高中数学 统计案例
二、重难点知识归纳
1．回归分析的基本思想及其初步应用
(1)回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)线性回归模型与一次函数的区别
线性回归模型方程为y=bx＋a ＋e ，e 称为随机误差（或为残差变量），在实际问题中，线性回归模型适用的范围要比一次函数大得多．当残差变量恒等于０时，线性回归模型就变为一次函数模型．因此一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式．
(3)总偏差平方和、残差平方和、回归平方和
偏差平方和分解公式：．
其中称为总偏差平方和，称为回归平方和，称为残差平方和． 偏差平方和分解公式也可以表示为：
总的偏差平方和＝回归平方和＋残差平方和．
相关指数公式：，又可表示为．
(4)残差分析
利用残差图进行残差分析的具体步骤如下：
①计算每组观测数据的残差，即残差等于观测值减预测值．
②画残差图．残差图的纵坐标为残差，横坐标通常可以是观测样本的编号、自变量x 、或因变量的预测值等，残差图是一种散点图．
③分析残差图．
④找异常值．根据计算的残差值和残差图，观察是否存在残差特别大的点，即远离横坐标轴的点，如果存在远离坐标轴的点，就要研究它出现的原因，如是否在数据收集和录入中发生了错误，如果有错误，改正后重新建立回归模型．
2．独立性检验的基本思想及其初步应用
(1)分类变量与定量变量
分类变量：也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别．
定量变量：定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义．
(2)列联表
列联表一般为两个以上分类变量的汇总统计表，书中仅限于研究两个分类变量的列联表，并且每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2×2的列联表．
(3)应用假设检验方法解决实际问题
把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量把两个分类变量独立性检验的基本思想表述为：当
否则，就认为没有充分的证据显示这两个变量有关系．
三、典型例题剖析 很大时，就认为所涉及的两个分类变量有关系；
例1．一位母亲记录了儿子3～9
岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为
．用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）
A ．身高一定是B ．身高在145.83 cm以上
C ．身高在145.83 cm左右
D ．身高在145.83 cm以下
例2．若有一组数据的总偏差平方和为120，相关指数为0.6，则回归平方和为（ ）
A ．60 B ．72
C ．48 D ．120
例3．若一组观测值（x 1,y 1）（x 2,y 2）…（x n ,y n ）之间满足y i =bxi +a+ei (i=1,2,…,n),若e i 恒为0，则R 2为__________. 例4．某厂为了研究生产率与废品率之间的关系，记录了7天的数据，试根据以下数据建立废品率与生产
例543人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要休闲方式是运动．
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)判断性别与休闲方式是否有关系．
答案1. 解析：回归方程得出的并不是其精确身高，而只是其预报身高．一般身高
还要受到随机误差的影响．故并不能确定身高的具体数据或范围，只能根据回归模型得
到其大约数值．
故选C.
2. 解析：根据公式有，则可得残差平方和＝48，
又总的偏差平方和＝回归平方和＋残差平方和，
故可得回归平方和＝120－48=72．
故选Ｂ.
3. 解析：e i 恒为0，则说明残差变量为0，
那么有残差平方和为0，
则有＝1．
解析：用y 表示废品率，用x 表示生产率
那么废品率和生产率的关系可以用以下的线性回归模型来表示：
y=bx＋a ＋e
利用最小二乘法公式： 那么可算得
则线性回归方程为
解析：(1)2×2的列联表为
． ，，
(2)假设“休闲方式与性别无关”，计算
因为． ，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关是”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．