利息理论第一章课后答案
1. 已知A （t ）
+5,求
A (t ) 2t
（1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=A (0)=5++1
（2）I 3；I
I 4A (4)-A (3)===
A (3)（3）i 4; i
4=A (3)
2. 证明：（1）A (n ) -A (m ) =I (m+1) +I (m +2) +..... +In （2）A (n ) =(1+in ) A (n -1).
（1）
A (n ) -A (m ) =A (n ) -A (n -1) +A (n -1) -A (n -2) +.... A (m +1) -A (m ) =In +In -1+... +Im +1 （m
In A (n )-A (n -1)=A n -1A n -1
inA (n -1) =A (n ) -A (n -1)
A (n ) =(1+i n ) A (n - 1
3.(a)若k 是时期k 的单利利率（k=1,2...,n）证明a(n)-a(0)= (b)若k 是时期k 的复利利率（k=1,2....,n）证明
i
i 1+i 2+... +i n
i
A (n ) -A (0)=I 1+I 2+.... +I n
i n +i n -1+..... +i 1
（a ）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=（b ）
A (n ) -A (0)=A (n ) -A (n -1) +A (n -1) -A (n -2) +... +A (1)-A (0)=I n +I n -1+... +I 1
4. 已知投资500元，3年后得到120元的利息。试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。
I =A (3) -A (0=) ①单利 a (t ) =1+it 3
i =
500+(1i 3-*=1)
120
120
=0.08150*3 A (5)=800(1+5*0.08)=1120
3
5⎡00+(i 1-⎤⎣⎦) =
t (3) -A (0=) a (t ) =(1+i ) I =A ②复利 3
1
120
元
5A (5) =800+(1i =) i 1
3
8005*/1. =24
1144. 97
5. 已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1=10%，第二年的利率为
i
i 2=8%，第三年的利率为i 3=6%，求该笔投资的原始金额 A (3)=A (0)(1+i 1)(1+i 2)(1+i 3) A (0) =
A (3)
=
(1+i 1) (+1i 2) +(1i 3)
1000
=794. 10
1. 1*1. 08*1. 0 6
6. 证明：设当前所处时刻为0，则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2
1
n n
(1+i ) (1+i ) 过去n 期1元钱的现值为，未来n 期后一元钱的现值为 (1+i ) n +
1
≥2
(1+i ) n
（当n=0时，等号成立）
7. （1）对于8%的复利，确定
d 4； d 4；
（2）对于8%的单利，确定
I 4(1+8%)4-(1+8%)31d ===1-=0.0744t 4
a (t ) =(1+8%)a (4)1.08(1+8%)（1）
d 4=
（2）
I 41+8%*4-1-8%*38%
===0.061a (4)1+8%*41.32
i (5)
1+i (m ) ) 1+=(m i (6)
1+
6，确定m 8. 已知
i (5)i (5) 5*m
1+(1+) 5m m m (m ) (m )
-i i m 555630
1+=() 1+i =(1+) ==(1+i ) =(1+i ) m (6)
6*m m i (6)i
1+(1+) 6
6 6 ∴m =30
c t t
&A (t ) =ka b d 9. 如果，其中k,a,b,c,d 为常数，求t 的表达式
2
t
A (t ) =ka t b t d c
2t
A '(t ) ka t b t d c ln a +2kta t b t d c ln b +kc t a t b t d c ln d ln c t
&t ===ln a +2t ln b +c ln d ln c 2t
t c t A (t ) ka b d
10. 确定下列导数：
2t 2t 2t
d d d d d d i σ
d d d d （a ）t ； （b ） d ； （c ）v （d ）σ。 d d i 1+i -i 1
d =() ==22d d 1+i (1+i ) (1+i ) i i 解：（a ）
d d d 1-d +d 1i =() ==22d d 1-d (1-d ) (1-d ) d d （b ） d d 1σ=(-Inv ) =-d d v v
（c ）v
d d d =(1-e -σ) =e -σd d σ
（d ）σ
11. 用级数展开形式确定下列各项： （a ）i 作为d 的函数； （b ）d 作为i 的函数； （c ）i
(m )
作为i 的函数；
（d ）v 作为σ的函数； （e ）σ作为d 的函数。
i =
解：（a ）
d
=d +d 2+⋯⋯+d n +⋯⋯1-d i
=-i +i 2-i 3+⋯⋯+(-i ) n +⋯⋯1+i
d =
（b ）
i m m 1+i =(1+)
m （c ）
11111(-1) (-1)(-2)
1m -12(m -1)(m -2) 3m =m (1+i ) -m =m (1+i +m m i 2+m m i 3+ ) -m =i -i +i + m 2! 3! 2! m 3! m
1
m
i (m )
v =e
（d ）
-σ
(-σ) 2(-σ) 3σ2σ3
=1+(-σ) +++ =1-σ+-+
2! 3! 2! 3! （e ）
⎡⎤1d 2(-d ) 3d 4d 2d 3d 4
σ=In =-In (1+[1+(-d ) ]=-⎢(-d ) -+-+ ⎥=d ++++
1-d 234234⎣⎦
12. 若
σt =p +
s
1+re st ，
11t 1t
=v 1+v 2
-(P +S ) -P
v =e v =e a 1+r 1+r 12t 证明：，其中： º
σt =
证明：
d t s 1+r (p +s ) t In (a (t ) ) (p +) d a =e () t (t ) st st ⎰a =0d t 1+re 1+re t e ⇒
p (+s t )
11+re st -(p +s ) t 1-
=e =e a 1+r 1+r t
+
r -pt 1t r t
e =v 1+v 2; 1+r 1+r 1+r
-(P +S ) -P
v =e v =e 1 2
13. 假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t 时的利息力为
σt =
（3+2t）
/50，其中t 为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。
3+2t
dt σt dt ⎰σ1/250⎰1/2t 解：=1000e=1000e=1046.0279
1
1
14. 基金A 以每月计息一次的名义利率12%积累，基金B 以利息强度
σt =t/6积累，在时刻t=0
时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。
解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为1，两基金金额相等的下一刻为t 。
t t 12%12t t 2
(1+) t
12t ⎰s S S S 012 A = B = e 6 A =B 1.01=e12
t=1.4328 15. 基金X 中的投资以利息力
σt =0.01t+0.1 （0≤t ≤20）积累；基金Y 中的钱以实际利率
i 积累，现分别投资1元与基金X 、Y 中，在第20年末，它们的积累值相同，求在第3年末
基金Y 的积累值。
解：
S x (20)=e ⎰0(0.01t +0.1) d t =e 4
20
20
S (1+i ) Y （20）=
S X (20=) S Y
(2 0
420e =(1+i )
S (3) =(1+i Y
3
=)
1. 8221
16. 一投资者投资100元与基金X 中，同时投资100元于基金Y 中，基金Y 以复利计息，年
利率j>0，基金X 以单利计息，年利率为1.05j ，在第二年末，两基金中的金额相等。求第五年末基金Y 中的金额。
2(0.01t +0.1) dt 4S (2)=100(1+j ) S (2)=⎰y
解：X e 0=e
20
S x (2)=S y (2)
元
j =0.1
S y (15)=100(1+i ) 5=100(1+0.1) 5=161.051
17. 两项基金X 和Y 以相同金额开始，且有： （1）基金X 以利息强度5%计息；
（2）基金Y 以每半年计息一次的年名义利率j 计息； （3）在第8 年末，基金X 中的金额是Y 中的1.05倍。 求j 。
165%d t =e 0.4S (8)=(1+j /2) S (8)=⎰y
解：x e 0
8
S x (8)=1.05S y (8)
j =0.04439