ) B

=⎢-2214⎥⎢⎥⎢⎢2⎢0211⎥⎣-1-4-30⎥⎢⎦⎢0⎣1

⎡⎢2-5321⎤3．求矩阵A =⎢

5

-8543⎥⎢⎢1-7420⎥⎥的秩。 ⎣4

-1

12

3⎥⎦

⎡⎢2-5321⎤

⎡-8543⎥⎢1-742解：A =⎢5⎢⎢1-7420⎥⎥

→⎢

2-532⎣4

-112

3⎥⎢

⎦⎢4-112⎣5-854由此可得，矩阵的秩是2.

1⎤⎡-54⎤-1⎥1⎥⎢-25⎥⎥=⎢⎢5-3⎥-2⎥⎦⎢⎥⎣-90⎥⎦

0⎤⎡1-71⎥3⎥⎢409-5⎥→⎢⎢027-153⎥⎦⎢⎣027-1520⎤-21⎥⎡-63⎥⎢1⎥→⎢0-63⎥⎢0⎦⎢⎣0-74

9-5000

020⎤

-20⎥00⎥⎥00⎥⎦

⎧⎪-x 1-2x 2+x 3+4x 4=04．解齐次线性方程组⎪⎨2x 1+3x 2-4x 3-5x 4

=0⎪x 1-4x 2-13x 。

3+14x 4=0⎪⎩x 1-x 2-7x 3+5x 4=0

解：经过初等变换：

⎡⎢-1-21

4⎤⎡-1-214⎤⎡-A =⎢

23-4-5⎥⎢0-1-23⎥⎢⎢1-4-1314⎥⎥→⎢⎢-6-1218⎥⎢1⎥→⎢

0⎢0⎣1-1-75⎥⎦⎢0⎣0-3-69⎥⎦⎢

⎣0⎡⎢-10

5-2⎤⎡10-52⎤

→⎢

0-1-23⎥12-3⎥⎢⎢0000⎥⎢⎥→⎢0

⎢000⎥⎥

⎣0000⎥⎦⎢0⎣0

000⎥

⎦

与原方程组同解的方程组为：

{

X 1-5X 3+2X 4=0

X 2+2X 3-3X 4=0 所以，方程组的一般解为

-21

-1-200

004⎤

3⎥0⎥⎥0⎥⎦

X 1=5X 3-2X 4{

X 2=-2X 3+3X 4 （其中，X ,X

3

4为自由未知量）

⎧3x 1+x 2+λx 3=0⎪

5．试问λ取何值时，齐次线性方程组⎨ 2x 2-x 3=0有非零解？

⎪x -x -2x =0

3⎩12

31λ1-1

42

-2-1

1-10

20

-2-1

λ+8

02-1=0

解：系数行列式为：

1-1-20

λ+6=0

所以，当λ=-8时，该齐次线性方程组有非零解。

6．设有甲、乙两名射手，他们每次射击命中目标的概率分别是0。8和0。7。现两人同时向同一目标射击一次，试求： （1）目标被命中的概率；

（2）若已知目标被命中，则它是甲命中的概率是多少？

解：（1）用A 表示“甲命中目标”，B 表示“乙命中目标”，用C 表示“目标被命中”，其中A 和B 互为独立事件。 P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.8+0.7-0.8×0.7=0.94

(2)目标被命中，是甲命中的概率记为P (A C ) ,

P (AC ) P (A ) 0. 840

P (A C ) ====则P (C ) P (C ) 0. 9447

7．一袋中有m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求： （1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率；

（2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。 解：（1）用A 表示“第一次取到白球”，B 表示“第二次取到白球”

袋中原有m+n个球，其中m 个白球，第一次取到白球后，袋中还有m+n-1个球，其中m-1个为白球，故

m -1P (B A ) =

m +n -1

（2）袋中原有m+n个球，其中m 个白球，第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，其中m 个为白球，故

m

P (B A ) =

m +n -1

8．某工厂生产一批商品，其中一等品点

111

，每件一等品获利3元；二等品占，每件二等品获利1元；次品占，每件次品亏损236

2元。求任取1件商品获利X 的数学期望E (X ) 与方差D (X ) 。

1113

=3⨯+1⨯+(-2) ⨯=E (X ) 解：

2362

D (X )

9．设某仪器总长度X 为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为

[1**********]

=E [X -E (X ) ]=∑(X I -E (X ) ) P I =() ⨯+(-) ⨯+(-) ⨯=

2223264

2

2

求：（1）E (X 1+X 2) ；（21212

解：(1) EX 1

=2⨯0. 3+4⨯0. 5+12⨯0. 2=0. 6+2+2. 4=5

EX 2=6⨯0. 4+7⨯0. 6=2. 4+4. 2=6. 6

∴E (X 1+X 2) =E (X 1) +E (X 2) =5+6. 6=11. 6

(2)

E (X 1X 2) =E (X 1) E (X 2) =5⨯6. 6=33

2

3

2

D (X ) =E [X +E (X )]=(X -E (X )) P K ∑K 1111(3)

K =1

=(-3) ⨯0. 3+(-1) ⨯0. 5+(7) ⨯0. 2=2. 7+0. 5+9. 8=13

222

D (X 2) =E [X 2+E (X 2)]2=∑(X K -E (X 2)) 2P K

K =1

2

=(-0. 6) ⨯0. 4+(0. 4) ⨯0. 6=0. 144+0. 096=0. 24

∴D (X 1+X 2) =D (X 1) +D (X 2) =13+0. 24=13. 24

22