材料力学 弯曲应力 原创教案

弯曲应力

我们开始弯曲这一章，我们讲了拉压、扭转、剪切，现在我们要讲弯曲。弯曲的情况要比拉压和扭转更加复杂一些，它所涉及的问题更多一些，它和工程实际联系的更加紧密一些。因此，这一章和下一章都是特别重要的章节。在这一章中，我们首先要讨论弯曲正应力，横截面上有弯矩，那它就有了正应力，同时还要考虑弯曲切应力的问题，横截面上有剪力，说明它有切应力存在。了解了正应力和切应力的情况，我们要讨论梁的强度和破坏，这个思路和前面几章是一样的。特别的，要强调薄壁杆件中弯曲切应力的处理，最后呢，我们要讲组合变形的应用。不仅仅是弯曲，而是弯曲和拉压，弯曲和扭转组合在一起的时候，如何来处理它的应力问题。因此，这章的内容是比较多的。

工程实际例子

我们来看看弯曲在工程中的应用。这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算？行车移动时，它的应力如何变化？这就是本章的内容之一。

我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢？它有什么优点呢？这也是本章要解决的问题。

这是一个运动员，撑杆跳，对吧。大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。我们可以处理成这样一个模型。她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系？这个杆在什么情况下才满足强度要求？

大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点？如何避免薄壁杆件的强度失效？这也是本章的问题

这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应？它的危险截面、危险点在哪儿？如何计算其应力？这也是本章可以解决的问题。因此，本章所涉及的问题是比较广的。

基本内容

那么本章到底需要同学们掌握哪些内容呢？

1、熟练张博横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练的进行梁的强度分析。

2、熟悉提高梁强度的主要措施。

3、正确理解薄壁杆件横截面上弯曲切应力的分布规律，了解弯曲中心的概念。

4、熟悉掌握梁在组合变形中的应力的计算方法。

第一、第四条是很重要的。这是以后大家经常需要处理的问题。

基本概念

平面弯曲

首先我们来看弯曲正应力。在这章具体内容介绍之前呢，我们先介绍一些概念。关于梁弯曲的基本概念。梁的平面弯曲。什么是梁的平面弯曲呢？这是一个悬臂梁，截面是矩形截面，那么这个横截面就有一个中心对称轴，整个梁就存在一个对称面，如果我们的所有的外荷载都作用在这个平面之内，比如外荷载是这样的，那么发生变形后，梁的轴线仍然在这个平面内，像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。也就是说，梁弯曲后，它的轴线也保持在一个平面之内。像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。

纯弯曲和横力弯曲

什么叫做纯弯曲呢？

如果一个悬臂梁，只在它的端头作用一个集中力偶，大家可以想象到，它的每个横截面上，只有弯矩，没有剪力。像这样只有弯矩没有剪力的弯曲，我们叫做纯弯曲，纯粹的弯曲。比如：这个举重运动员。他的两只手把杠铃杆举起来，我们弯曲可以简化成这样一个模型，支座就相当于两只手，而两个杠铃盘的作用力就简化成两个向下的作用力。假如我们不考虑杠铃杆自身的重量，虽然实际上是有重量的，在两个手之间的部分就只有弯矩而没有剪力。因为，这样一个结构而言，整个黄色区段，剪力是为零的。而另外两个区段就不是纯弯曲。

横力弯曲

什么是横力弯曲呢？当梁的横截面上，有弯矩又有剪力的时候，我们就把这种弯曲叫做横力弯曲。比如说，像这样的货架，我们考虑其中一个架子，我们可以把它考虑成承受均布荷载的悬臂梁，这个时候的悬臂梁，上面除了有弯矩之外，还有剪力。因此，它的弯曲就是横力弯曲。又比如这样的梁，承受三个集中力，这个梁的横截面上有弯矩和剪力。总之，横截面上只有弯矩的梁是纯弯曲梁，而横截面上有弯矩又有剪力的梁就是横力弯曲的梁。

以后我们的推导呢，全是以纯弯曲作为例子，来进行推导，再把推导的结果推广到横力弯曲中去。这个大家要注意。

平截面假定

关于梁的弯曲的假定有两个，其中一个是平截面假定。这一点和拉压扭转是一样的，当然，对于弯曲而言，它有自己的特点。这是一个悬臂梁，左边是固定端，右端作用一个集中力偶矩。那么，横截面在变形前是一个平面，而变形后仍然也是一个平面。我们就把这样一个现象叫做平截面假设。对于一个纯弯曲而言的梁呢，变形前确实就是一个平面，而变形后也确实就是一个平面，这是一个精确的假定。换句话说，这个假定是完全符合客观情况的。但是对于另外一种弯曲，杆端作用的不是集中力偶而是集中力的时候，这是一种横力弯曲，横截面上有弯矩和剪力。那么，变形前是一个平面，而变形后不再是一个平面。也就是说，对横力弯曲而言，平截面假定不是一个精确的假定，但是，我们以后就会明白，是这个平面上剪力的作用，导致这个平面发生翘曲，翘曲导致平面不再是平面，距离平面不远的地方发生的微微的翘曲的情况，因此，它所带来的误差是工程中弯曲可以接受的，因此，对于横力弯曲来说，这是一个近似的假设。

第二个假定：单向受力假定

什么叫做单向受力假定？比如，我们在这个梁上取一个微元面，这个微元面是垂直于轴线的方向。那么我们可以看到这个微元面上有正应力的存在，这就是横截面上的正应力，假如我们把这个方向叫做x 方向，我们就把这个应力叫做σx ，这就是我们承认他存在的正应力。刚刚我们取的是一个垂直于轴线的微元面，现在我们取一个面，让他平行于我们的轴线，也就是σy ，我们认为σy =0，也就是说，我们在假设这样一件事，比如这里有一个梁，它发生了弯曲，比如发生一个正弯曲，那么，我们认为在垂直于轴线的截面上有了正应力，可能在有的地方时拉，在有的地方是压。但是，在同一个梁上，上下平行于轴线的两个纤维之间，没有拉压，或者挤压。也就是σy =0，这个梁上的沿着轴线的纤维被拉长或者缩短了的，那么就说明在横截面上是有正应力的。这就是单向受力假定。那么，在什么情况下，这个假定是精确成立的呢？在什么情况下，这个假定又是近似成立的呢？刚刚我们在悬臂梁的右端作用一个集中力，或者作用一个集中力偶，那么这种情况下。我们看到的微元面的地方都满足单向受力假定。对于集中的荷载而言，这个假定就是精确成立的。但是有的时候并不是集中荷载，比如像图中这样的分布荷载的时候，我们先考虑一下这个纵向截面，我们把这个微元面取到上表面，那么这个时候根据力平衡，我们知道，y 方向的应力就等于力平衡。因此，这个时候，我们不能说它等于零。当我们把这个纵向平面往下取一些，那么我们会发现上面的q 对它的作用减小了。再往下一些就更小了，继续往下，就消失了。（用手比划）在y 方向上应力是从大到小在变化的，另外，即使在最上面的面，它的外荷载就等于Q, 而我们同时在这个面取一个横截面，x 方向的正应力比y 方向的大的多。也就是说在y 方向，这个应力在减小，即便在y 方向上应力最大的地方，也比x 方向的应力小的多。因此，我们往往就忽略y 方向的应力，这就是我们的单向受力假定。

梁的弯曲，我们重点研究横截面，不再研究纵向截面。以后，我们主要研究横截面的正应力和横截面的切应力，这是我们主要研究的内容。

中性层

还有一个概念叫做中性面，这是一个悬臂梁，承受一个集中力偶矩，发生了如图的变形，我们可以想象到，上面部分，它的纵向纤维总是受拉的，而下半部分，它的纵向纤维总是受压的，但是由于受力的连续性，那么中间一定有一个面是既不受拉也不受压，这是说，这个面既不被拉长，也不被压缩。我们把这个面叫做中性面。他是梁的轴线纤维伸长区和缩短区的界面。

而中性面和横截面那根交线，我们把它叫做中性轴，因此，在中性轴上，沿着轴的纤维既不伸长也不缩短。当然，中性面和中性轴都是在梁的里面的。好了，这就是我们这章的准备性的概念，这章的内容比较多，所以需要提前准备的知识点也比较多。好了，我们知道这些知识以后，就可以来研究梁横截面上的应力分析了。

横截面上正应力

这个分析过程和以前扭转给大家讲的过程一样，我们先交代一下这个分析的思路，仍然是我们力学十分重要的三个环节，第一个是几何分析，第二个是物理

分析，第三个是力学分析这样三个环节，那么具体到我们这个章节，我们首先讨论几何关系，再讨论物理关系，最后讨论力学关系。这点和扭转的时候是一样的，当时也是通过这样的思路来讨论。首先通过几何关系推导出正应变和中性层曲率间的关系。有了几何关系后呢，我们就可以转入物理关系的讨论，在我们现在讨论的范畴中呢，物理关系主要是指正应力与中性层曲率之间的关系。最后力学关系，