中考数学压轴题解题技巧及答案

对称翻折平移旋转

1．（2010年南宁）如图12，把抛物线线l1，抛物线l2与抛物线l1关于的顶点，线段CD交

yx2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物

y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2

y轴于点E.

（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；

（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. （3）在抛物线l1上是否存在点M，使得请说明理由.

y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为

SABMS四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，如果不存在，

y

C

ED

A

O

B

x

l1

l 2

12

【解析】 （1）

（或

）；……………（1分）

①当别为（

点是1，

的对称轴与

的交点时，点3），而点

、、

的坐标分的坐标分

3）和（1，

别为

（

（或

）；……（2分）

四边形

（2）以

、

、

、

为顶点的四边形为矩形或等腰梯

②当

）和（1，1），所以是矩形.…………（4分）

形.…………（3分）

点不是的对称轴与

的交点时，根据轴对称性质，

理由：点与点，点与点关于

轴对称，

有：（或），但

.

轴.

四边形（或四边形

）是等腰梯形（5分）

（3）存在.设满足条件的点坐标为，连接

，

……………（8分）

依题意得：

，

②当时，

.………………（6分）

……………………（9分）

①当时，

将代入的解析式，解得：

………………（7分）

，

将

代入

的解析式，解得：

…………（10分

2．（福建2009年宁德市）如图，已知抛物线C1：的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；（4分）

yax25的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B

2

（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

解：（1）由抛物线C1：yax25得

顶点P的为（-2，-5） ………2分 ∵点B（1，0）在抛物线C1上 ∴0a1225

5

解得，a＝ ………4分

9

（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B，且PB＝MB ∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴顶点M的坐标为（4，5） ………6分

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到

2

52

∴抛物线C3的表达式为yx45 ………8分

9

（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称

2

由（2）得点N的纵坐标为5

设点N坐标为（m，5） ………9分 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G

作PK⊥NG于全品中考网 K ∵旋转中心Q在x轴上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，点F坐标为（m+3，0）

H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），

根据勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104 PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34 ………10分

4419

①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，∴Q0）

33102

②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q，0）

33

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º全品中考网

192

综上所得，当Q0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点

33

的三角形是直角三角形． ………13分

一、 动态：动点、动线

3．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其中x1、x2

是方程x－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E， 连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q， 使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2

15

∵ 抛物线y＝ax2＋bxx轴交于点A(－3,0)，

2C(5,0)

25a＋5b＋20，∴ 15

9a－3b＋＝0.2

15

分) 2

15

1a＝－2，

解得

b＝1.

115

∵ B为抛物线y＝－ x2＋x＋的顶点，

22∴ B(1,8). (5分) ∴ BD＝8，OD＝1. 又 C(5,0)，∴ CD＝4.

∵ PM⊥BD，BD⊥AC，

1

∴ 抛物线的函数关系式为y＝－ x2＋x＋

2

(2)①延长NM交AC于E，如图(1)．

3

∴ PM∥AC.

∴ ∠BPM＝∠BDC＝90°，∠BMP＝∠BCD. ∴ △BPM∽△BDC. BPPM∴ ＝BDCD根据题意可得BP＝t， tPM∴ .

841

∴ PM＝t.(7分)

2

分

若四边形OPMC是等腰梯形，只需OD＝EC. 1

∵ OD＝1，DE＝PMt，

21

t＋1. ∴ EC＝5－21

t＋1＝1. ∴ 5－2解得t＝6.

∴ 当t＝6时，四边形OPMC是等腰梯形. (14

)

∵ MN∥BD，PM∥AC，∠BDC＝90°， ∴ 四边形PMED为矩形． ∴ DE＝PM＝12t.

∴ OE＝OD＋DE＝1＋1

2t.

∴ E1＋1

2t，0

. ∵ 点N在抛物线上，横坐标为1＋1

2t，

∴ 点N的纵坐标为－121＋122＋11＋152t＋2. ∴ NE＝－121＋1115

2t2＋1＋2t＋2 1

8

2＋8.

∵ PB＝t，PD＝ME， ∴ EM＝8－t.

∴ MN＝NE－EM＝－1

8t2＋8－(8－t)

1

8

t－4)2＋2.

当t＝4时，MN最大＝2.(10分) ②存在符合条件的t值． 连接OP，如图(2)．

(第26题(2))

4

4．（2008年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为2

菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

B

B

C

图P

（1）在Rt△ABC中，ABBC2AC25，

由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t， 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC， ∴AQAP

ACAB， ∴

2t45t5

， ∴t

10

7

． 3′ （2）过点P作PHB

⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC， ∴PHBCAP

AB

， ∴

PH53

t

5，

图①

∴PH33

5

t，

∴y1AQPH12t(33t)3

t22255

3t． 6′

（3）若PQ把△ABC周长平分， 则AP+AQ=BP+BC+CQ．

∴(5t)2tt3(42t)， 解得：t1．

若PQ把△ABC面积平分，

则SAPQSABC， 即－t2＋3t=3． ∵ t=1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． ··· 9′ （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，

若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC． ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM．

∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴

PNtPNBP

， ， ∴45ACAB

1

2

35

B

N

∴PN

4t

， 5

4t， 5

∴QMCM

44

∴tt2t4， 55

10

解得：t．

910

∴当t时，四边形PQP ′ C 是菱形．

9

此时PM3t

35

748， CMt， 359

22

在Rt△PMC中，PCPMCM

4964981， 9

∴菱形PQP ′ C边长为

505

． 9

12′

6

5．（09年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平．．．．方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： （1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒； （3）求y与x之间的函数关系

解：（1）6．（1分） （2）8．（3分）

（3）①当0≤x3时，

Q3

P3

Q2

B

Q1



OCCP3x61

,OEEQ32x122

11

OCCE(2x12),

33

yS△AQP3

S△ACP3-S△COP3

11

CP3·AC·sin60°OC·CP3·sin60°

22

1

11

·6(2x12)(x6)112(x6)

yS△APQAP·AQ·sin60x·2x2231113

22． （5分） ．

②当3≤x6时，

yS△APQ=12

1

AP2 P2Q22



2xx．（10分） 62

1

AP2·CQ2·sin6021x·(12-2x·)22

（解法二）

如右图，过点O作OFCP3于点

FOG

G, CQ3，于点

2

x.（7分） =2

AC交于点O． ③当6≤x≤9时，设PQ33与

(解法一)

过Q3作Q3E∥CB,则△CQ3E为等边三角形．

H． 过点P3作P3HDC交DC延长线于点

ACBACD,

OFOG.

又CP3x6,CQ3,2x122(x6),

S△CQP3

1

S△COQ3 2

Q3

G H 3

B

Q3ECECQ32x12.Q3E∥CB.△COP3∽△EOQ3

7

1

S△COP3S△CP3Q3,

3

11

CQ3·P3H32

11(2x12)(x6)·32yS△

AOP3 S△ACP3S△

OCP3

2

x6)x6)(x6)2.6

1

·AC·sin60°

又S△ACP3CP3

2



2xx（10分） 62

1(x6)62 x6).

6．(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN

A为中心顺

时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N

x． （1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

（第24题）

．（1）在△ABC中，∵AC1，ABx，BC3x． 1x3x∴，解得1x2 4分

13xx

（2）①若AC为斜边，则1x2(3x)2，即x23x40，无解． ②若AB为斜边，则x2(3x)21，解得x③若BC为斜边，则(3x)21x2，解得x∴x

5

，满足1x2． 3

4

，满足1x2． 3

54

或x 9分 33

（3）在△ABC中，作CDAB于D，

1

设CDh，△ABC的面积为S，则Sxh．

2

8

（第24题-1）

①若点D在线段AB上， 则h2(3x)2h2x．

∴(3x)2h2x22xh21h2，即xh23x4． ∴x2(1h2)9x224x16，即x2h28x224x16． ∴S2

412231

····························· 11分 xh2x26x42(x)2（≤x2）． ·

4223

当x

4231

时（满足≤x2），S2取最大值，从而S取最大值． ······················ 13分

2223

②若点D在线段MA上， 则(3x)2h2h2x．

1

同理可得，S2x2h22x26x4

4

431

2(x2（1x≤），

223

易知此时S

2

． 2

（第24题-2）

综合①②得，△ABC的最大面积为

2

． ·········································································· 14分 2

圆

7．（2010青海） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长； （3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 ．

图1

9

图2

（1）设顶点式，把A、C代入求出（2）见切点时，常做过切点的半径构造直角三角形（3）由相似得到对应线段成比例，从而求出BF的长． 【答案】

∴

解：（1）设抛物线的解析式为ya(x6)2k ∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9）

AEAD

BFBD

9ak0∴

36ak9

解得：a∴y

即

1

,k3 3

36 BF3

∴

1

(x6)23 3

BF

3 2

（2）连接AE

∵DE是⊙A的切线，∴∠AED=90°，AE=3 ∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点 ∴AB=BD=3 ∴AD=6

在Rt△ADE中，

当FB⊥AD时

∵∠AED=∠FBD=90° ∠ADE=∠FDB ∴△AED∽△FBD ∴

AEED



BFBD

DE2AD2AE2623227

∴DE（3）当BF⊥ED时 ∵∠AED=∠BFD=90° ∠ADE=∠BDF ∴△AED∽△BFD

即BF

3

2

∴BF的长为

8．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于

点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位

置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

10

1

． (1)3

2

9．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

25．解：（1）令二次函数yax2bxc，则

16a4bc0

abc0c2

1分

1a2

3

2分 b2c2

13

过A，B，C三点的抛物线的解析式为yx2x24分

22

（2）以AB为直径的圆圆心坐标为O，0

3

2

OC

53 OO5分 22

CD为圆O切线 OCCD 6分

OCDDCO90°

ODC OCOOOCO90° CO

△OCO∽△CDO OO/OCOC/OD 8分 38/22/OD OD 23

8D坐标为09分

3

（3）存在 10分 抛物线对称轴为X

3 2

33rr)或F(rr) 22

设满足条件的圆的半径为r，则E的坐标为(而E点在抛物线y

123

xx2上 22

1333

r(r)2(r)

2

2222

r11

r21，112分

故在以EF为直径的圆，恰好与x

轴相切，该圆的半径为1

10．（2009年潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于

A、B、C、D四点．抛物线yax2bxc与y轴交于点D，与直线yx交于点M、N

，且

MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

解：（1）

圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，

0)B(0，1)、C(1，、0)D(01)， 点A、B、C、D的坐标分别为A(1，、

抛物线与直线yx交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，

1)、N(11)，． 2分 M(1，

，、M(1，1)、N(11)，的坐标代入 点D、M、N在抛物线上，将D(01)

c1a1

yax2bxc，得：1abc 解之，得：b1

1abcc1

4分 抛物线的解析式为：yx2x1．

（2）

15

yx2x1x

24

1，

2

2

抛物线的对称轴为x

1． 6分 OE，DE

2连结BF，BFD90°，

△BFD∽△EOD，

DEOD

，

DBFD

又DEOD1，DB2，

FD

，

EFFDDE



8分

（3）点P在抛物线上． 9分 设过D、C点的直线为：ykxb，

，、0)D(01)，的坐标代入ykxb，得：k1，b1， 将点C(1

直线DC为：yx1． 10分

过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y1， 将y1代入yx1，得：x2．

1)， 11分 P点的坐标为(2，

当x2时，yxx12211， 所以，P点在抛物线yxx1上．

2

2

2

12分

四、比例比值取值范围

11．（2010年怀化）图9是二次函数

y(xm)2k的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

5

SMAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理4

（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线



yxb(b1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

图9

图

1

(1) 因为

M(1,-4) 是二次函数

y(xm)2k的顶点坐标，

所以y(x1)24x22x3 令x22x30,解之得x11,x23. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2)在二次函数的图象上存在点P，使SPAB设p(x,y),则SPAB∴2y

5

SMAB 4

11

ABy2y，又SMABAB48, 22

5

8,即y5. 4

∵二次函数的最小值为-4，∴y5. 当y5时，x2,或x4. 故P点坐标为（-2，5）或（4，5）

（3）如图1，当直线yxb(b1)经过A点时，可得b1. 当直线yxb(b1)经过B点时，可得b3. 由图可知符合题意的b的取值范围为3b1.

12． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y

轴上，OA，

OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA

段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y

cm的速度匀速运动，Q在线

12

xbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴4

的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

第26题图

解：(1)

∵CQ＝t，OP，CO=8 ∴OQ=8－t

∴S△OPQ＝

1

(8t)2

2

（0＜t＜8） …………………3分 (2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ

＝811

8)＝ ………… 5分 22

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于 …………6分

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能

是∠QPB＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP ………………7分 解得：t＝4 8经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P

（0）

∵B

（8）且抛物线y∴抛物线是y

12

xbxc经过B、P两点，

4

12

x8，直线BP

是：y8 …………………8分 4

12

设M（m

8）、N(m

，m8)

4

∵M在BP上运动

∴∵y1

m12

x

8与y28交于P、B两点且抛物线的顶点是P

4

∴当my1y2 ………………………………9分 ∴MNy1

y2＝

1

(m22

∴当mMN有最大值是2 4

∴设MN与BQ交于H

点则M

、H ∴S△BHM

＝

1

3

＝2

∴S△BHM ：S五边形QOPMH

＝＝3:29

∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29． …………………10分

13．（成都市2010年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线

yax2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点

0)，若将经过A、C两点的直线ykxb沿y轴向下平B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(3，

移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x

（1）求直线

2．

AC及抛物线的函数表达式；

AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为SABP、SBPC，且SASBP:BPC

（2）如果P是线段求点P的坐标；

（3）设

2:3

，

Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q

与坐标轴相切的情况？若存

在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

（1）解：（1）∵ykxb沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，

3)。 ∴b3，C(0，

0)代入ykx3，得3k30。解得k1。 将A (3，

∴直线AC的函数表达式为yx3。 ∵抛物线的对称轴是直线x2 9a3bc0

a1∴

b

2

解得2a

b4 c3c3∴抛物线的函数表达式为yx24x3。 （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

x

∵SABP:SBPC2:3，

∴(12APBD):(1

2PCBD)2:3

∴AP:PC2:3。

过点P作PE⊥x轴于点E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO， ∴

PEAP2CO

AC

5

， ∴PE25OC65

∴

65x3，解得95

96

∴点P的坐标为()

55

（3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在圆Q与坐标轴相切的情况。 设点Q的坐标为(x0，y0)。

① 当⊙Q与y轴相切时，有x01，即x01。 当x01时，得y0(1)24(1)30，∴Q1(1， 0) 当x01时，得y0124138，∴Q2(1， 8)

② 当⊙Q与x轴相切时，有y01，即y01

1) 当y01时，得1x024x03，即x024x040，解得x02，∴Q3(2，

当y01时，得1x024x03，即x024x020，解

得x02，

∴Q4(2，

1)

Q5(2。

0)，Q2(1， 8)，Q3(2，

1)，综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1(1，

Q4(2

，Q5(2。 （Ⅱ）设点Q的坐标为(x0，y0)。

当⊙Q与两坐标轴同时相切时，有y0x0。 由y0x0，得x024x03x0，即x023x030， ∵△=324130 ∴此方程无解。

由y0x0，得x024x03x0，即x025x030，

解得x0

∴当⊙Q

的半径rx0

Q与两坐标轴同时相切。 

五、探究型

2

ymx2mx3mm0与x轴交于A、B两点，与y14．（内江市2010）如图，抛物线

轴交于C点.

（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），

A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

15．（重庆市潼南县2010年）如图, 已知抛物线的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标； （3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

26题图

y

12

xbxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A2

16．（2008年福建龙岩）如图，抛物线

yax25ax4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A

在

x轴上，点C在y轴上，且ACBC．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出

A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

17．（09年广西钦州）26．（本题满分10分）

如图，已知抛物线y＝的直线y＝＜1．

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

32

x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C4

3

x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t4t

18．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在

y轴的正半轴上，OC在x轴

的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与

y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如

6

，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予5

果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G

构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

19．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax ＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC． （1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20．（08江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30° 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕点旋转，并使边DE与边．．．．DEF．．．．．E．．．AB交于点P，边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中，

21

22

（1） 如图2，当

CE

＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EA

（2） 如图3，当

CE

＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EA

（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

CE＝mEA

2

时，EP与EQ满足的数量关系式

为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中：

（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

F

A

A(D)

A

E

E

P

D

F

C

C(E)

B

Q

C

F

D

六、最值类

22．(2010年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数

yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点， A

点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四 边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在 请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

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22