气体内的运输过程
第四章 气体内的输运过程
4-1氢气在1.0atm,15o C 时的平均自由程为1.18x10-7m, 求氢分子的有效直径。
解：（1）由 λ=
KT 2πP λ
KT 2πd P
2
得:
d =
代入数据得:d=2.7x10-10 (m)
4-2 氮分子的有效直径为3.8×10-10m, 求其在标准状态下的平均自由程和连续两
次碰撞间的平均时间. 解:由λ=
λ
v
KT 2πd P
5. 8⨯101. 59
2
代入数据得: λ=5.8×10-8(m)
-8
t ==
RT
代入数据得:
μ
t =1.3×10
-10
(s)
4-3氧分子的有效直径为3.6x10-10m, 求其碰撞频率,
已知：(1)氧气的温度为300k, 压强为1.0 atm, (2) 氧气的温度为300k, 压强为1.0×10-6atm 解:由 λ=
v Z
得Z =
v
λ
=
8RT
πϖ
/
KT 2πd P
2
代入数据得:
Z1=6.3×109(s-1)
Z2=10-6.z 1=10-6×6.3×109=6.3×103(s-1)
4-4某种气体分子在25℃时的平均自由程为2.63×10-7m.
(1)已知分子的有效直径为2.6×10-10m, 求气体的压强, (2)求分子在1.0m 的路程上与其它分子的碰撞次数.
解：（1）由 λ=
KT 2πd λ
2
KT 2πd P
2
得
P =
代入数据得：
P=5.21×104(J/m3)=5.2×10-1(atm) (2)分子走1.0m 路程碰撞次数
N=1.0/入=1.0/2.63×10-7=3.8×108(次)
4-5 若在1.0atm, 下, 氧分子的平均自由程为6.8×10-8m, 在什么压强下, 其平均
自由程为1.0 mm?设温度保持不变. 解:由λ=
KT 2πd P
2
得
λ1λ
=
P P 1
-8
P =P 1⨯
λ1λ
=1. 0⨯
6. 8⨯1010
-3
=6.8×10-5(atm)
4-6电子管的真空度约为1.0×10-5mmHg. 设气体分子的有效直径为3.0×10-10m,
求27℃时单位体积内的分子数, 平均自由程和碰撞频率. 解: n=P/kT=（1.33×10-3）/（1.38×10-22x300）=3.2×1017(m-3)
(2) λ=
12πd n
2
=7.8(m)
(3)若电子管中是空气. 则μ=29×10-3kg ﹒mo1-1
Z =
v =1
8RT
λλ
πμ
=60(s-1)
4-7今测得温度为15℃压强为76cmHg 时, 氢分子和氖分子的平均自由程分别为
λ
Ar
=6.7x10-8m 和 λNe =13.2x10-8m, 问: (1)氩分子和氖分子的有效直径之比是多少? (2)t=20℃ P=15cmHg时, λ
Ar
为多大?
(3)t=-40℃, P=75cmHg时, λNe 为多大?
解:(1)由 λ=
d Ar 1d Ne 1
KT 2πd P
2
得:
=
λλ
Ne 1Ar 1
=1.4
KT 2πd P
2
(2)假设氩分子在两个状态下有效直径相等, 由λ=
T 2T 1
P 1P
2
得:
λ
Ar 2
=λ
Ar 1
⨯⨯
=3.45×10-7(m)
(3)设氖气分子在两个状态下有效直径相等, 与(2)同理得: λNe 3=λNe 1⨯
4-8在气体放电管中, 电子不断与气体分子相碰, 因电子的速率远远大于气体分
子的平速速率, 所以后者可以认为是静止不动的, 设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d 来可忽略不计. (1)电子与气体分子的碰撞截面σ为多大?
(2)证明:电子与气体分子碰撞的平均自由程为: λe =
数密度。
解:因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比, 可以忽略不计, 因而可把电子看成质点. 又因为气体分子可看作相对静止, 所以凡中心离电子的距离等于或小于d/2的分子都能与电子相碰, 且碰撞截面为. ： σ=π(d/2)2=1/4πd 2 (2)电子与气体分子碰撞频率为：
Z =σn v e (v e 为电子平均速率)
1
T 3T 1
⨯
P 1P
3
=1.1×10-7m
σ
n
,n为气体分子的
λe =
v e z
=
v e
σn v e
=
1
σn
4-9设气体分子的平均自由程为λ。试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走
路程至少为x 的几率是e -x /λ。
解：根据N=No e -x /λ（4.6）式知在N o 个分子中自由程大于的分子占总分子数的比率为:N/No =e -x /λ. 由几率概念知：对于一个分子, 自由程大于x 的几率为N/No, 故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为X 的几率是e -x /λ.
4-10 某种气体分子的平均自由程为10cm, 在10000段自由程中,(1)有多少段长
于10cm?(2)有多少段长于50cm? (3)有多少段长于5cm 而短于10cm? (4)有多少段长度在9.9 cm到10cm 之间? (5)有多少段长度刚好为10cm? 解:No个分子中按不同自由程分布的分子数占总分子数的比率与一个分子在N o 段自由程中按不同自由程分布几率相同, 即N o 分子在某一自由程的分子数就是N o 段自由程中具有这个自由程的段数. 故
N=Noe -x /λ可表示自由程长于X 的段数 (1)设长于10cm 的段数为N 1, 总段数为N o
N 1=No e -x /λ=10000e-10/10=3679(段) (2)设长于5cm 的段数为N 2
N 1=No e -x /λ=10000e-50/10=67(段) (3)设长于5cm 的段数为N 3 N 3=10000(e-5/10-e -10/10)=2387(段)
(4)设长度在9.9cm 到10cm 之间的段数为N 4
N4=10000(e-0.99-e -1)=37(段)
(5)按统计规律, 不能确定长度刚好为10cm 的有多少段.
4-15 今测得氮气在0℃时的导热系数为23.7×10-3W ·m -1k -1，定容摩尔热容量为：
20.9J ·mol -1· k-1，试计算氮分子的有效直径。
k =
13C V 3πd
2
4KmT
解：由《热学》（4.19）式
=
π
⋅
⋅
C V
σ
4KmT
π
∴d =[
C V 3πk
4KmT
1
π
]2代入数字得：
d =7. 1⨯10-10(m )
4-16 氧气在标准状态下的扩散系数：1.9×10-5m 2，求氧分子的平均自由程。 解：∵D =
13v λ=
13
λ⋅
8RT
πμ
∴λ=3D
λ=1. 3⨯10
πμ8RT
-7
代入数据得：
m
4-17 已知氦气和氩气的原子量分别为4和40，它们在标准状态下的粘滞系数分
别为ηHe =18.8×10-6N ·S ·m -2和ηAr =21.0×10-6N ·S ·m -2，求：（1）氩分子和氦分子碰撞截面之比σAr /σHe ，（2）氩气与氦气的导热系数之比K Ar /KHe ，（3）氩气与氦气的扩散系数之比D Ar /DHe 。 解：已知μHe =4，μAr =40 （1）根据η=
13σ
4KT μ
πN A
⋅
18. 821. 0
404
ηHe μAr μHe
∴σAr /σHe =ηAr
=
=2. 83
（2）K=ηC V =η⋅∴K Ar /KHe
=
C
μ
，由于氦、氩都是单原子分子，因而摩尔热容量C 相同
ηAr ηHe
⋅
μHe μAr
-6-6
=
21. 0⨯1018. 8⨯10
⋅
440
=0. 112
（3）∵D =
13
v λ=
ηρ
=
η
P μRT
现R 、T 都相同，
D Ar
∴D He
=
ηAe ηHe
⋅
μHe μAr
=
21. 0⨯1018. 8⨯10
-6-6
⋅
440
=0. 112
4-18 一长为2m ，截面积为10-4米2的管子里贮有标准状态下的CO 2气，一半CO 2
分子中的C 原子是放射性同位素C ，在t=0时放射性分子密集在管子左端，其分子数密度沿着管子均匀地减小，到右端减为零。（1）开始时，放射性气体的密度梯度是多大？（2）开始时，每秒有多少个放射性分子通过管子中点的横截面从左侧移往右侧？（3）有多少个从右侧移往左侧？（4）开始时，每秒通过管子截面扩散的放射性气体为多少克？ 解；已知管长l=2.0m，截面积S=10-4米2=1cm2，
（1） 由题知，开始时左端全部是放射性分子，单位体积内分子数为n ，而
右端为零。故放射性气体密度梯度：
d ρdl
=-
14
ρl
=-
mn l
∵m =
μ
N
A
标准状态下任何气体单位体积的分子数为：
n =
N
A
22. 4
μ22. 4⨯l
=-1. 03⨯10
-5
∴
d ρdl
=-
g /cm
4
（2） 根据扩散现象的微观解释知，在dt 时间内通过中点ds 由左移到右的
分子数为：
dN 1=
16v [N -
1m (d ρdl
) ⋅λ]dsdt
参看《热学》（4-1）表，可取λ=4. 9⨯10-6cm 。因为管很细，可假设在开始1秒内
d ρdl
近似不变，则在1秒内从左端通过S 面移往右端的分子数：
N l ==n 12
16S
V S (
n 2
+
n λl
)
8RT
πμ
(1+
2λl
)
代入数据得：
N l =7. 95⨯10
22
+3. 33⨯10
15
(个）
（3） 同理可得1秒内从右端通过S 面移往左端的放射性分子数：
N 2=7. 95⨯10
22
-3. 33⨯10（个）
15
（4） 每秒通过S 面扩散的放射性分子数：
∆N =N 1-N 2=6. 66⨯10（个）
15
故每秒通过S 面扩散的放射性气体质量：
∆M =
μ
N
A
⋅∆N =5. 09⨯10（g )
-7