数学四边形大题
2.(2010 嵊州市)(10分)已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。 (1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明; (3)如图3,若AB=kBC,你在(1
)中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明。
【答案】(1)AE=EF (2)猜想:(1)中结论没有发生变化,即仍然为AE=EF(过点E作EH∥AB,可证
△AEH≌△FEC)
(3)猜想:(1)中的结论发生变化,为AE=kEF 11.(2010湖北省咸宁)问题背景
图1
(1)如图1,
△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于D,E两点, 过点E作EF∥AB交BC于点F.请按图示数据填空:
四边形DBFE的面积S= , △EFC的面积S1=
△ADE的面积S2=.
探究发现
(2)在(1)中,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h.请证明S2=4S1S2. 拓展迁移
(3)如图2,□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若 △ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用(2) ...中的结论求△ABC的面积. ....
A G
B
E F
图2
C
【答案】(1)S=6,S1=9,S2=1.
(2)证明:∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF. ∴△ADE∽△EFC.
S2DE2a2∴=()=2. S1FCb
a2a2h1
∵S1=bh, ∴S2=2⨯S1=.
b2b2
1a2h
=(ah)2. ∴4S1S2=4⨯bh⨯
22b
而S=ah, ∴S2=4S1S2
(3)解:过点G作GH∥AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形. ∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH. ∵四边形DEFG为平行四边形, ∴DG=EF. ∴BH=EF. ∴BE=HF. ∴△DBE≌△GHF. ∴△GHC的面积为5+3=8.
B
H E F
图2 A G
C
由(2)得,□DBHG
的面积为=8. ∴△ABC的面积为2+8+8=18. 18.(2010 山东淄博)将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动点. (1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积.
D
C
A
(第23题)
B
【答案】解:在Rt△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,∴BC=3,AC=3. (1)如图(1),作DF⊥AC,∵Rt△ACD中,AD=CD,∴DF=AF=CF=∵BP平分∠ABC,∴∠PBC=30°,∴CP=BC·tan30°=1,∴PF=
3
. 2
1
,∴DP=2
PF2+DF2=
. 2
(1)
B (第23题)
(2)
B
(2)当P点位置如图(2)所示时,根据(1)中结论,DF=
3
,∠ADF=45°,又2
PD=BC=3,∴cos∠PDF=
DF=,∴∠PDF=30°. PD2
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°.
当P点位置如图(3)所示时,同(2)可得∠PDF=30°. ∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.
(3)
B (第23题)
(4)
B
(3)CP=
3. 2
3,2
在□DPBQ中,BC∥DP,∵∠ACB=90°,∴DP⊥AC.根据(1)中结论可知,DP=CP=∴S□DPBQ=DP⋅CP=
9
. 4
22.(2010吉林长春)如图,△ABC中,AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,点E在边AC上,以CE、CD为邻边作□CDFE,过点C作CG∥AB交EF与点G。连接BG、DE。 (1)∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系?请说明理由。(3分) (2)求证:△BCG≌△DCE. (4分)
【答案】
24.在△ABC中,∠ACB=45º.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如图①,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置
关系,并证明你的结论.
(2)如果AB≠AC,如图②,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么? (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC
=BC 3,CD=x,求线段CP的长.(用含x的式子表示)
24.(1)CF与BD位置关系是垂直; 证明如下: AB=AC ,∠ACB=45º,∴∠ABC=45º. 由正方形ADEF得 AD=AF ,∵∠DAF=∠BAC =90º,
∴∠DAB=∠FAC,∴△DAB≌△FAC , ∴∠ACF=∠ABD.
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD.
A
F
G
EC
(2)CF⊥BD.(1)中结论成立.
理由是:过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG 可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即CF⊥BD (3)过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q, ①点D在线段BC上运动时, ∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4.∴ DQ=4-x,
CPx
易证△AQD∽△DCP,∴CP=CD , ∴=,
4-x4DQAQx2
∴CP=-+x.
4
②点D在线段BC延长线上运动时, ∵∠BCA=45º,可求出AQ= CQ=4,∴ DQ=4+x.
过A作AG⊥AC交CB延长线于点G,则∆AGD≅∆ACF.∴ CF⊥BD,
CPx
∴△AQD∽△DCP,∴CP=CD , ∴=,
4+x4DQAQx2
∴CP=+x.
4
24.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系; (2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)
D D
图3 图
2 图1
24.解:(1)CG=EG……………………… 1分 (2)(1)中结论没有发生变化,即EG=CG.
证明:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点. 在△DAG与△DCG中, ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴ △DAG≌△DCG.
∴ AG=CG.………………………2分 在△DMG与△FNG中,
图 2
D
D
∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG.
∴ MG=NG …………………………3分
在矩形AENM中,AM=EN. ……………4分
D
在Rt△AMG 与Rt△ENG中,
∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG. ∴ AG=EG.…………………………5分 ∴ EG=CG. ……………………………6分
(3)(1)中的结论仍然成立.………………7分 图3
25.已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交 CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数 量关系: ;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由.如果成立请证明; (3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长. (可利用(2)得到的结论)
25.解:(1)如图①AH=AB………………………..1分 (2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN ∵ABCD是正方形
∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分 ∴AE=AN,∠EAB=∠NAD
∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM
∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高, ∴AB=AH…………………………………………….. .5分 (3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,
图①
得到△ABM和△AND
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE.
由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD. 设AH=x,则MC=x-2, NC=x-3 图② 在Rt⊿MCN中,由勾股定理,得
MN2=MC2+NC2
∴5=(x-2)+(x-3)………………………6分 解得x1=6,x2=-1.(不符合题意,舍去) ∴AH=6.……………………………………………7分
图③
2
2
2
24.我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备
下面的性质: 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为
2﹕1.请你用此性质解决下面的问题.
已知:如图,点O为等腰直角三角形ABC的重心,∠CAB=90,直线m过点O,过
A、B、C三点分别作直线m的垂线,垂足分别为点D、E、F.
(1)当直线m与BC平行时(如图1),请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明;
(2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时,分别探究在图2、图3这两种情况下,上
述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系?请写出你的结论,不需证明.
24.(1)猜想:BE+CF=AD ………………………………1分 证明:如图,延长AO交BC于M点, ∵点O为等腰直角三角形ABC的重心 ∴AO=2OM且AM⊥BC
B
A
又∵EF∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥OM∥CF ∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD ………………………3分
(2)图2结论:BE+CF=AD 证明:联结AO并延长交BC于点G, 过G做GH⊥EF于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD∽△GOH
∴AD=2HG ∵O为重心 ∴G为BC中点
∵GH⊥EF,BE⊥EF,CF⊥EF ∴EB∥HG∥CF ∴H为EF中点 ∴HG=
B
G
图2
图1
1
(EB+CF) 2
∴EB+CF=AD …………………………………………7分 (3)CF-BE= AD ………………………………………8分
24.小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形.
(1)如图①所示△ABC,△DBE,两直角边交于点F,过点F作FG∥BC交AB于点G,
连结BF、AD,则线段BF与线段AD的数量关系是 ;直线BF与直
线AD的位置关系是 ,并求证:FG+DC=AC;
(2)如果小华将两块三角板△ABC,△DBE如图②所示摆放,使D、B、C三点在一
条直线上,AC、DE的延长线相交于点F,过点F作FG∥BC,交直线AE于点G,
连结AD,FB,则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是 ;
(3)在(2)的条件下,若AG
=DC=5,将一个45°角的顶点与点B重合,
并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点(如图③),线段DF
分别与线段BQ、BP相交于M、N两点,若PG=2,求线段MN的长.
(第24题图①) (第24题图②)
(第24题图③)
24.
A
E
G
B
D
(1)结论:
则线段BF于线段AC的数量关系是:相等;直线BF于直线AC的位置关系是:互相垂直; .......................................................................(1分)
证明: ∆ABC、∆BDE是等腰直角三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠BDE=45︒,
AD⊥BC
∴∠CFD=45︒
∴CD=CF ............................................................(2分)
FG//BC
∠AGF=∠ABC=45︒
∴FG=AF
AD=AF+FC
∴AD=FG+DC ............................................................(3分)
(2)FG、DC、AD之间满足的数量关系式是FG=AD+DC;..........(4分) (3)过点B作BH⊥FG垂足为H,过点P作PK⊥AG垂足为K......(5分)
FG//BC,C、D、B在一条直线上, 可证∆AFG、∆DCF是等腰直角三角形,
AG=72,CD=5
∴根据勾股定理得:AF=FG=7,FD=5∴AC=BC=2 ∴BD=3
BH⊥FG,
2
∴BH//CF,∠BHF=90︒
FG//BC
∴四边形CFHB是矩形 ∴BH=5,FH=2
,FG//BC
∴∠G=45︒
∴HG=BH=5,BG=52
PK⊥AG,PG=2
∴PK=KG=
2
∴BK=52-2=42
∠PBQ=45︒,∠HGB=45︒
∴∠GBH
=45︒
∴∠1=∠2
PK⊥AG,BH⊥FG
∴∠BHQ=∠BKP=90︒
∴∆BQH∽∆BPK
∴PKBK =QHBH
4∴QH=5 ............................................................(6分)
∴FQ=3 4
FG//BC
∴∠D=∠MFQ,∠DBM=∠FQM
∴∆FQM∽∆DBM
DM=42 ............................................................(7分) ∠D=∠MFQ,∠DNB=∠FNP
∴∆BDN∽∆PFN ∴DN
FN=BD PF
∴DN=∴MN=428 22= ............................................................(8分) 882-
10.如图,已知点C(4,0)是正方形AOCB的一个顶点,直线PC交AB于点E,若E是AB的中点.
(1)求点E的坐标;
(2)求直线PC的解析式;
(3)若点P是直线PC在第一象限的一个动点,当点P运动到什么位置时,图中存在与△
AOP全等的三角形.请画出所有符合条件的图形,说明全等的理由,并求出点P的坐标.
10.解答:解:如图所示:
(1)因为四边形ABCO是正方形,
所以A(0,4),B(4,4),
E是AB中点,所以E点坐标是(2,4);
(2)C点坐标是(4,0),
设PC解析式为:y=kx+b,
将C和E的坐标代入即可得出PC的解析式:y=-2x+8;
(3)如图所示:
当P在E点时,△OAP≌CBE,P的坐标为(2,4);
当AP等于CP时,即OP平分∠AOC时,△OAP≌△OCP,
其中直线OP是斜率为1的函数,所以直线OP的解析式为:y=x,
与PC交于P的坐标为( 83, 83).
11.如图,矩形AOBC的顶点O在坐标原点,边OB、OA分别在x、y轴的正半轴上,且OA=6个单位长度,OB=10个单位长度.射线y= 34x(x≥0)交线段AC于点D,点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度沿O→A→D→O的路线匀速运动;与此同时,点Q从O点出发,以每秒1个单位长度的速度沿O→B→C的路线匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t秒,△POQ的面积为S.
(1)线段AD=;线段DO=
(2)分别求0≤t<3及7≤t<10时,S与t的函数关系式;
(3)求△POQ的面积S等于梯形DCBO面积一半时t的值;
(4)在运动的全过程中,是否存在t的值,使△POQ为等腰三角形,若存在,请求出t的
值,若不存在,请说明理由.
(备用图)
11.解答:解:(1)AD=8,OD=10(2分)
(2)当0≤t<3时,S=t2;(4分)
当7≤t<10时,PO=24-2t,
PM= 3/5·(24-2t),
S=- 3t2/5+ 36t/5(6分)
:
(3)当3≤t<7时,S=3t;
当10≤t≤12时,PO=24-2t,CD=2,CE= 3/2,BE= 15/2,
BQ=t-10,EQ= 35/2-t,NQ= 4/5( 35/2 -t),
S= 4/5(12-t)(35/2 -t)
= 4t2/5- 118t/5+168
3t=18,t=6,
- 3/5t2+ 36t /5=18,t1=6+ √6,t2=6- √6<7(舍).(8分)
(4)PO=PQ,2t-6= t2,
t=4
PQ2=t2-12t+72,PQ2=OQ2,t=6
PO=24-2t,PO=OQ,t=8
OM= t2, 45(24-2t)= t2,
t= 647.(10分)
12.小丽参加数学兴趣小组活动,提供了下面3个有联系的问题,请你帮助解决:
(1)如图1,正方形ABCD中,作AE交BC于E,DF⊥AE交AB于F,求证:AE=DF;
(2)如图2,正方形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,点G,H分别在AB,CD上,且EF⊥GH,求 EF/GH的值;
(3)如图3,矩形ABCD中,AB=a,BC=b,点E,F分别在AD,BC上,且EF⊥GH,求 EF/GH的值.
12.解答:证明:(1)∵DF⊥AE
∴∠AEB=90°-∠BAE=∠AFD
又∵AB=AD,∠ABE=∠DAF=90°
∴△ABE≌△DAF,∴AE=DF;
(2)作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
则AM=EF,DN=GH
由(1)知,AM=DN
∴EF=GH,即 EFGH=1
(3)作AM∥EF交BC于M
作DN∥GH交AB于N
则AM=EF,DN=GH
∵EF⊥GH
∴AM⊥DN
∴∠AMB=90°-∠BAM=∠AND
又∵∠ABM=∠DAN=90°
∴△ABM∽△DAN
∴ AMDN=ABAD=ab
∴ EFGH=ab.
13.在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作MN⊥DM,垂足为M,交∠CBE的平分线于点N.
(1)写出点C的坐标;
(2)求证:MD=MN;
(3)连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:①FM的长度不变;②MN平分∠FMB,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并给出证明.
13.分析:(1)根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C(2,2);
(2)可通过构建全等三角形来求解.在OD上取OH=OM,通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN.
(3)本题也是通过构建全等三角形来求解的.在BO延长线上取OA=CF,通过三角形OAD,FDC和三角形DAM,DMF这两对全等三角形来得出FM和OM,CF的关系,从而得出FM是否是定值.然后再看∠FMN是否与∠NME相等.解答:
13.解:(1)C(2,2);
(2)在OD上取OH=OM,连接HM,
∵OD=OB,OH=OM,
∴HD=MB,∠OHM=∠OMH,
∴∠DHM=180-45=135°,
∵NB平分∠CBE,
∴∠NBE=45°,
∴∠NBM=180-45=135°,
∴∠DHM=∠NBM,
∵∠DMN=90°,
∴∠DMO+∠NMB=90°,
∵∠HDM+∠NMB=90°,
∴∠HDM=∠NMB,
又∵DH=MB,
∴△DHM≌△MBN,
∴DM=MN.
(3)MN平分∠FMB成立.证明如下:
在BO延长线上取OA=CF,可证△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF,
FM=MA=OM+CF(不为定值),∠DFM=∠DAM=∠DFC,
过M作MP⊥DN于P,则∠FMP=∠CDF,
由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°,
∠NMB=∠MDO,∠MDO+∠CDF=45°,
进一步得∠NMB=∠NMF,即MN平分∠FMB.
14.如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点O.
(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外),要求所连接的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由;
(2)若正方形的边长为2cm,重叠部分(四边形AEOD)的面积为 433cm2,求旋转的角度n.
14.解答:
解:(1)AO⊥DE.
证明:∵在Rt△ADO与Rt△AEO中,AD=AE,AO=AO,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO,
∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE),
∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一).
注:其它的结论也成立如GD⊥BE.
(2)n=30°.
理由:连接AO,
∵四边形AEOD的面积为 433,
∴三角形ADO的面积 AD×DO2=233,
∵AD=2,∴DO= 233,在Rt△ADO中,∠DAO=30°,
∴∠EAD=60°,∠EAB=30°,
即n=30°.
15.如图,过原点的直线l1:y=3x,l2:y= x/2.点P从原点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动.直线PQ交y轴正半轴于点Q,且分别交l1、l2于点A、B.设点P的运动时间为t秒时,直线PQ的解析式为y=-x+t.△AOB的面积为Sl(如图①).以AB为对角线作正方形ACBD,其面积为S2(如图②).连接PD并延长,交l1于点E,交l2于点F.设△PEA的面积为S3;(如图③)
(1)Sl关于t的函数解析式为
(2)直线OC的函数解析式为
(3)S2关于t的函数解析式为
(4)S3关于t的函数解析式为
15.解答:解:(1)由 y=3x, y=-x+t,
得 x=t/4 , y=3t/4,
∴A点坐标为( t/4, 3t/4)
由 y= x/2 y=-x+t
得 x=2t/3 y=t/3
∴B点坐标为( 2t/3, 1t/3).
∴S1=S△AOP-S△BOP= 5t2/24
(2)由(1)得,点C的坐标为( t/4, t/3).
设直线OC的解析式为y=kx,根据题意得 tk/4= t/3,
∴k= 4/3,
∴直线OC的解析式为y= 4/3x.
(3)由(1)、(2)知,正方形ABCD的边长CB= 2t/3- t/4= 5t/12, ∴S2=CB2=( 5t/12)2= 25t2/144.
(4)设直线PD的解析式为y=k1x+b,由(1)知,点D的坐标为( 2t/3, 3t/4), 将P(t,0)、D( 2t/3,3t/4)代入得 tk1+b=0 , 2t/3·k1+b=3t/4, 解得 k1=-9/4 , b=9t/4
∴直线PD的解析式为y= -9/4+9t/4
由 y=-9x/4+9t/4 y=3x,
得 x=3t/7 y=9t/7
∴E点坐标为( 3t/7, 9t/7) ∴S3=S△EOP-S△AOP= t/2• 9t/7- t/2• 3t/4= 15t2/56.