高中文科数学一轮复习--三角函数

第五章三角函数

第一节 角的概念的推广与弧度制

A 组

1．点P 从(－1,0) 出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运到达Q 点，则Q 点的坐标为________．

π

解析：由于点P 从(－1,0) 出发，顺时针方向运动弧长到达3

2π2π13

Q 点，如图，因此Q 点的坐标为(cossin ) ，即Q (－，) ．答

3322

13

案：(－)

22

2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．

ααα

①tan ②sin ③cos ④cos2α

222

αα

解析：α为第四象限角，则为第二、四象限角，因此tan 恒成立，应填①，其余三

22

个符号可正可负．答案：①

3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编) 若sin α0，则α是第_______象限的角． 答案：三

|sinx |cos x |tanx |

4．函数y ＝＋的值域为________．

sin x |cosx |tan x

解析：当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，tan x >0，y ＝3； 当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x 0，y ＝－1；

当x 为第四象限角时，sin x 0，tan x

3

5．(原创题) 若一个α角的终边上有一点P (－4，a ) ，且sin α·cos α＝，则a 的值为________．

4

3

解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a ) 在其终边上且sin α·cos α＝，

4

344

易得tan α＝3或，则a ＝－43或－3. 答案：－43或－3

332

6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(3，y )(y ≠0) ，且sin αy ，求cos α，tan α的

4

值．

2y 2

解：因为sin αy ＝y ＝5，

4(－3) 2＋y 2 3153

B 组

1．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．

2

解析：当a >0时，点P (a ，a ) 在第一象限，sin α＝；

222

当a

2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．

解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为R ，则

当y 5时，cos α＝－

6

tan α＝－46

当y ＝－5时，cos α＝－tan α＝

4

π动3

2R ＋α·R ＝6⎧⎪⎨12，解得α＝1或α＝4. 答案：1或4 R ·α＝2⎪⎩2

3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________．

112100100

解析：S ＝|α|r 2＝π×100＝2) ．答案：2

22333

θ

4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与3

为__________．答案：{56°，176°，296°} 5．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z ) ，则α是第________象限．

解析：当k ＝2m ＋1(m ∈Z ) 时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z ) 时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．

答案：一或三

6．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0) ，则sin α－cos α的值是________．

解析：∵x ＝－6a ，y ＝－8a ，∴r (－6a ) ＋(－8a ) ＝10|a |，

y x －8a ＋6a －a 11

∴sin α－cos α＝答案：r r 10|a |5|a |55

y

7．(2010年北京东城区质检) 若点A (x ，y ) 是300°角终边上异于原点的一点，则的值为

x

________．

y

解析：tan300°＝－tan60°3. 答案：－3

x

3π3π

8．(2010年深圳调研) 已知点P (sin，cos 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为

44

________．

3πcos

43π3π

解析：由sin ，cos

443π

sin 4

7π7π＝44

2

9．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α，且cos α

5

则k 的值为________．

解析：设α终边上任一点P (x ，y ) ，且|OP |≠0，∴y ＝kx ， ∴r x ＋(kx ) ＝1＋k |x |.又sin α>0，cos α0，

y kx k 2

∴r 1＋k x ，且k

∴－＝，∴k ＝－2. 答案：－2

51＋k 10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . 若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．

π10

解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝，R ＝10，∴l ，

33

11012π3

S 弓＝S 扇－S △·10sin60°＝50()(cm2) ．

23232

11．扇形AOB 的周长为8 cm.

(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，

2r ＋l ＝8，⎧⎧⎧⎪⎪r ＝3，⎪r ＝1

(1)由题意可得⎨1解得⎨或⎨

⎪⎪l ＝2，l ＝6，＝3，⎩⎩⎪⎩2

l 2l

∴α＝或α＝6.

r 3r

8116432

∴S 扇αr2＝≤4， ＝22(2＋α) 42＋α

α＋＋4

α

48

当且仅当α＝α＝2时，扇形面积取得最大值4. 此时，r ＝2 (cm)，

α2＋2

∴|AB |＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．

12．(1)角α的终边上一点P (4t ，－3t )(t ≠0) ，求2sin α＋cos α的值；

(2)已知角β的终边在直线y 3x 上，用三角函数定义求sin β的值． 解：(1)根据题意，有x ＝4t ，y ＝－3t ，所以r ＝(4t ) ＋(－3t ) ＝5|t |，

34642

①当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝－，cos α＝，所以2sin α＋cos α＝－＋＝－.

55555－3t 34t 4

②当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝＝，cos α＝＝－，

5－5t 5－5t

642

所以2sin α＋cos α＝555

(2)设P (a 3a )(a ≠0) 是角β终边y 3x 上一点，若a ＜0，则β是第三象限角，r ＝－

3a 3

2a ，此时sin β；若a ＞0，则β是第一象限角，r ＝2a ，

2－2a

3a 3

此时sin β＝.

2a 2

(2)∵2r ＋l ＝2r ＋αr＝8，∴r ＝

第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式

A 组

3π

1．若cos α，α∈(π)，则tan α＝________.

52

3π4sin α4

解析：cos α＝－，α∈(，π)，所以sin α∴tan α＝＝－.

525cos α34

答案：－

3

4

2．(2009年高考北京卷) 若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________.

5

43

解析：由sin θ0知，θ是第三象限角，故cos θ＝－55

3

答案：－

5π3π

3．若α) cos(α) ＝________.

653

ππππ33

解析：α) ＝cos[－(＋α)]＝sin(α) 326655

5sin x －cos x

4．(2010年合肥质检) 已知sin x ＝2cos x ，则＝______.

2sin x ＋cos x

5sin x －cos x 5tan x －19

解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2，∴＝2sin x ＋cos x 2tan x ＋15

9答案：5

5．(原创题) 若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.

1

解析：由cos2θ＋cos θ＝0，得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或cos θ＝，当cos θ

2

13

＝－1时，有sin θ＝0，当cos θ＝时，有sin θ＝. 于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cosθ＋1) ＝0或

22

3或－3. 答案：03或－3

60ππ

6．已知sin(π－α)cos(－8π－α) ＝，且α∈(，，求cos α，sin α的值．

16942120

解：由题意，得2sin αcos α＝. ①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②

16928949

①＋②得：(sinα＋cos α) 2＝，②－①得：(sinα－cos α) 2＝169169

ππ

又∵α∈(，∴sin α>cosα>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，

42

177

∴sin α＋cos α＝. ③sin α－cos α＝④

1313125

③＋④得：sin α＝. ③－④得：cos α＝.

1313

B 组

2

1．已知sin x ＝2cos x ，则sin x ＋1＝________.

2sin 2x ＋cos 2x 2tan 2x ＋19222

解析：由已知，得tan x ＝2，所以sin x ＋1＝2sin x ＋cos x ＝.

sin x ＋cos x tan x ＋15

9答案：

5

10π

2．(2010年南京调研)cos ＝________.

3

10π4ππ11

解析：cos ＝cos ＝－cos . 答案：33322

3πsin2α

3．(2010年西安调研) 已知sin α＝，且α∈(π)________．

52cos α

32×54sin2α2sin αcos α2sin α3

解析：cos α＝－－sin α＝－， ＝5cos αcos αcos α42

－5

3

答案：－

2

sin α＋cos α

4．(2010年南昌质检) 若tan α＝2，则＋cos 2α＝_________________.

sin α－cos α

sin α＋cos αsin α＋cos αtan α＋1cos 2α116162

解析：＋cos α＝. 答案： 5sin α－cos αsin α－cos αsin α＋cos αtan α－1tan α＋15

π

5．(2010年苏州调研) 已知tan x ＝sin(x ＋) ，则sin x ＝___________________.

2

5－1π

解析：∵tan x ＝sin(x ＝cos x ，∴sin x ＝cos 2x ，∴sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝.

22

5－1

答案：

2

6．若θ∈[0，π)，且cos θ(sinθ＋cos θ) ＝1，则θ＝________.

解析：由cos θ(sinθ＋cos θ) ＝1⇒sin θ·cos θ＝1－cos 2θ＝sin 2θ⇒sin θ(sinθ－cos θ) ＝0⇒sin θ

ππ

＝0或sin θ－cos θ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0答案：0或44

π17π

7．已知sin(α＋＝，则cos(α＋) 的值等于________．

12312

7ππππ1

解析：由已知，得cos(α＋) ＝cos[(α＋＋＝－sin(α＋) 12122123

1

答案：－

3

8．(2008年高考浙江卷改编) 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

⎧cos α＋2sin α＝－5， ①

解析：由⎨2

⎩sin α＋cos 2α＝1， ②

255

将①代入②得(5sin α＋2) 2＝0，∴sin α＝－cos α＝－，∴tan α＝2.

55

答案：2

3π

sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋)

231π

9．已知f (α) ，则f (－) 的值为________．

3cos(－π－α)

sin α·cos α·cot α31π11

解析：∵f (α) ＝cos α，∴f (－π)＝－. 答案：

3322－cos α

2π4π

10．求sin(2n π＋)·cos(n π＋)(n ∈Z ) 的值．

33

2π4π2ππ

解：(1)当n 为奇数时，sin(2n π＋cos(n π＋) ＝sin cos[(n ＋1)π＋3333

ππππ313

＝sin(π－)·cos sin cos ×.

3333224

2π4π2π4ππππ

(2)当n 为偶数时，sin(2n π＋)·cos(n π＋＝sin ·cos sin(π－＋＝sin ·(－

3333333

π313cos ) ×(－＝－3224

11．在△ABC 中，若sin(2π－A ) ＝－2sin(π－B ) ，3cos A 2cos(π－B ) ，求△ABC 的三内角．

⎧sin A ＝2sin B ， ①

解：由已知，得⎨

⎩3cos A ＝2cos B ， ②

2

①2＋②2得：2cos 2A ＝1，即cos A ＝.

2

23ππ

(1)当cos A 时，cos B ＝A 、B 是三角形内角，∴A ＝，B ＝∴C ＝π－(A ＋

2246

7335

B ) ＝π.(2)当cos A ＝－cos B ＝－. 又A 、B 是三角形内角，∴A ＝，B ＝π，不合

122246

ππ7

题意．综上知，A ＝B ＝C ＝π.

4612

12．已知向量a ＝(3，1) ，向量b ＝(sinα－m ，cos α) ．

(1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α值；(2)

π

cos(－α)·sin(π＋2α)

2

若a ⊥b ，且m ＝0，求的值．

cos(π－α)

π

解：(1)∵a ∥b ，∴3cos α－1·(sinα－m ) ＝0，∴m ＝sin α－3cos α＝2sin(α－．

3

π

又∵α∈[0,2π)，∴当sin(α－) ＝－1时，m min ＝－2.

3

π311

此时απ，即απ.

326

3

(2)∵a ⊥b ，且m ＝0，3sin α＋cos α＝0. ∴tan α＝－.

3

π

cos(α)·sin(π＋2α)

2sin α·(－sin2α) ∴＝tan α·2sin α·cos α

cos(π－α) －cos α

2sin α·cos α2tan α1

＝tan αtan α＝. sin α＋cos α1＋tan α2

第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质

A 组

π

1．(2009年高考四川卷改编) 已知函数f (x ) ＝sin(x －x ∈R ) ，下面结论错误的是．

2

π

①函数f (x ) 的最小正周期为2π②函数f (x ) 在区间[0，上是增函数

2

③函数f (x ) 的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x ) 是奇函数

π

解析：∵y ＝sin(x －＝－cos x ，y ＝－cos x 为偶函数，

2π

∴T ＝2π，在[0，上是增函数，图象关于y 轴对称．答案：④

2

π

2．(2009年高考广东卷改编) 函数y ＝2cos 2(x －－1是________．

4

π

①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为的奇函数

2

π

④最小正周期为

2

ππ

解析：y ＝2cos 2(x －－1＝cos(2x －) ＝sin2x ，∴T ＝π，且为奇函数．

42

答案：①

π

3．(2009年高考江西卷改编) 若函数f (x ) ＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x

2

________．

sin x π

解析：f (x ) ＝(1＋)·cos x ＝cos x x ＝2sin(x ＋，

cos x 6

πππ2πππ

∵0≤x

266362

π

4．已知函数f (x ) ＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R ) 图象的一条对称轴方程为x ＝，则a 的值为

12

________．

ππππ3

解析：∵x ＝是对称轴，∴f (0)＝f (，即cos0＝a sin ＋cos ∴a .

1263333

答案：

3

π

5．(原创题) 设f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝对称，它的最小正周期是π，

3

则f (x ) 图象上的一个对称中心是________(写出一个即可) ．

2πππ

解析：∵T π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线x 所以有sin(2×＋φ)

ω33ππππ

＝±1，∴φ＝k 1πk 1∈Z ) ，由sin(2x ＋k 1π－) ＝0得2x ＋k 1π－＝k 2π(k 2∈Z ) ，∴x ＝＋(k 2

66612

ππππ

－k 1) ，当k 1＝k 2时，x ＝∴f (x ) 图象的一个对称中心为(0) ．答案：0)

2121212

3

6．(2010年宁波调研) 设函数f (x ) 3cos 2x ＋sin x cos x －2

(1)求函数f (x ) 的最小正周期T ，并求出函数f (x ) 的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x ) 取到最大值的所有x 的和．

31331π

解：(1)f (x ) (cos2x ＋1) x ＝cos2x x ＝sin(2x ＋) ，

222223

πππ5π

故T ＝π.由2k π2x ＋≤2k π＋(k ∈Z ) ，得k π－π≤x ≤k π＋，

2321212

5π

所以单调递增区间为[k π－π，k π＋](k ∈Z ) ．

1212ππππ

(2)令f (x ) ＝1，即sin(2x ＋) ＝1，则2x ＋＝2k π＋(k ∈Z ) ．于是x ＝k π＋(k ∈Z ) ，

33212

πππ13π

∵0≤x

13

∴在[0,3π)内使f (x ) 取到最大值的所有x 的和为π.

4

B 组

2π2

1．函数f (x ) ＝sin(x ) ＋sin x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．

3232x 2x 2x π

解析：f (x ) ＝2sin() ，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T

3334

2πT 3π3π＝3π，∴＝. 答案： 22223

π

2．(2010年天津河西区质检) 给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝对称．则下

3

列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．

x πππ

①y ＝sin() ②y ＝sin(2x ＋) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －)

2666

2πππππ

解析：④中，∵T ＝＝π，∴ω＝2. 又2×－＝x ＝为对称轴．

ω3623

答案：④

ππ

3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编) 若

42

2

ππ2tan 4x 2(t ＋1) 23

解析：x 1，令tan x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan x ＝＝－2(t

421－tan x －t

1

＋2) ≤－8，故填－8. 答案：－8 t

2

4．(2010年烟台质检) 函数f (x ) ＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－，θ]上的最大值为1，则θ的值是

3

________．

2π

解析：因为f (x ) ＝sin 2x ＋2cos x ＝－cos 2x ＋2cos x ＋1＝－(cosx －1) 2＋2，又其在区间[－，

3

ππ

θ]上的最大值为1，可知θ只能取－. 答案：－22

2π2π

5．(2010年苏北四市调研) 若函数f (x ) ＝2sin ωx(ω>0)在[－上单调递增，则ω的最大

33

值为________．

2π2π333

解析：由题意，得≥，∴0

ππ

6．(2010年南京调研) 设函数y ＝2sin(2x ＋的图象关于点P (x 0, 0) 成中心对称，若x 0∈[－，

32

0]，则x 0＝________.

ππ

解析：因为图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x 0＋＝0，x 0∈[－，

32

ππ

0]，得x 0＝－. 答案：－

66

ππ

7．已知函数y ＝A sin(ωx＋φ) ＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x ＝是

23

其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．

ππππ

①y ＝4sin(4x ＋②y ＝2sin(2x ＋) ＋2③y ＝2sin(4x ＋＋2 ④y ＝2sin(4x ＋) ＋2

6336

⎧⎪A ＋m ＝4

解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以⎨，解得A ＝m ＝2，又

⎪m －A ＝0⎩

2πππππ

最小正周期为＝，所以ω＝4，又直线x ＝是其图象的一条对称轴，将x ＝sin(4×

ω2333

4ππ5ππ

＋φ) ＝±1，所以φ＋k π＋k ∈Z ) ，即φ＝k π－(k ∈Z ) ，当k ＝1时，φ＝答案：④

3266

π

8．有一种波，其波形为函数y ＝sin 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最

2

高点) ，则正整数t 的最小值是________．

π5

解析：函数y ＝sin 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥＝5.

24

答案：5

9．(2009年高考安徽卷改编) 已知函数f (x ) ＝3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y ＝f (x ) 的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是________．

π

解析：∵y 3sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋，且由函数y ＝f (x ) 与直线y ＝2的两个相邻交

6

2ππ

点间的距离为π知，函数y ＝f (x ) 的周期T ＝π，∴T ＝＝π，解得ω＝2，∴f (x ) ＝2sin(2x ＋) ．令

ω6

πππππππ

2k π－≤2x 2k π＋(k ∈Z ) ，得k π－x ≤k π＋(k ∈Z ) ．答案：[k πk π＋](k ∈Z )

262363610．已知向量a ＝(2sinωx，cos 2ωx) ，向量b ＝(cosωx,3) ，其中ω>0，函数f (x ) ＝a ·b ，若f (x )

ππ

图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f (x ) 的解析式；(2)若对任意实数x ∈[，恒有|f (x )

63

－m |

π

解：(1)f (x ) ＝a ·b ＝(2sinωx，cos 2ωx)·(cosωx,3) ＝sin2ωx＋3(1＋cos2ωx) ＝2sin(2ωx＋)

3

2π1

＋3. ∵相邻两对称轴的距离为π，∴2π，∴ω＝，

2ω2

π

∴f (x ) ＝2sin(x ＋) 3.

3ππππ2π

(2)∵x ∈[，∴x ＋[]，∴3≤f (x ) ≤23. 又∵|f (x ) －m |

63323

ππ

∴－2＋m

63

⎧－2＋m ≤23，

3≤m ≤2＋23. ⎨

⎩2＋m ≥2＋3，

11．设函数f (x ) ＝a ·b ，其中向量a ＝(2cosx, 1) ，b ＝(cosx ，3sin2x ＋m ) ．

(1)求函数f (x ) 的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

π

(2)当x ∈[0，]时，f (x ) 的最大值为4，求m 的值．

6

π

解：(1)∵f (x ) ＝a ·b ＝2cos 2x 3sin2x ＋m ＝2sin(2x ＋＋m ＋1，

6

2π

∴函数f (x ) 的最小正周期T ＝＝π.

2

π2π

在[0，π]上的单调递增区间为[0，[，π]．

63

ππ

(2)当x ∈[0]时，∵f (x ) 单调递增，∴当x ＝f (x ) 取得最大值为m ＋3，即m ＋3＝4，

66

解之得m ＝1，∴m 的值为1.

ωx

m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函2

数 f (x ) 的最小值为0.(1)求函数f (x ) 的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C ) ＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C ) ，求sin A 的值．

π

解：(1)f (x ) 3sin ωx＋cos ωx－1＋m ＝2sin(ωx＋－1＋m .

6

2π2

依题意，函数f (x ) 的最小正周期为3π，即＝3π，解得ω＝ω3

2x π

∴f (x ) ＝2sin(＋) －1＋m .

36

π2x π5π12x π

当x ∈[0，π]时，≤≤sin(＋) ≤1，

6366236

2x π

∴f (x ) 的最小值为m . 依题意，m ＝0. ∴f (x ) ＝－1.

36

2C π2C π

(2)由题意，得f (C ) ＝2sin() －1＝1，∴sin(＋) ＝1.

3636

π2C π5π2C ππππ而＋≤＋＝C ＝. ∴A ＋B ＝636636222

π

在Rt △ABC 中，∵A ＋B ＝，2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C ) ．

2

－55－1

∴2cos 2A －sin A －sin A ＝0，解得sin A ∵0

2212．已知函数f (x ) ＝3sin ωx－2sin 2

第四节 函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) 的图像

A 组

1．(2009年高考浙江卷改编) 已知a 是实数，则函数f (x ) ＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．

2π

解析：函数的最小正周期为T ∴当|a |>1时，T 2π，观察图

|a |

形中周期与振幅的关系，发现④不符合要求．答案：④

2．(2009年高考湖南卷改编) 将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ

π

数y ＝sin(x －的图象，则φ等于________．

6

ππ11π11π

解析：y ＝sin(x ＝sin(x －＋2π)＝sin(x ＋) ．答案：6666

3．将函数f (x ) 3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．

π

解析：因为f (x ) ＝x －cos x ＝2sin(x －，f (x ) 的图象向右平移φ个单位所得图象对应

6

5π

的函数为奇函数，则φ的最小值为6

5π答案：6

4．如图是函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0，－π

π

①函数f (x ) 的最小正周期为

2

②函数f (x ) 的振幅为23；

7

③函数f (x ) 的一条对称轴方程为x ＝；

12π7

④函数f (x ) 的单调递增区间为[π]；

1212

2

⑤函数的解析式为f (x ) 3sin(2x －π)．

3T 5ππ7π7π

解析：据图象可得：A ＝3⇒T ＝π，故ω＝2，又由f () ＝3⇒sin(2×2631212

2π2π2π

φ) ＝1，解得φ＝2k π－k ∈Z ) ，又－π

333

7π

断各选项，易知①②是错误的，由图象易知x ③正确，④

12

π7π

函数的单调递增区间有无穷多个，区间[]只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推

1212

导易知正确．答案：③⑤

5．(原创题) 已知函数f (x ) ＝sin ωx＋cos ωx，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1) ≤f (x ) ≤f (x 1＋2010) 成立，则ω的最小值为________．

解析：显然结论成立只需保证区间[x 1，x 1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调

2πωπππ

区间即可，且f (x ) ＝sin ωx＋cos ωxωx＋) ，则2010ω≥答案：4220102010

π

6．(2010年苏北四市质检) 已知函数f (x ) ＝sin 2ωx＋3sin ωx·sin(ωx＋) ＋2cos 2ωx，x ∈R (ω>0)，

2

π

在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求ω；

6π

(2)若将函数f (x ) 6

的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x ) 的图象，求函数g (x ) 的最大值及单调递减区间．

313π3

解：(1)f (x ) sin2ωx＋cos2ωxsin(2ωx＋)

22262πππ

令2ωxx ＝ω＝1.

626

π3

(2)由(1)得f (x ) ＝sin(2x ＋) ＋，

62

1π3

经过题设的变化得到的函数g (x ) ＝sin(x －＋

262

45

当x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值.

32π1π3

令2k π＋x －≤2k π＋π(k ∈Z ) ，

22624π10

∴4k πx ≤4k π＋π(k ∈Z ) ．

33

4π10

即x ∈[4k π＋4k π，k ∈Z 为函数的单调递减区间．

33

B 组

1．(2009年高考宁夏、海南卷) 已知函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ

T 3

解析：由图可知，＝2π－，

24

52π54∴T ＝，∴＝π，∴ω

2ω254

∴y ＝sin(x ＋φ) ．

543

又∵sin(×＋φ) ＝－1，

543

∴＋φ) ＝－1，

533

∴π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z . 52

99

∵－π≤φ

1010

2．(2010年南京调研) 已知函数y ＝sin(ωx＋|φ|

2ππ

解析：由图象知T ＝2(－＝π.

36

2πππ∴ω＝＝2，把点1) 代入，可得2×＋

T 66

ππ答案：66

φ)(ω>0，

π

φ＝，φ＝

2

π

3．(2009年高考天津卷改编) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了

4

得到函数g (x ) ＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x ) 的图象________．

π

解析：∵f (x ) ＝sin(ωx＋x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，

4

2π

∴＝π，故ω＝2. ω

ππππ

又f (x ) ＝sin(2x ＋) ∴g (x ) ＝sin[2(x ＋＋＝sin(2x ＋＝cos2x .

4842π

答案：向左平移

8

4．(2009年高考辽宁卷改编) 已知函数f (x ) ＝A cos(ωx＋φ)

π2

的图象如图所示，f (＝－，则f (0)＝________.

23

T 117π2π解析：π－＝，∴ω3.

212123T 7

又(π，0) 是函数的一个上升段的零点， 1273ππ

∴3＋φ2k π(k ∈Z ) ，得φ＝－2k π，k ∈Z ，

1224π22222代入f () ＝－，得A ，∴f (0)＝. 23333

π

5．将函数y ＝sin(2x 的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－

3

π

0) 中心对称． 12

πππ

解析：由y ＝sin(2x ＋＝sin2(x ＋可知其函数图象关于点(－，0) 对称，因此要使平移

366

πππ

后的图象关于(－，0) 对称，只需向右平移答案：右 121212

a 1 a 2⎪⎪3 cos x ⎪⎪6．(2010年深圳调研) 定义行列式运算：⎪⎪＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x ) ＝⎪⎪的⎪a 3 a 4⎪⎪1 sin x ⎪

图象向左平移m 个单位(m >0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是________．

1πsin x －cos x ) ＝2sin(x －， 226ππ

其图象向左平移m 个单位后变为y ＝2sin(x －＋m ) ，平移后其对称轴为x －m ＝k π＋

66

π2π2π2πk ∈Z . 若为偶函数，则x ＝0，所以m ＝k π＋k ∈Z ) ，故m 的最小值为2333

ππ

7．(2009年高考全国卷Ⅱ改编) 若将函数y ＝tan(ωxω>0)46

π

与函数y ＝tan(ωx＋) 的图象重合，则ω的最小值为________．

6

ππππ

解析：y ＝tan(ωx＋) 向右平移y ＝tan[ω(x ＋，即y

4664

ππωππωπ1

＝tan(ωx＋－) ，显然当－＝＋k π(k ∈Z ) 时，两图象重合，此时ω＝－

464662

11

6k (k ∈Z ) ．∵ω>0，∴k ＝0时，ω的最小值为. 答案：22ππ3π

8．给出三个命题：①函数y ＝|sin(2x ＋的最小正周期是y ＝sin(x －在区间[π，

322

3π5π5π

上单调递增；③x ＝是函数y ＝sin(2x ＋) 的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是246________．

ππ

解析：由于函数y ＝sin(2x ＋) 的最小正周期是π，故函数y ＝|sin(2x ＋)|的最小正周期

33

π3π3π5π

是①正确；y ＝sin(x －) ＝cos x ，该函数在[π上单调递增， ②正确；当x ＝时，y 2224

5π5π5ππ5π5π5π

＝sin(2x ＋＝sin() ＝sin(＝cos ，不等于函数的最值，故x ＝不是

62626624

5π

函数y ＝sin(2x ＋的图象的一条对称轴，③不正确．答案：2

6

πx

9．(2009年高考上海卷) 当0≤x ≤1时，不等式kx 恒成立，则实数k 的取值范围是

2

________．

πx

解析：当0≤x ≤1时，y ＝sin y ＝kx 的图2

象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方，当k ≤0时，y ＝kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方，原不等式成立．

πx

当k >0，kx ≤sin x ∈[0,1]上恒成立，k ≤1即可．

2

πx

故k ≤1时，x ∈[0,1]上恒有sin kx . 答案：k ≤1

2

2π

10．(2009年高考重庆卷) 设函数f (x ) ＝(sinωx＋cos ωx) 2＋2cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为3

π

求ω的值；(2)若函数y ＝g (x ) 的图象是由y ＝f (x ) 的图象向右平移个单位长度得到，求y ＝g (x )

2

的单调增区间．

解：(1)f (x ) ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2

π2π2π3

sin(2ωx＋) ＋2，依题意，得ω＝.

42ω32

ππ5π

(2)依题意，得g (x ) ＝2sin[3(x －) ＋]＋22sin(3x －) ＋2.

244

π5ππ2π27π

由2k π－3x －2k π＋(k ∈Z ) ，解得k πx ≤k π＋(k ∈Z ) ．

24234312

2π27π

故g (x ) 的单调增区间为k π＋k πk ∈Z ) ．

34312

解析：由题意，知f (x ) 3sin x －cos x ＝2(

π

11．(2009年高考陕西卷) 已知函数f (x ) ＝A sin(ωx＋φ) ，x ∈R (其中A >0，ω>0,0

2

2π

为π，且图象上一个最低点为M (，－2) ．

3

π

(1)求f (x ) 的解析式；(2)当x ∈[0时，求f (x ) 的最值．

12

2π2π2π

解：(1)由最低点为M (，－2) 得 A ＝2. 由T ＝π得ω＝＝＝2.

3T π

2π4π4π

由点M (，－2) 在图象上得φ) ＝－2，即sin(φ) ＝－1，

3334ππ11πππ∴＋φ＝2k πk ∈Z ) ，即φ＝2k π－，k ∈Z . 又φ∈(0，) ，∴φ＝ 32626

π

∴f (x ) ＝2sin(2x ＋) ．

6ππππππ

(2)∵x ∈[0，，∴2x []，∴当2x ，即x ＝0时，f (x ) 取得最小值1；当

1266366

πππ

2x ＋，即x ＝时，f (x ) 取得最大值3.

6312

π

12．(2009年高考福建卷) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) ，其中ω>0，|φ|

π3π

(1)若cos cos φ－sin sin φ＝0，求φ的值；

44

π

(2)在(1)的条件下，若函数f (x ) f (x )

3

的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．

π3πππ

解：法一：(1)由cos φ－sin φ＝0得cos cos φ－sin sin φ＝0，

4444

πππ即cos(＋φ) ＝0. 又|φ|

424

πT π2π

(2)由(1)得，f (x ) ＝sin(ωx＋．依题意，，又T ＝ω＝3，

423ω

π

∴f (x ) ＝sin(3x ＋) ．函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为

4

πππ

g (x ) ＝sin[3(x ＋m ) ＋，g (x ) 是偶函数当且仅当3m ＋k π＋(k ∈Z ) ，

442

k πππ即m ＝＋k ∈Z ) ．从而，最小正实数m ＝.

31212

法二：(1)同法一．

πT π2π

(2)由(1)得 ，f (x ) ＝sin(ωx＋．依题意，＝. 又T ＝ω＝3，

423ω

π

∴f (x ) ＝sin(3x ＋) ．

4

π

函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x ) ＝sin[3(x ＋m ) ＋．

4

g (x ) 是偶函数当且仅当g (－x ) ＝g (x ) 对x ∈R 恒成立，

ππ

亦即sin(－3x ＋3m ＝sin(3x ＋3m ＋) 对x ∈R 恒成立．

44ππ

∴sin(－3x )cos(3m ＋＋cos(－3x )·sin(3m ＋44ππ

＝sin3x cos(3m ＋＋cos3x sin(3m ＋) ，

44ππππ

即2sin3x cos(3m ＝0对x ∈R 恒成立．∴cos(3m ＋＝0，故3m ＋＝k π＋k ∈Z ) ，

4442

k πππ∴m (k ∈Z ) ，从而，最小正实数m ＝31212