金融数学引论北大版第4章答案

第四章习题答案

1 现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。

解： 设每个季度还款额是R ，有

Ra (4)

5p 6%

￢ = 1000

解得R ，代入B 2 的表达式

B 2 = Ra (4)

3p 6%

￢

= 635. 32 元

2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。

解：

n =

10000

2000

= 5

B 5 = 10000 × (1 + i ) n − 2000s n p 12% ￢

= 4917. 72 元

3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未 结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。

解： 以季度为时间单位，i = 2. 5% 。

B 0 = B 1 ・ v + 1500a 4p i ￢

= 16514. 4 元

4 某贷款将在15 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个5 年每年底还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。

解： 对现金流重新划分，有

B 7 = 2000a ￢8p + 1000a ￢3p

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5 某贷款将以半年一次的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知 第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。

解： 设原始贷款额为L ，每次还款为R ，以半年为时间单位，有

5000 = Ra 3p 4% ￢

L = Ra 7p 4% ￢

整理得：

L = 5000 ・ a ￢7p

a ￢3p

= 10814. 16 元

6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i ) 4 = 2 ，计算第4 次 还款后的未结贷款余额。

解： 设第4 次还款后的未结贷款余额为L ，每次还款为R ，有

20000 = R ・ a 12p i ￢

L = R ・ a 8p i ￢

把(1 + i ) 4 = 2 代入整理得：

L = 5000 ・ 1 − (1 + i ) −8

1 − (1 + i ) −12

= 17142. 86 元

7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。

解： 设正常每次还款为R ，调整后每次还款X ，以当前时间和第5 年底为比较 日，有

20000 = Ra 2￢0p

Xa 1￢3p ・ v 2 = Ra 1￢5p

整理得：

X = 20000 ・ a 15p ￢

a 2￢0p

・ (1 + i ) 2

a 1￢3p

8 某贷款L 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的 还款中每次多付K 元，结果提前5 年还清贷款。试证明：

K =

a 2￢0p − a 1￢5p

a 2￢5p a ￢5p L

证： 以第20 年年底为比较日，设每次还款为R ，有

L = Ra 2￢5p

Ks ￢5p (1 + i ) 10 = Ra ￢5p

整理即得。

9 设B t 表示未结贷款余额，证明：

(1) (B t − B t +1)(B t +2 − B t +3) = (B t +1 − B t +2) 2;

(2) B t + B t +3

证： (1)

(B t − B t +1)(B t +2 − B t +3) = (

R + B t +1

1 + i

− B t +1) ・ (B t +2 − ((1 + i ) B t +2 − R ))

=

R − iB t +1

1 + i

・ (R − iB t +2)

= (R − iB t +1) ・ R − i ((1 + i ) B t +1 − R )

1 + i

= (R − iB t +1) 2

= (B t +1 − B t +2) 2

(2)

B t − B t +1 = R − iB t

= B t +2 − B t +3

) B t + B t +3

默认每次还款额是相同的！

10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算 第6 次还款中的本金量。

解：

P 6 = B 5 − B 6

= 1000a 20−5p 3% ￢ − 1000a 20−6p 3% ￢

= 1000 × 1. 03−15

= 641. 86 元

11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和) 。 解： 设第t 年支付的利息为I t ，有

I t = iB n +1−t

= ia n +1−￢t p

= 1 − v n +1−t

支付利息的总现值为：

I =

Σn

t =1

I t v t

=

Σn

t =1

(1 − v n +1−t ) v t

= a ￢n p − nv n +1

12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 1000

1 + v 10

元。

此处有改动10000改成1000

证： 设每期还款额为R ，由上题的结论有

I 11 = R (1 − v 10)

=

10000

a 2￢0p (1 − v 10)

= 10000 ・ i

1 + v 10

=

1000

1 + v 10

13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额 最小。

解： 不妨设每次还款额为1。

P t − I t = v n t +1 − (1 − v n −t +1)

= 2v n −t +1 − 1

由

2v n −t +1 − 1 = 0 ⇒ t ≈ 12. 96

验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。

14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算 的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。

解： 以一季度为时间单位，设每次还款额为R ，由题意得

Rv 20−3+1 = 100

⇒ R =

100

v 18

于是最后5 次本金总额为

R (v 1 + ・ ・ ・ + v 5) = 724. 59 元

15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；(2) 第15 次偿还中的本 金量。

解： 设初始贷款量为1 ，每年还款额为R ，有：

1 = Ra 10p i ￢ + Ra 10p j ￢ (1 + i ) −10

) R =

1

a 10p i ￢ + (1 + i ) −10a 10p j ￢

(1) I 5 = iB 4

= iR (a 6p i ￢ + (1 + i ) −6a 10p j ￢ )

(2) P 15 = B 14 − B 15

= Ra 6p j ￢ − Ra 5p j ￢

= R (1 + j ) −6

16 原始本金为A 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还K ，且最后一

次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本 金部分是否为等比数列？

解： 设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为B 。

(1) 利用追溯法可得

B t =

A (1 + i ) t − Ks ￢t p , t

0, t = n

故

P t =

(K − iA )(1 + i ) t −1, t

(k − iA )(1 + i ) n −1 + B, t = n

(2) 显然前n − 1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。

17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7 次正常还款的同时， 额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还款仍然正常进行。（正常 的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还 贷期间节约的利息为1 − v 13 。

证： 在第7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第n + 1 次的还 款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利息量，为1 − v 13 。 18 总量为L 的贷款分10 年偿还，已知v 5 =

2

3

。计算：

(1) 前5 次偿还中的本金之和；

(2) 如果最后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。

解： (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为

R (v 10 + ・ ・ ・ + v 6) = Rv 6 1 − v 5

1 − v

=

L

a 1￢0p

v

1 − v

v 5(1 − v 5)

=

L

1 − v 10 v 5(1 − v 5)

= 0. 4L

(2) 利用追溯法

B 10 = L (1 + i ) 10 − Rs ￢5p (1 + i ) 5

= Lv −10 − L

v −10 − v −5

1 − v 10

= 0. 9L

19 现有35 年贷款按年度偿还。已知第8 次还款中的利息为135 元，第22 次还 款中的利息为108 元，计算第29 次还款中的利息量。

解： 由

I 8 = R (1 − v 28)

I 22 = R (1 − v 14)

⇒

R = 144

v 7 =

1

2

于是

I 29 = R (1 − v 7)

= 144 × 1

2

= 72 元

20 某贷款分n 次等额偿还，实利率为i

次低于原始贷款额的一半。计算K 。

解： 由题意得

L = Ra ￢n p

B k −2 = Ra n −k +￢2p > L

2

B k −1 = Ra n −k +￢1p

L

2

⇒

2v n −k +2 − v n 6 1

2v n −k +1 − v n > 1

故

K = [n + 1 − ln(v n + 1) − ln 2

ln v

] + 1 K 次还款前的未结贷款余额首 ，已知第

其中[x] 表示取整函数。

21 设有年利率2.5%的15000 元贷款，每年偿还1000 元。计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的4 倍

解： 设第k 次还款本金部分最接近利息部分的4 倍。利用追溯法

B k −1 = L (1 + i ) k −1 − Rs k −￢1p

⇒ I k = iB k −1 = iL (1 + i ) k −1 − R [(1 + i ) k −1 − 1]

P k = R − I k = R (1 + i ) k −1 − iL (1 + i ) k −1

再由P k = 4I k 得k ≈ 11。

22 某贷款在每年的2 月1 日等额还贷。已知1989 年2 月1 日的还款中利息为 103.00 元，1990 年2 月1 日的还款中利息为98.00 元，年利率8% 。计算：(1) 1990 年还款中的本金部份；(2) 最后一次不足额还款的日期和金额。 解： (1) 设I n , Pn 为别为n 年的利息部分和本金部分，

I 1990 = I 1989 − iP 1989

⇒ P 1989 = 62. 5

又I 1989 + P 1989 = I 1990 + P 1990

⇒ P 1990 = 67. 5

(2) 利用递推公式容易求得2000 年2 月1 日还款后未结贷款余额为

101.43 元，已经小于165.5 元。同时易得B 1989 = 1225 。设最后一次还 款在2000年2月1日后经过时间t 收回。于是t 满足

1225 = 165. 5

1 − v 11+t

i

⇒ t = 0. 653

故最后一次还款时间为2000 年9 月24 日，金额为165. 5 × 1. 08t −1

0. 08 = 106. 67

元。建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法。

与原答案有出入

23 某贷款通过2n 次偿还。在第n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额 的3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。

解： 由题意得

3

4

L = Ra n p i ￢

L = Ra 2n p i ￢

⇒ v n =

1

3

而I n +1 = R (1 − v n ) ，故利息部分所占的比例是

2

3

。

24 某银行提供月利率1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清， 只需对当时余额多付出K% 。如果某人在第5 年底找到另一家银行提供月利 率0.75% 的10 年贷款，对这个借款人来说K 的最大可接受值为多少？ 解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。

a 120p 0. 75% ￢ = (1 + K %)a 120p 1% ￢

⇒ K = 13. 258%

25 现有10000 元贷款利率10% 。已知借款人以8% 累积偿债基金，第10 年底 的偿债基金余额为5000 元，第11 年的还款金额为1500 元。计算：

(1) 1500 元中的利息量；

(2) 1500 元中的偿债基金存款；

(3) 1500 元中偿还当年利息的部分；

(4) 1500 元中的本金量；

(5) 第11 年底的偿债基金余额。

解： (1) I 11 = 10000 × 10% = 1000 元；

(2) 偿债基金存款额为1500 − 1000 = 500 元；

(3) 也即是计算净利息: 1000 − 5000 × 8% = 600 元；

(4) 本金量1500 − 600 = 900 元；

(5) 11 年底的偿债基金余额5000 × (1 + 8%) + 500 = 5900 元。

26 证明：a n p i &j ￢ =

s n p j ￢

1 + is n p j ￢

。

证： 利用

L = Ra n p i &j ￢

L = (R − iL ) s n p j ￢

消去R 可得

(

L

a n p i &j ￢

− iL ) s n p j ￢ = L

再适当变形便可得结论。

27 现有利率为9%的10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以 利率7%向偿债基金存款K 。如果在第10 年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款。计算K 。

解： 由题意得

K ¨s 10p 7% ￢ = 104

⇒ K = 676. 43

28 现有10 年期贷款年利率5%，每年底还贷1000 元。贷款的一半按摊还方式 进行，另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。

解： 设贷款额为X ，有

X/2 = R 1a 10p 5% ￢

X/2 = R 2a n p 5%&4% ￢

1000 = R 1 + R 2

整理得到

X

2

(

1

a 10p 5% ￢ +

1

a n p 5%&4% ￢ ) = 1000

X = 7610. 48 元

29 为期10 年的12000 元贷款，每半年还款1000 元。已知前5 年以i (2) = 12% 计息，后5 年以i (2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率i (2) = 8% 的偿 债基金。计算第10 年底偿债基金与贷款之间的差额。

解： 前5 年每半年放入偿债基金

1000 − 12000 × 6% = 280

后5 年每半年放入偿债基金

1000 − 12000 × 5% = 400

故第10 年底偿债基金余额为

280s 10p 4% ￢ × (1 + 4%)10 + 400s 10p 4% ￢ = 9778. 6

于是差额为2221.4 元。

30 为期10 年的3000 元贷款，以i (2) = 8% 计息。如果借款人将贷款的1/3 通过 存入利率i (2) = 5% 的偿债基金偿还，剩余的2/3 通过存入利率i (2) = 7% 的 偿债基金偿还。计算每年的还款总额。

解： 设对于1/3 部分贷款每年还款为R 1 ，剩余部分贷款每年还款为R 2 。有 (R 1 − 1000 × 4%)s 20p 2. 5% ￢ = 1000

(R 1 − 2000 × 4%)s 20p 3. 5% ￢ = 2000

分别解得R 1 = 79. 15,R 2 = 150. 72。故每年的总还款额为

R 1 + R 2 = 229. 87 元

31 为期31 年的400000 元贷款, 每年底还款36000 元，若以年利率3%建立偿债 基金。计算原贷款利率。

解： 设原贷款利率就是i 。有

(36000 − 400000i ) s 31p 3% ￢ = 400000

解得i ≈ 7% 。

32 某20 年期末年金，以前10 年利率8%后10 年利率7%计算的现值为10000 元。某投资者以年利率9% 买得该年金，并允许以累积偿债基金的方式收回 这笔资金，偿债基金前10 年利率为6%，后10 年利率为5%。计算偿债基金 的存款额。

解： 设期末年金每年的金额是R ，偿债基金存款额为X ，未结贷款余额为P ，

有

10000 = Ra 10p 8% ￢ + Ra 10p 7% ￢ (1 + 8%)−10

R = X + P × 9%

P = Xs 1￢0p 6%(1 + 5%)10 + Xs 5%￢p

解得：X = 246. 95 元

有待讨论！我们认为年利率9% 就是利率i

33 某n 年期利率为i 的贷款，以利率j 建立偿债基金。试给出以下各问的表达 式(1 6 t 6 n ) ：

(1) 贷方每年得到的利息；

(2) 偿债基金每年的存款额；

(3) 第t 年偿债基金所得利息；

(4) 偿债基金在第t 年底的余额；

(5) 第t 年底的未结贷款余额；

(6) 第t 年支付的净利息；

(7) 第t 年支付的本金。

解： 设贷款额为L 。

(1) 贷方每年得到的利息为iL ；

(2) 由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为

L

s n p j ￢

(3) 偿债基金在t − 1 年末的余额是

L

s n p j ￢ s t −￢1p ，故在第t 年所得利息为

jL

(1 + j ) t −1 − 1

(1 + j ) n − 1

(4) 偿债基金在第t 年底的余额是

L

s n p j ￢ s t p j ￢ = L

(1 + j ) t − 1

(1 + j ) n − 1

(5) 第t 年底的未结贷款余额为

L − L

(1 + j ) t − 1

(1 + j ) n − 1

= L

(1 + j ) n − (1 + j ) t

(1 + j ) n − 1

(6) 第t 年支付的净利息为

iL − jL

(1 + j ) t −1 − 1

(1 + j ) n − 1

(7) 第t 年支付的本金量是第t 年偿债基金所得利息与第t 年存入偿债基金 金额之和，即为

jL

(1 + j ) t −1 − 1

(1 + j ) n − 1

+

L

s n p j ￢ =

j (1 + j ) t −1L

(1 + j ) n − 1

34 为期10 年的100000 元贷款，贷款利率12%，同时以年利率8%建立偿债基 金。已知前5 年还款为K ；后5 年还款为2K 。计算K 。

解： 每年的利息为

100000 × 12% = 12000

故

100000 = (K − 12000) s 5p 8% ￢ (1 + 8%)5 + (2K − 12000) s 5p 8% ￢

解得K = 13454. 36 元。

35 某10000 元贷款以利率i (12) = 15% 按月偿还利息，同时以利率i (12) = 9% 每 月存款100 元累积偿债基金。一旦偿债基金的余额达到10000 元，则结束还 贷。计算借款人总的还款额。

解： 每月还利息为10000 × i (12)

12

= 125 元，于是每月总支出为

100 + 125 = 225

再由

100s n p 7. 5% ￢ > 10000 ⇒ n = 75

但需要注意100s n p 7. 5% ￢ − 10, 000 = 18. 33 ，故最后一个月放入偿债基金的应 是100 − 18. 33 元。

所以总共还款额为

75 × 225 − 18. 33 = 16856. 67 元

36 为期25 年的100000 元贷款，贷款利率12%。如果贷款人从每年的还款中 以年利率i 提取利息，同时将剩余部份以利率j 累积偿债基金。分别对 j = 8%, 12%和16%三种情况计算i 。

解： j = 12%相当于按照摊还方式对应的利率。设每次还款额为R ，于是 R =

L

a 25p 0. 12 ￢

再根据偿债基金的定义有

(R − iL ) s 25p j ￢ = L

解得

i =

1

a 25p 12% ￢

− 1

s 25p j ￢

代入数据便有

(1) j = 8% 时，i = 11. 38%；

(2) j = 12% 时，i = 12%；

(3) j = 16% 时，i = 12. 35%。

37 现有10 年期贷款按月偿还，其中月换算名利率i (12) = 12% ，首次为600 元， 然后每次增加5 元。

(1) 计算原始贷款金额；

(2) 证明：P t = P 1(1 + 0. 01) t −1 + 5s t −1p 1% ￢ 。

解： L = 595s 120p 1% ￢ + 5Ia 120p 1% ￢ = 58490. 89 元；

证： 这个题证明方法不唯一，比如利用递推关系，找规律再用归纳法证明。下面

给出的证明方法是作者认为最简单的。

如果每次还款额是一样的，那么{P t } 呈等比数列，且P t = P 1(1+i ) t −1 。于 是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。下面用B 1

t 表示等额还款时

第t 次的未结贷款余额，B 2

t 表示按题中方式进行还款时第t 次的未结贷款

余额。于是

B 1

t = L (1 + i ) t − 600s t p i ￢

B 2

t = L (1 + i ) t − 600s t p i ￢ − 5Is t −1p i ￢

故

P 2

t

− P 1

t = (B 2

t −1

− B 2

t ) − (B 1

t −1

− B 1

t )

= (B 2

t −1

− B 1

t −1) + (B 1

t

− B 2

t )

= 5(Is t −1p i ￢ − Is t −2p i ￢ )

= 5s t −1p i ￢ (直接带公式化简)

于是

P t = P 1(1 + 0. 01) t −1 + 5s t −1p 1% ￢

38 某帐户现有1000 元存款，每月实利率1%，且月月结算。如果每次恰好在利 息结算的下一个瞬间取出100 元。问：最多可以提取几次？同时给出该帐户 每月余额和利息的列表。

解： 设第t 个月帐户余额为B t ，于是

B t = 1000(1 + i ) t − 100s t p i ￢

容易算得t = 10 时，帐户余额首次低于100 元，故最多能够提取10 次。每 月结余和利息列表如下：

月份利息帐户余额

0 0.00 1000.00

1 10.00 910.00

2 9.10 819.10

3 8.19 727.29

4 7.27 634.56

5 6.35 540.91

6 5.41 446.32

7 4.46 350.78

8 3.51 254.29

9 2.54 156.83

10 1.57 58.40

39 已知某贷款每半年偿还K 元，且三次连续还贷后的贷款余额为：5190.72 ， 5084.68 和4973.66 。计算K 。

解： 利用追溯法可得

5190. 72(1 + i ) − K = 5084. 68

5084. 68(1 + i ) − K = 4973. 66

由此可解得K = 349. 81 元。

40 利率为i 的贷款L ，每次偿还K ，直至最后的不足额(不足金额K )还款。证 明：B t =

K

i

− (

K

i

− L )(1 + i ) t 。

证： 利用追溯法

B t = L (1 + i ) t − Ks t p i ￢

= L (1 + i ) t − K

(1 + i ) t − 1

i

=

K

i

− (

K

i

− L )(1 + i ) t

41 现有1000000 遗产，年投资收益5%。由A ，B 和C 三人继承。A 每年从本金 中得到125000 元，累计5 年；B 每年从本金中得到75000 元，累计5 年；C 每年得到利息。计算三人的遗产继承份额。

解： (1) A 继承遗产的终值为125, 000s 5p 5% ￢ = 690, 703. 91 元；

(2) B 继承遗产的终值为75, 000s 5p 5% ￢ = 414, 422. 34 元；

(3) C 继承遗产的终值为

1, 000, 000(1 + 0. 05) 5 − 125, 000s 5p 5% ￢ − 75, 000s 5p 5% ￢ = 171, 155. 31 元 故三人的遗产继承份额分别为54.12%、32.47%、13.41%。

42 某10 年期年金，每季度500 元，年利率8%。计算10 年间所有的利息收入。 解： 设季实利率为i ，则i 满足(1+i ) 4 = 1+8% 。解得i = 1. 94% 。于是利息收

入为

500s 40p i ￢ − 500 × 40 = 9811. 27 元

43 现有5 年期10000 元贷款，半年换算名利率12%。若在偿还利息之后，借款 人每年年底以年利率8%的存款方式累积贷款本金。计算5 年内的还贷总 额。

解： (1) 每年偿还利息为10, 000 × 12%

2

× 2 = 1200 元。

(2) 每年偿还本金为

10000

s 5p 8% ￢ = 1704. 56 元。故5 年内还贷总额为

(1200 + 1704. 56) × 5 = 14522. 82 元

北京大学数学科学学院金融数学系第17 页

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44 某贷款以每年年底还3000 元偿还，季换算名利率10%。若第3 次还款中的 利息量为2000 元，计算第6 次还款中的本金量。

解： 设等价年实利率为i ，则i = (1 + 10%

4 ) 4 − 1 = 10. 38%。由题意

3000(1 − v n −2) = 2000

解得v n −2 =

1

3

。故第六次还款中的本金为

3000v n −5 = 3000v n −2v −3 = 1344. 84元

45 现有10 年期5000 元贷款，季换算名利率10%。借款人在第10 年底一次性 偿还所有累计利息和本金。为此，以半年换算名利率7%累计偿债基金。计 算偿债基金的每次存款额。

解： 设每次存入偿债基金金额为R ，由题意得

Rs 20p 3. 5% ￢ = 5000(1 + 2. 5%)40

解得R = 474. 73 元。

46 现有3000 元贷款按季度分20 次摊还，第11 次和12 次因故取消。经协商， 摊还从第13 次重新开始，且每次金额为N ，但是第14 ，16 ，18 和20 次的 还款都比正常还款逐次增加40 元。已知半年换算名利率8％，计算N 为多少 方可保证按原计划如期还贷。

解： 设季度实利率为i ，由题意有

3000 = Ra 20p i ￢

(1 + i ) 2 = 1 +

8%

2

Ra 10p i ￢ ・ (1 + i ) 2 = Na 8p i ￢ + 40Ia 4p 4% ￢

⇒

i ≈ 0. 0198

R ≈ 183. 087

N ≈ 185. 08 元

47 设有10 年期贷款，其还款方式为：首次还款全部用于还利息，第2 次还款为 第一次的两倍，第三次还款为第一次的三倍，依次类推。证明：Ia 1￢0p = a ∞￢p 证： 不妨设贷款总额为1 ，利率为i ，则第n 年还款为ni 。于是

1 = iIa 1￢0p

故

Ia 1￢0p =

1

i

= a ∞￢p

北京大学数学科学学院金融数学系第18 页

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48 某贷款分10 次偿还，第1 次还款10 元，第2 次还款9 元，依次类推。证明： 第6次还款中的利息为：(5 − a ￢5p ) 元。

证： 由题意得L = Da 1￢0p 。利用追溯法

B 5 = L (1 + i ) 5 − (5s ￢5p + Da ￢5p )

于是

I 6 = iB 5

= iL (1 + i ) 5 − 5is ￢5p − iDa ￢5p

= (10 − a 1￢0p )(1 + i ) 5 − 5[(1 + i ) 5 − 1] − [5(1 + i ) 5 − s ￢5p ] = 5 − s 1￢0p (1 + i ) 5 + s ￢5p

= 5 − a ￢5p

49 某贷款的偿还方式为：第1 年底200 元，以后每年递增50 元，直至1000 元。 问：如果年利率4% ，第4 次还款中的本金量。

解： 利用预期法可得

B 3 = 300a 14p i ￢ + 50Ia 14p i ￢ = 6795. 18 元

故第4 次还款中的本金量为

350 − iB 3 = 78. 19 元

50 某1000 元贷款，每半年一次分10 次等额偿还本金，同时按照半年换算名利 率6% 偿还利息。为了保证半年换算名利率10% 的收益率，计算该贷款的出 让价格。

解： 设出让价格为P ，

P × (1 +

10%

2

) 10

=

1000

10

・ s 10p 5% ￢ +

1000

10

× 6%

2

× (Da ) 10p 5% ￢

=1480. 45

⇒ P = 908. 87 元

北京大学数学科学学院金融数学系第19 页

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51 现有8000 元20 年期抵押贷款，每半年偿还100 元再加上以利率5% 计算的 贷款余额的利息。在恰好得到第15 次还款后，贷款人转卖了这个贷款，价格 满足：贷款利率为6%，偿债基金利率为4%。假定以上所有利率均为半年换 算名利率。证明：

(1) 如果每半年的净回报相等，贷款转让价格为

75s 25p 2% ￢ + 6250

1 + 0. 03s 25p 2% ￢

元= 4412 元；

(2) 如果每半年的偿债基金的存款额相同，则转让价格为

s 25p 2% ￢

0. 03a 25p 3% ￢

a 25p 3% ￢ + 125

1 + 0. 03s 25p 2% ￢

元= 4453 元

证：

52 设有利率10%的2000 元贷款，其还贷方式为：第一年底400 元，然后按4%的

比例递增，最后一次将小量余额付清。计算

(1) 计算第3 年底的未结贷款余额；

(2) 计算第3 次偿还中的本金量。

解： 做摊还表。

次数利息部分还款额本金部分未结贷款余额

1 200 400 200 1800

2 180 416 236 1564

3 156.40 432.64 276.24 1287.76

53 两笔30 年等额贷款都以4%利率偿还。甲每年等额偿还；乙每年的还款中的 本金量为常数，利息按摊还方式。计算甲的还款额首次超过乙的时刻。 解： 设贷款总额为1 ，甲乙每年的还款额分别为R 甲,R 乙,n

R 甲a 30p 4% ￢ = 1

R 乙,n =

1

30

+

31 − n

30

× 4%

解R 甲> R乙,n 得

n > 12. 6

所以，甲的还款额在第13 次首次超过乙。

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54 甲以实利率i 投资。其中第1 年底取出利息收入的162.5%，第2 年底取出利 息收入的325%，依此类推。已知在第16 年底原始投资资金全部收回。计算 i 。

依此类推，有歧义，加上“第3 年底取出利息收入的487.5%”

解： 考虑最后一年，设第15 年底未结余额为1 ，第16 年底取出利息收入i 的 162. 5 × 15 ，于是

1 + i = 162. 5% × 15i

解得：

i = 4. 28%

55 贷款额为a ˉ2￢5p 的贷款以连续年金方式偿还，连续偿还函数为1 ，期限为25

年。如果：i = 0. 05，计算第6 年到第10 年间的偿还利息总额。

与原答案有出入

解： 记利息力为δ

I =

∫ 10

6

δ ・

∫ 25

t

v s −t d s d t

=

∫ 10

6

(1 − v 25−t ) ・ δ

ln v

dt

=4 +

v 15 − v 19

ln v

=2. 25204

56 证明：(1 + i ) t − s ˉt p ￢

a ˉn −￢t p =

a ˉ￢n p

a ˉn −￢t p

证： 两边同时乘a ˉ￢n p ，移项得：

(1 + i ) t a ˉ￢n p = a ˉn −￢t p + s ˉ￢t p

左边(1 + i ) t a ˉ￢n p 为n 期标准连续年金在t 期期末的现值

右边a ˉn −￢t p + s ˉ￢t p 是n 期标准连续年金前t 期与后n-t 期在t 期期末的现值

之和。于是得证。

北京大学数学科学学院金融数学系第21 页

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57 设有连续方式偿还的n 年期贷款，时刻t 的偿还额为t 。给出未结贷款余额 的计算式。

解：

B k =

∫ n

k

tv t −k dt

=

∫ n

tv t −k dt −

∫ k

t (1 + i ) k −t dt

= (1 + i ) k (I ˉa ˉ) ￢n p − (I ˉs ˉ) ￢k p ne −n δ

δ(ln n + 1)

− se −s δ

δ(ln s + 1)

或者

B k =

∫ n

k

tv t −k dt

=

∫ n −k

(t + k ) v t dt = (I ˉa ˉ) n −￢k p + ka ˉn −￢k p

58 现有连续方式偿还的10 年期贷款，其贷款余额呈线性变化。已知连续利率 为10%。计算：

(1) 前5 年偿还的本金总额；(2) 前5 年偿还的利息总额。

解： 设贷款总余额1

(1) −dB t = d (1 − t

10

) =

1

10

，所以前5 年偿还的本金总额为

1

2

(2) 前5 年偿还的利息总额I 为：

∫ 5

iB t dt

=10% × (5 − 25

20

) = 0. 375

59 已知某保险赔偿方式为：截至索赔发生后t 时刻的未赔偿额为αe −βt 。求

连续赔偿函数；

(2) 索赔发生时的未赔偿额；

(3) 如果连续利率为α ，计算所有未赔偿额在时刻t 的现值。

解： (1) P (t ) = −dB t = αβe −βt

(2) 把t = 0 代入得：B 0 = α

北京大学数学科学学院金融数学系第22 页

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(3)

∫ ∞

t

P t e −δs ds

=

∫ ∞

t

αβe −(δ+β) s ds

=

αβ (1)

β + s

e −βt

60 现有2000 元贷款是通过每季度偿还P 元进行还贷。贷款方要求对未结贷款 余额中低于500元的部分按利率i (4)

1 = 16% 计息，对超过500元的部分按利

率i (14)

2 = 14% 计息，如果已知第一年底的余额为1000 元，计算P 。

0 1 2 3 4

P P P P

500

1500

i (4)

1

i (4)

2

解: 注意到在第一年中余额都在500 元以上，所以把2000(= 1500 + 500) 元拆 成

两个现金流，于是以第一年底为比较日，有

500 × (1 +

i (4)

1

4

) 4 + 1500 × (1 +

i (4)

2

4

) 4 − P ・ s 4p 3. 5% ￢ = 1000

解得P = 309. 9 元

61 设有按季度分期偿还的1000 元贷款，每次还款100 元，不足部分的余额最后 一次付清。贷款方要求对未结贷款余额中低于500 元的部分利率i (4) = 12% 计息，对超过500元的部分利率i (4) = 8% 计息。

(1) 计算第4 次还款中的本金；

(2) 证明：在未结贷款余额达到500 元之前，每次的本金量加上一个常数后 形成等比数列，即

P t +1 + K

P t + K

= 1 + j , t = 1, 2, . . . , n − 1

北京大学数学科学学院金融数学系第23 页

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并计算K 和j 。

解: 注意到4 次还款后余额还在500 元以上，所以可以分成两个现金流 500 × 12%

4

= 15 元

100 − 15 = 85 元

500 × (1 +

8%

4

) 3 − 85 × s 3p 2% ￢ = 270. 47 元

100 − 15 − 270. 47 × 8%

4

= 79. 59 元

证: 由上面的分析有

B n = 500 + 500 × (1 +

8%

4

) n − 85 × s n p 2% ￢

P n = 100 − ((B n −1 − 500) × 2% + 500 × 3%)

= 100 − ((500 × 1. 02n −1 − 85 × 1. 02n −1 − 1

0. 02

) × 2% + 15)

= 75 × 1. 02n −1

因此K = 0 , j = 2%

默认：期末，好像算得有问题....

62 某3000 元贷款要求在一年内逐月分期偿还。对未结贷款余额在1000 元以下 的部分以月利率1.5% 计息；对未结贷款余额在1000 元到2000 元之间的部 分以月利率1.25% 计息；对未结贷款余额在2000 元到3000 元之间的部分以 月利率1% 计息。计算每次的还款金额。

解: 若都是按1.5% 收利息，则每次的应还款是

3000

a 12p 1. 5% ￢ = 275. 04

若都是按1% 收利息，则每次的应还款是

3000

a 12p 1% ￢ = 266. 55

北京大学数学科学学院金融数学系第24 页

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因此，所求应在266.55 和275.04 之间。

由此，可以推断出在第4 次还款后余额第一次在2000 元以下，第9 次还款 后余额第一次在1000 元以下。

设每次的还款额是X 元。第四次还款后的余额为

B 4 = 2000 + 1000 × (1 + 1%)4

− (X − (1000 × 1. 5% + 1000 × 1. 25%)) × s 4p 1% ￢

= 3152. 27 − 4. 0604X

第八次还款后的余额为

B 8 = 1000 + (B 4 − 1000) × (1 + 1. 25%)4

− (X − 1000 × 1. 5%) × s 4p 1. 25% ￢

= 3323. 05 − 8. 34289X

B 8 = Xa 4p 1. 5% ￢ = 3. 85438X

联立解得

X = 272. 44 元

63 证明等式，并解释其含义：a ￢n p + i

Σn −1

i =0 a n −￢t p = n.

证: 等式左边是一个n 期的标准期末年金的初值和n 个分别是n, n − 1, . . . , 1 的

期末年金的和，如图所示。

0 1 2 3 . . . . . 7

1 1 1 . . . . . 1

i i i . . . . . i

. . . . .

i i

i

1 1 1 . . . . . 1

ni (n − 1) i . . . . . i

可以对现金流重新划分，如上所示。考虑初始值为n ，利息为i 的摊还表，刚好如

上：第一行、第二行分别是每次摊还的本金和利息。所以等式得证。 北京大学数学科学学院金融数学系第25 页

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64 某遗产恰好可以以年利率3.5%每年得到10000 元，累计10 年。已知在过去 的5 年中按计划实施，但是实际的年收益率为5%。问：第5 年底遗产本身多 收入多少利息。

解: 设遗产期初的现值为X 。有:

X = 10000 × a 10p 3. 5% ￢ = 83166. 05

第5 年底的遗产本身应收入的利息为:

I = 3. 5% × 10000 × (a 1￢0p + a ￢9p + a ￢8p + a ￢7p + a ￢6p ) = 11984. 47元 第5 年底的遗产本身实际收入的利息为:

I = 5% × (B 0 + B 1 + B 2 + B 3 + B 4)

= 5% × (X + (1 + 5%)X − 10000

+ (1 + 5%)2X − 10000 × s 2p 5% ￢

+ (1 + 5%)3X − 10000 × s 3p 5% ￢

+ (1 + 5%)4X − 10000 × s 4p 5% ￢ )

= 17720. 93 元

第5 年底多收入的利息为

17720. 93 − 11984. 47 = 5736. 46 元

65 某人在银行存入10 年定期存款，计划10 年底连本带利取出10000 元，年利 率5% 在第5 年底银行下调利率为4%。分别计算前5 年和后5 年每年的存 款额。

解: 设前5 年和后5 年每年的存款额分别为R 1,R 2 。

R 1 s 10p 5% ￢ = 10000

R 1 s 5p 5% ￢ (1 + 4%)5 + R 2 s 5p 4% ￢ = 10000

北京大学数学科学学院金融数学系第26 页

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解得:

R 1 = 795. 05 元

R 2 = 859. 46 元

66 某企业当前产品的月产量为9000 个单位，单位售价为85 元。现有一种新产 品开发计划：初始贷款1500000 元（每月付利息1.5%，本金40 个月后一次 还清），然后每月成本为15816 元，新产品的设计月产量为12000 个单位。如 果该企业有能力以月利率1%累计偿债基金。企业希望新产品月利润超过老 产品30000 元，且单位价格下降X ，计算X 。

解： 有方程

9000×85+30000 = 12000×(85−X ) −1500000×1. 5%−15816− 1500000 s 40p 1% ￢

解得：X = 13

67 年利率8%的20 年期贷款，因故未能在第6 ，7 和8 年底进行正常还贷。作 为补偿，要求在第9 和20 年底多还X 元。计算这种情况与正常还贷的利息 差。

解： 讨论，利息差是指什么？2X-3R?

有X 与R 的关系

R (v 6 + v 7 + v 8) = X (v 9 + v 20)

利息差就是

2X − 3R = (2 − 3

v 4 + v 15

a ￢3p ) X

68 利率为i 的贷款L ，分n 次偿还，还款额分别为K 1,K 2, ・ ・ ・ ,K n 偿还。在每

次偿还中需要以税率r 付利息税。试说明：贷款人得到的税后还款的现值相 当于以利率i (1 − r ) 提供的贷款。

解： 见书上P 133例4.15。

北京大学数学科学学院金融数学系第27 页

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69 某人准备以200000 元出售住房，购房者首次只能付100000 元，余款由银行 月利率1.25% 贷款偿还。这时售房者可以提供月利率1% 的25 年贷款，条件 是3 年后购房者必须自融资当时的贷款余额。双方达成协议后，售房者以月 收益率1.25% 将三年的贷款转卖给中介人。问：售房者的实际售房收入。

解： 设售房者提供的贷款每月偿还的金额为R ，售房者与中介成交的价格为P 。 100000 + Ra 300p 1% ￢ = 200000

解得：R = 1053. 22 元。

X = Ra 264p 1% ￢ = 97706. 9

P = Ra 36p 1. 25% ￢ = 30382. 5

售房收入

X (1 + i ) −36 + 100000 + P = 192857. 19元

70 现有10 年期1000 元贷款，利率5% ，且如果借方加快还贷，每次还款中超过 原计划的部分必须收2%的附加利息。如果借款人第一年底还款300 元，第 二年底还款250 元，计算第3 年还款未进行之前的未结贷款余额。

解： 设每年计划还款为R

Ra 10p 5% ￢ = 1000

解得：R = 129. 50 ，列表一年一年的推算

时间(期末) 计划还款额实际还款额超计划部分未结余额

0 1000

1 129.50 300 170.5 753.41

2 129.50 250 120.5 543.49

第5 年还款未进行之前的未结贷款余额为543. 49 × 1. 05 = 570. 66 元。 北京大学数学科学学院金融数学系第28 页

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71 现有7000 元贷款月换算名利率8%的还贷计划如下：从第一个月底开始分 60 次等额还清。另外有一个还款方式：从第15 个月底开始按月还贷，月还 款额不变，然后在第60 次还款时，将余额一次还清。计算第60 次还款的金 额。

建议：另外有一个还款方式：正常还款从第15 次开始，在第60 次还款时将余额 一次还清；PS ：结果有出入

解： 设月还款额为R ，第二种还款方式第60 次还款金额为X+R，有

7000 = Ra 60p 8%

12

￢

7000 = Ra 60p 8%

12

￢ − Ra 14p 8%

12

￢ + Xv 60

⇒

R = 141. 93

X = 2817. 55

所以，第60 次还款为2959.48 元。

72 某公司可提供以下方式的贷款：借款人以年支付500 元的速度连续地支付利 息，此外，在第3、4 或5 年底一次性偿还10000 元。如果可接受的贷款年利 率为10% ，问：最多可以从该公司得到多少贷款？

贷款的期限要说明白，连续的支付利息的意思要解释

解：

73 年实利率5% 的贷款可以选择以下两种还贷方式：方式一，每年等额还贷20 次还清；方式二，每年的还款中本金量相同，利息量为未结贷款余额的应计

利息。问：第几次还款时方式一的年还款额首次超过方式二的年还款额。 解： 设本金为1 ，

R 1a 20p 5% ￢ = 1

R 2,n =

1

20

+

21 − n

20

・ 5%

R 1 > R2,n

=

0. 05

1 − 1. 05−20 >

1

20

+

21 − n

400

⇒n > 8. 9

第9 次还款时方式一的年还款额首次超过方式二的年还款额。

北京大学数学科学学院金融数学系第29 页______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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