数学专业英语_翻译_2.7.序列及其极限

7-A 序列定义

日常英语中，词“sequence ”和“series ”是同义词，它们用来表示按某种顺序排列的一连串东西或事件。在数学上，这两个词有特殊专业含义，如通常用法一样，术语“sequence ”表示按顺序排列的一串东西，而词“series ”用于某种不同的意思。在这节讨论序列概念，而级数将在第十一节定义。

如果对于每个正整数n 都存在一个实数或复数a n 与之对应，则有序集a 1, a 2, „a n , „称为无穷序列。这里重要的是，集合中的每一个元素都用正整数来标记，因此我们可以说，第一项a 1，第二项a 2，一般地，第n 项a n 。每一项a n 都有下一项a n +1，因此没有“最后”一项。

序列最常用的例子是，给定某种规则或公式来描述第n 项。因此，例如，公式a n =1/n 定义了一个序列，它的前五项是：1，1/2，1/3，1/4,1/5.有时可以使用两个或更多的公式，例如，a 2n -1=1，a 2n =2n ，在这种情况下，前几项是：1,2,1,8,1,18,1,32,1.

另一种通常定义序列的方法是：通过一串指令说明在给定初始项后如何得到后面的项。因此我们有，对n ≥2，a 1=a 2=1，a n +1=a n +an -1。

这个特殊规则就是常见的递推公式，它定义了一个著名的称为Fibonacci 数的序列，前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34.

对任一序列，本质的问题是存在某个定义在正整数上的函数f 使得对每一个n =1,2,3,„f (n ) 是序列的第n 项。事实上，这可能是陈述序列专业定义最方便的方法。

定义：定义域是所有正整数1,2,3，„的函数称为无穷序列。函数值f (n ) 称为序列的第n 项。

函数的值域（即函数值集合）通常是按顺序书写各项来表示，因此：f (1)， f(2)， f(3)，„f (n ) ，„.

为简略起见，记号{f (n )}通常用于表示第n 项是f (n ) 的序列，序列各项对n 的相关性常常通过利用下标来表示，我们可以写为a n , s n , x n , u n , 或者类似的东西来替代f (n ) 。除非特别声明，本章所有序列都假设具有实的或复的项。

7B 序列极限

这里，我们最关心的问题是决定当n 无限增加时，项f (n ) 是否会趋于一个有限的极限。要处理这个问题，我们必须将极限概念推广到序列。做法如下：

定义：说序列{f (n )}有极限L ，如果对每一的正数ε都存在另一个正数N （可能依赖于ε）使得对所有的n ≥N 有| f(n )-L |

lim f (n ) =L , 或者当n →∞时, f (n ) →L . n →∞

不收敛的序列称为发散。

在这个定义中，函数值f (n ) 和极限L 可以是实数或者复数。如果f (n ) 和L 是复数，我们可将它们分解成实部和虚部，记为f=u+iv, L=a+ib, 则有f (n )-L = u(n ) - a+i[v (n ) -b ]. 不等式

u (n ) -a ≤f (n ) -L 和v (n ) -b ≤f (n ) -L

表明当 n →∞时, 关系式f (n ) →L 推得u (n ) →a 和v (n ) →b . 反过来，不等式

f (n ) -L ≤u (n ) -a +v (n ) -b

表明当当n →∞时, u (n ) →a 和v (n ) →b , 推得f (n ) →L . 换句话说，复值序列f 收敛当且仅当实部u 和虚部v 分别收敛，这是有

n →∞lim f (n ) =lim u (n )+ilim v (n ) . n →∞n →∞

显然，对所有正实数x 有定义的函数都可以通过限制x 仅取正整数来构造序列，这表明，刚刚给出的定义与6.4节中作为更一般函数的定义之间十分类似。这种类似也可以推广到无穷极限，我们把定义记号

lim f (n ) =+∞和lim f (n ) =-∞ n →∞n →∞

留给读者，就像在6.5节当f 是实值时那样做，如果f 是复的，当n →∞时, 若f (n ) →+∞, 就记f (n ) →∞.

术语“收敛序列”通常仅指极限为有限的序列，具有无限极限的序列称为发散。当然存在没有无限极限的发散序列，有下列公式定义的序列，就是例子，

n πi n π1⎫n ⎛2f (n ) =(-1) , f (n ) =sin , f (n ) =(-1) 1+⎪, f (n ) =e . 2⎝n ⎭n

作为讨论和、积等等的极限的基本规则对于收敛序列的极限也是成立的。读者自己公式化这些定理应该不会有困难，它们的证明有点类似于3.5节中给出的那些证明。8-A 函数的导数

前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b ）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x ，引进差商f(x)(8.1), h-h) +f(x这里，数h (可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x 从x 变到x+h时函数的变化。称这个商为f 在连接x 与x+h的区间内的平均变化率。

现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h 是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个

//极限为f 在x 点的导数，记为f (x)（读作“f一撇x”）。因此，f (x)的正

规定义可以陈述如下：

导数定义。如果

0h →lim, h=(x)'f(x)(8.2)f-h) +f(x/存在极限，导数f (x)由等式（8.2）定义。数f / (x)也称为f 在x 点的变化率。

对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。速度v(t)等于f / (t)，这里f 是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f (t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f / (t) =144-32t给出的新的函数（速度）。

/一般地，从f(x)产生f (x)的极限过程给我们从一个给定函数f 获得一个

新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f 的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f // 并称其为f 的二阶导数。类似地，由f (n-1)定义的一阶导数是f 的n 阶导数记为f (n)，我们规定f (0)= f，即零阶导数是函数本身。对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商32.

hh -==]32t -144[-]h) +32(t-144[v(t)-h) +v(t因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32. 于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32. 这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。

8-B 导数作为斜率的几何意义通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x)) 和(x+h,f(x+h))分别表示P, Q两个点坐标，考虑斜边为PQ 的直角三角形，它的高度：f(x+h)- f(x)，表示P, Q两个点纵坐标的差，因此差商f(x)(8.4) h-h) +f(x表示PQ 与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过P, Q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f 是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m 是这条直线的斜率。图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0. 如果α位于0与π/2之间, 直线是从左到右上升的，斜率是正的。如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π/4的直线，斜率是1. 当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。假设f 在x 点有导数，这就意味着，当h→0时，P 点保持不动，Q 沿曲线向P 移动，通过P, Q两点直线不断改变方向，结果其斜率趋于极限f / (x)。基于这个原因，将曲线在点P 的斜率定义为数f / (x)似乎是自然的。通过P 点具有这个斜率的直线称为过点P 的切线。