小学数学三到六年级知识点汇总
人教版小学数学三年级下册【知识点】总复习
第一单元 位置与方向
1、东与西相对,南与北相对。按顺时针方向转:东→南→西→北。 2、地图通常是按上北下南,左西右东绘制的。
3、八个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。
第二单元 除数是一位数的除法
1、笔算除法顺序:确定商的位数,试商,检查,验算。
2、基本规律:(除数是一位,先看前一位,一位不够看两位,除到哪位商哪位。除后要比较,余数
要比除数小)
(1)从高位除起,除到哪一位,就把商写在那一位;
(2)三位数除以一位数时百位上够除,商就是三位数;百位上不够除,商就是两位数;(最高
位不够除,就看两位上商。)
(3)哪一位有余数,就和后面一位上的数合起来再除;
(4)哪一位上不够商1,就添0占位;每一次除得的余数一定要比除数小。 3、除法用乘法来验算
没有余数的除法: 有余数的除法: 被除数÷除数=商 被除数÷除数=商„„余数 商×除数=被除数 商×除数+余数=被除数 4、0除以任何数(0除外)都等于0,0乘以任何数都得0, 0加任何数都得任何数本身,任何数减0都得任何数本身。 5、加一份和减一份的余数问题
例1:38个去划船,每条船限坐4个,一共要几条船?
38÷4=9(条)„„2(人) 余下的2人也要1条船, 9+1=10条。 答:一共要10条船。
例2:做一件成人衣服要3米布,现在有17米布,能做几件成人衣服? 17÷3=5(件)„„2(米) 余下的2米布不能做一件成人衣服 答:能做5件成人衣服。
第三单元 统计
1、求平均数公式:总和÷份数=平均数
总数÷平均数=份数 平均数×份数=总和
2、平均数能较好地反映一组数据的总体情况
3、通常条形统计图能描述一组数据中不同样本之间的差异,
折线统计图能描述一组数据的变化趋势,扇形统计图能描述一组数据占总体的百分比。 4、条形统计图中,一定要看清楚一格表是多少个单位,是表示1、2、5、10或更多单位。
第四单元 年、月、日
1、重要日子:1949年10月1日, 中华人民共和国成立;
1月1日元旦节; 3月12日植树节; 5月1日劳动节; 6月1日儿童节; 7月1日建党节; 8月1日建军节; 9月10日教师节; 10月1日国庆节。
2、一年有十二个月,1、3、5、7、8、10、12 这七个月是31天, 4、6、9、11这四个月是30天, 平年2月是28天,闰年2月是29天,平年全年有365天,闰年全年有366天。 3、一年分四季,每3个月为一季; 一、二、三月是第一季度,
四、五、六月是第二季度, 七、八、九月是第三季度, 十、十一、十二是第四季度。
4、公历年份是4的倍数一般都是闰年,但公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。如1900年不是闰年而是平年,而2000年是闰年。
5、推算星期几的方法 例:已知今天星期三,再过50天星期几?
解析:因为一个星期是七天,那么由50÷7=7(星期)„„1(天),知道50天里有7个星期多一天,所以第50天是星期四。 6、24时表示法:超过下午1时的时刻用24时计时法表示就是把原来的时刻加上12。反过来要把
24时计时法表示的时刻表示成普通计时法的时刻,超过13时的时刻就减12,并加上下午、晚上等字在时刻前面。比如下午3时→3+12=15时, 16时:16-12=下午4时。
5、时间段的计算:就是用结束时刻减开始时刻。比如10:00开始营业,22:00结束营业,营业时
间为:22:00—10:00=12(小时) 结束时刻—开始时刻=时间段 6、常用的时间单位有:年、月、日、时、分、秒。
7、时间单位进率:1世纪=100年,1年=12个月,1日=24小时,1小时=60分钟,1分钟=60秒钟
第五单元 两位数乘两位数
1、口算乘法:整十、整百的数相乘,只需把0前面的数字相乘,再看两个因数一共有几个0,就
在结果后面添上几个0。
如:30×500=15000 可以这样想,3×5=15,两个因数一共有3个0,在所得结果15后面添上3个0就得到
30×500=15000
2、笔算乘法:先把第一个因数同第二个因数个位上的数相乘,再与第二个因数十位上的数相乘(积
与十位对齐),最后把两个积加起来。 3、几个特殊数:25×4=100 , 125×8=1000 4、相关公式: 因数×因数 = 积
积÷因数 = 另一个因数
第六单元 面积
1.物体的表面或封闭图形的大小,就是它们的面积。封闭图形一周的长度,是它的周长。 2.比较两个图形面积的大小,要用统一的面积单位来测量。 3.①边长1厘米的正方形,面积是1平方厘米;
②边长1分米的正方形,面积是1平方分米。 ③边长1米的正方形,面积是1平方米。
4.长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长
长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4
已知长方形的面积求长:长=面积÷宽 已知正方形的周长求边长:边长=面积÷4 已知长方形的周长求长:长=周长÷2-宽
5.面积单位之间的进率 长度单位之间的进率
1平方分米=100平方厘米 1分米=10厘米 1平方米 =100平方分米 1米=10分米 1公顷=10000平方米 1千米=1000米 1平方千米=100公顷
6.周长相等的两个长方形,面积不一定相等。面积相等的两个长方形,周长也不一定相等。
第七单元 小数的初步认识
1、把单位“1”平均分成10份,每份是它的十分之一,也就是0. 1。
2、比较两个小数的大小,先比较小数的整数部分,整数部分大的数就大,如果整数部分相同就比
较小数的小数部分,小数部分要从小数点后最高位比起。 3、计算小数加、减法时,一定要先把小数点对齐再相加、减。
第八单元 解决问题
目标:进一步经历解决问题的过程,熟练应用两步计算解决问题。感受解决问题的策略多样化。
正确分析数量关系,明确解决问题的思考过程。
1. 用乘法计算的两步应用题,也就是我们常说的连乘应用题,它可以用两种思路来解答; 如课本99页例题1,可以先求3个方阵一共有多少行,也可以先求一个方阵有多少人,每一步都用乘法计算。
2. 用除法计算的两步应用题,也就是我们常说的连除应用题,它也可以用两种思路来解答; 如课本100页的例题2,可以先求一个大圈的人数,再求出问题所问,这种思路的每一步都用除法计算;也可以先求一共有多少个小圈,而这一步是用乘法计算,第二步再用除法计算。 3. 另外还有乘加、乘减应用题,这类应用题没有固定的模式,需要具体问题具体分析; 具体分析方法可参考数学大本34页的分析方法。
4. 解答应用题不管有几种思路,都要明白每种思路的第一步求的是什么,第二步又要求什么, 只有这样才算真正明白了题意。
第九单元 数学广角
目标:1、体会【集合】的数学思想方法。集合理论是数学的基础。
分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。 两个圆是【集合圈】
2.体会【等量代换】数学的思想方法。
它是数学中一种基本的思想方法。
等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么a=c。
四(下)复习资料1
班级: 姓名: 学号:
第1单元 四则运算 1、运算顺序
P5:在没有括号的算式里,如果只有加、减法或者只有乘、除法,都要计算。 例如:98-46+25 6÷3×98 = =
= =
P6:在没有括号的算式里,有乘、除法和加、减法,要先算。 例如:36+64÷4 = =
P11:算式里有括号的,要先算。 例如:100÷(4+21) = =
2、P12:、、和统称四则运算。
3、P13:有关0的运算
一个数与0相加,还得这个数。 一个数减去0,还得这个数。 一个数与0相乘,得0。 0除以一个数,得0。
0不能做除数,例如5÷0 是不存在,没有意义的。 4、四则混合运算方法
一看(看数字,运算符号,想想运算顺序是什么。)
二画(画线,哪一步先算,就在哪一步的下面画一条横线,没有计算的要照抄下来。) 三算(按照运算顺序计算)
四检验(检验运算顺序是否错误,计算是否算错。)
第3单元 运算定律与简便计算
特别注意:乘法结合律与乘法分配律的区别
例如:125×(8×20) 125×(8+20) = = = = = = 2、运算性质
连减的性质:一个数连续减去两个数,可以减去这两个数的和。 公式:a-b-c=a-(b+c)
举例:128-57-43=128-(57+43) 记忆:减变,加不变
连除的性质:一个数连续除以两个数,可以除以这两个数的积 公式:a ÷b ÷c=a÷(b ×c )
举例:2000÷125÷8=2000÷(125×8) 记忆:除变,乘不变
3、两个数相乘,可以将其中一个数进行拆分,再简便计算。 例如:72×125 23×99
=(9×8)×125 =23×(100-1) =9×(8×125) =23×100-23×1 =9×1000 =2300-23
=9000 =2277 第6单元 小数的加法与减法 1、小数的加减法方法
① 相同数位要对齐,也就是要对齐。
② 从最低位算起,哪一位相加满10,向前一位进1;哪一位不够减,向前一位借1。 ③不够位时,用0占位。 例如:8-2.49
2、小数的混合运算和简便计算
小数的加减法的混合运算与整数的混合运算一样。
小数的简便计算与整数的简便计算一样,都是运用交换律和结合律进行简便计算。 4单元 小数的意义与性质
1
1、小数的意义:把一个物体平均分成10份,100份,1000份、、、,每一份占其中的,,1000、、、
P51:分母是10的分数可以写成一位小数,分母是100的分数可以写成两位小数,分母是1000的分数可以写成三位小数、、、
小数的计数单位是十分之一,百分之一,千分之一、、、,分别写作0.1,0.01,0.001、、、 每相邻两个计数单位之间的进率是 。 2、小数的数位顺序表
P52:小数由、和组成。
2.309 ,2在位,表示个,3在
9在位,表示个。 3、P53:小数的读写
① 先读(写)整数部分,按照整数的读(写)法来读(写)。 ②再读(写)小数点
③最后读(写)小数部分,依次读(写)出每一位上的数字。 注意:小数部分有几个0就要读几个零,小数末尾的0也要读出。
例如:20.040 读作: ,四百零七点零七 写作: 。
4、P58:小数的性质: 5、P60:小数的大小比较
①先看整数部分,整数部分大的那个数就大。
②如果整数部分相同,就看十分位,十分位大的那个数就大。
③如果十分位还相同,再看百分位,直到比较出两个小数的大小为止。。。 注意:数位不够,用0占位。
例如:8.11 ○ 8.101
6、P61:小数点位置移动引起的大小变化
小数点向右移动一位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 小数点向右移动两位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 小数点向右移动三位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 小数点向左移动一位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 小数点向左移动两位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 小数点向左移动三位,小数就 到原来的 倍,也就是 , 例如:
7、P68:名数的改写 (单位换算+题组练习) 8、P73:求一个小数的近似数
求近似数时,保留整数表示精确到位;保留两位小数表示精确到 位。
注意,在表示近似数时,小数末尾的0不能省略。
求小数的近似数与求整数的近似数类似,都是用法。 例如:8.392≈ (精确到百分位)
P74:改写成以“万”或“亿”作单位的数 ①先分级,从个位起,每四个数位为一级。
②在万(亿)位的右边点上小数点,在数的后面加上万(亿)字,求出精确数。 ③再按要求求出近似数。最后注意带上单位。 例如:保留一位小数:6 4850 0000 =
≈
11
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15、
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20
六年级下册知识点
一 负数
1、负数的由来:
2
为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出„„),光有学过的0 1 3.4 „„是远远不够的。
5所以出现了负数,以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负 2、负数:小于0的数叫负数(不包括0),数轴上0左边的数叫做负数。
若一个数小于0,则称它是一个负数。负数有无数个,其中有(负整数,负分数和负小数) 2
负数的写法:数字前面 加负号“-”号, 不可以省略 例如:-2,-5.33,-45,-
5
3、正数:大于0的数叫正数(不包括0),数轴上0右边的数叫做正数
若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个,其中有(正整数,正分数和正小数) 2
正数的写法:数字前面可以加正号“+”号,也可以省略不写。例如:+2,5.33,+45
54、
负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小,正数都比负数大 5、数轴:
6、比较两数的大小:
①利用数轴: 负数<0<正数 或 左边<右边
②利用正负数含义:正数之间比较大小,数字大的就大,数字小的就小。负数之间比较大小,数字大的反而小,1111
数字小的反而大 > - <-
3636
二 百分数(二)
(一)、折扣和成数
1、折扣:用于商品,现价是原价的百分之几,叫做折扣。通称“打折”。
86.565
几折就是十分之几,也就是百分之几十。例如八折= =80﹪,六折五= ==65﹪
1010100解决打折的问题,关键是先将打的折数转化为百分数或分数,
然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答 商品现在打八折 :现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五:现在的售价是原价的65﹪ 2、成数:
18.585
几成就是十分之几,也就是百分之几十。例如一成= =10﹪,八成五= ==80﹪
1010100
解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数或分数,
然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答 这次衣服的进价增加一成 :这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪ (二)、税率和利率 1、税率
(1)纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
(2)纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。
(3)应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。
(4)税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
(5)应纳税额的计算方法: 应纳税额=总收入×税率 收入额=应纳税额÷税率 2、利率
(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
(2)储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。 (3)本金:存入银行的钱叫做本金。
(4)利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。 (5)利率:利息与本金的比值叫做利率。
(6)利息的计算公式:利息=本金×利率×时间 利率=利息÷时间÷本金×100% (7)注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:
税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率) 税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略:
估计费用:根据实际的问题,选择合理的估算策略,进行估算。
购物策略:根据实际需要,对常见的几种优惠策略加以分析和比较,并能够最终选择最为优惠的方案 学后反思:做事情运用策略的好处
三 圆柱和圆锥
一、圆柱
1、圆柱的形成:圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。(两种方式:1. 以长方形的长为底面周长,宽为高;2. 以长方形的宽为底面周长,长为高。其中,第一种方式得到的圆柱体体积较大。)
2、圆柱的高是两个底面之间的距离,一个圆柱有无数条高,他们的数值是相等的 3、圆柱的特征:
(1)底面的特征:圆柱的底面是完全相等的两个圆。
(2)侧面的特征:圆柱的侧面是一个曲面。 (3)高的特征 :圆柱有无数条高
4、圆柱的切割:①横切:切面是圆,表面积增加2倍底面积,即S 增 =2πr ²
②竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2R,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S 增=4rh
5、圆柱的侧面展开图:①沿着高展开,展开图形是长方形,如果h=2πr ,展开图形为正方形 ②不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形 ③无论怎么展开都得不到梯形 6、圆柱的相关计算公式:底面积 :S 底=πr ²
底面周长:C 底=πd=2πr 侧面积 :S 侧=2πrh
表面积 :S 表=2S底+S侧=2πr ²+2πrh 体积 :V 柱=πr ²h
考试常见题型:①已知圆柱的底面积和高, 求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面周长
②已知圆柱的底面周长和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积,底面积 ③已知圆柱的底面周长和体积,求圆柱的侧面积,表面积,高,底面积 ④已知圆柱的底面面积和高,求圆柱的侧面积,表面积,体积
⑤已知圆柱的侧面积和高, 求圆柱的底面半径,表面积,体积,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆柱的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算
无盖水桶的表面积 =侧面积+一个底面积 油桶的表面积 =侧面积+两个底面积 烟囱通风管的表面积=侧面积
只求侧面积:灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装 侧面积+一个底面积:玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池 侧面积+两个底面积:油桶、米桶、罐桶类
二、圆锥
1、圆柱的形成:圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的 圆锥也可以由扇形卷曲而得到
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离,与圆柱不同,圆锥只有一条高 3、圆锥的特征:
(1)底面的特征:圆锥的底面一个圆。 (2)侧面的特征:圆锥的侧面是一个曲面。 (3)高的特征 :圆锥有一条高。 4、圆柱的切割:①横切:切面是圆
②竖切(过顶点和直径直径):切面是等腰三角形,该等腰三角形的高是圆锥的高,底是圆锥的
底面直径,面积增加两个等腰三角形的面积, 即S 增=2rh
5、圆锥的相关计算公式:底面积 :S 底=πr ²
底面周长:C 底=πd=2πr
1
体积 :V 锥= πr ²h
3
考试常见题型:①已知圆锥的底面积和高,求体积,底面周长
②已知圆锥的底面周长和高,求圆锥的体积,底面积
③已知圆锥的底面周长和体积,求圆锥的高,底面积
以上几种常见题型的解题方法,通常是求出圆锥的底面半径和高,再根据圆柱的相关计算公式进行计算 三、圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高,圆柱的体积是圆锥的3倍。 2、圆柱与圆锥等底等体积,圆锥的高是圆柱的3倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积,圆锥的底面积(注意:是底面积而不是底面半径) 是圆柱的3倍。 2
4、圆柱与圆锥等底等高 Sh
3
题型总结
①直接利用公式:分析清楚求的的是表面积,侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱(或两个圆锥) 半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之比
②圆柱与圆锥关系的转换:包括削成最大体积的问题(正方体,长方体与圆柱圆锥之间)
③横截面的问题
④浸水体积问题:(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积,等于盛水容积的底面积乘以上升的高度) 容积
是圆柱或长方体,正方体
⑤等体积转换问题:一个圆柱融化后做成圆锥,或圆柱中的溶液倒入圆锥,都是体积不变的 问题,注意不要乘
1以 3
四、典型题:
1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形,它的高是底面直径的π倍, 即h=C=πd, 它的侧面积是S 侧=h ²
2、圆柱的底面半径扩大2倍,高不变,表面积扩大2倍,体积扩大4倍。
3、圆柱的底面半径扩大2倍,高也扩大2倍,表面积扩大4倍,体积扩大8倍。 4、圆柱的底面半径扩大3倍,高缩小3倍,表面积不变,体积扩大3倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是48立方厘米,这个圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,一共4份,题目中说了4份的和一共是48立方厘米。 圆锥占了4份中的1份,圆柱占了4份中的3份
1
V 锥:48÷4=12(立方厘米) 或 48=12(立方厘米)
43
V 柱:48÷4=12(立方厘米) 12×3=36(立方厘米) 或 48× =36(立方厘米)
4
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是24立方分米,这个圆柱的体积是( )立方分米,圆锥的体积是( )立方分米。
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是1 :3,圆柱占1份,圆锥占3份,1份和3份相差了2份,题目中说了相差24立方分米,2份就是24立方分米
圆锥占了2份中的1份,圆柱占了2份中的3份
1
V 锥:24÷2=12(立方分米) 或24×=12(立方分米)
2
3
V 柱:24÷2=12(立方分米) 12×3=36(立方分米) 或 24× =36(立方分米)
2
7、一个圆柱和一个圆锥,体积相等,底面积也相等,圆柱的高是2厘米,圆锥的高是( )厘米。 V 柱=V 锥 V 柱=V 锥
11
S 柱底h 柱= S 锥底h 锥 S 柱底h 柱= S 锥底h 锥
3311
h 柱= h 锥 S 柱底= S 锥底
3311
2= h 锥 4 = S 锥底
3311
h 锥= 2S 锥底= 4÷
33 h 锥=6 S 锥底=12
8、一个圆柱和一个圆锥体积相等,高也相等,圆柱的底面积是4平方分米,圆锥的底面积是( )平方分米。
9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等,体积的比是1:6。如果圆锥的高是3.6厘米,圆柱的高是( )厘米,如果圆柱的高是3.6厘米,圆锥的高是( )厘米。
1
S 锥底h 锥 3
1
1 S 锥底h 锥
3
1
S 柱底h 柱 6 S 柱底h 柱 6
1
h 锥 3
1
1 h 锥 1
3
h柱 6 h 柱 6
h 柱×1 = 3 ×h 锥×6 h 柱3×h 锥×6 h 柱 = 3×3.6×6 h 柱÷3 ÷6 = h 锥
1
h 柱 = 7.2 3.6÷6 = h 锥
3
1
1
11
10、一个圆柱体,把它的高截短3厘米,它的底面积减少94.2平方厘米,这个圆柱的体积减少了( )立方
厘米。πr ²
C=S侧÷h r=C÷π÷2 V=πr ²h
=94.2÷3 =31.4÷3.14÷2 =3.14×5×3 =31.4(厘米) =5(厘米) =235.5(立方厘米)
四 比例
1、比的意义
(1)两个数相除又叫做两个数的比
(2)“:”是比号,读作“比”。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
(3)同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。 (4)比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。 (5)比的后项不能是零。
(6)根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。 2、比的基本性质:比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。 3、求比值和化简比:求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。 4、按比例分配:
在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。 5、比例的意义:表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数,叫做比例的项。
两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。
6、比例的基本性质:在比例里,两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 7、比和比例的区别
(1)比表示两个量相除的关系,它有两项(即前、后项);比例表示两个比相等的式子,它有四项(即两个内项和两个外项)。
(2)比有基本性质,它是化简比的依据;比例也有基本性质,它是解比例的依据。
8、成正比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比y
=k(一定)
x 9、成反比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。用字母表示x×y=k(一定)
10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法:
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定,如果商一定,就成正比例;如果积一定,就成反比例。
11、比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。 12、比例尺的分类
(1)数值比例尺和线段比例尺 (2)缩小比例尺和放大比例尺 13、图上距离:实际距离=比例尺 或
图上距离
=比例尺
实际距离
实际距离×比例尺=图上距离 图上距离÷比例尺=实际距离 14、应用比例尺画图的步骤: (1)写出图的名称、 (2)确定比例尺;
(3)根据比例尺求出图上距离; (4)画图(画出单位长度)
(5)标出实际距离,写清地点名称 (6)标出比例尺
15、图形的放大与缩小:形状相同,大小不同。 16、用比例解决问题:
根据问题中的不变量找出两种相关联的量,并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系,并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。 17、常见的数量关系式:(成正比例或成反比例)
单价×数量=总价 单产量×数量=总产量 速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量 总价总产量路程工作总量
=数量 =数量 =时间 =工作时间 单价单产量速度工作效率总价总产量路程工作总量
=单价 =单产量 =速度 =工作效率 数量数量时间工作时间
18、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。
19、播种的总公顷数一定,每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例?
答:每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数
已知播种的总公顷数一定,就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的,所以每天播种的公顷数和要用的天数成反比例。
20、判断下面各题的两个量是不是成比例,如果成比例,成什么比例?
(1)订阅《中国少年报》的份数和钱数。
因为
钱数
= 每份的钱数(一定)
订阅《中国少年报》的份数
所以,订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。 (2)三角形的底一定,它的面积和高。 因为
三角形的面积1
= (一定) 2高
所以,它的面积和高成正比例。
(3)图上距离一定,实际距离和比例尺。 因为,实际距离×比例尺=图上距离(一定) 所以,实际距离和比例尺成反比例。
(4)一条绳子的长度一定,剪去的部分和剩下的部分。
因为,剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系, 所以,剪去的部分和剩下的部分不成比例。
(5)圆的面积和它的半径不成正比例,因为圆的面积和它的半径的比值不一定,所以圆的面积和它的半径
不成正比例。
自行车里的数学:
前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数
蹬一圈走的路程=车轮周长×(蹬一圈,后轮转动的圈数)
蹬一圈走的路程=车轮周长×(前齿轮齿数:后齿轮齿数)
48:28≈1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:18≈2.67 48:16=3 48:14≈3.43
40:28≈1.43 40:24≈1.67 40:20=2 40:18≈2.22 40:16=2.5 40:14≈2.86
前、后齿轮齿数相差大的,比值就大,这种组合走的就远,因而车速快,但骑车人较费力
前、后齿轮齿数相差小的,比值就小,这种组合走的就近,因而车速慢,但骑车人较省力
自行车跑的快慢与两个条件有关:1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小(合理)
五 数学广角—鸽巢问题
1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用
①什么是鸽巣原理, 先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法, 如下表
况下, 得出的一个“必然结果”。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子
如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么一定有一个信箱至少有2封信
我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体,把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式
②利用公式进行解题: 物体个数÷鸽巣个数=商„„余数
至少个数=商+1
2、摸2个同色球计算方法。
①要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数=颜色数×(至少数-1)+1
②极端思想: 用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球,再无论摸出一个什么颜色的球,都能保证一定有两个
球是同色的。
③公式: 两种颜色:2+1=3(个)
三种颜色:3+1=4(个)
四种颜色:4+1=5(个)
常见乘法计算(敏感数字) :25×4=100 125×8=1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子
2121516 0.875+ + +0.8 0.4× 23× 383423
[1**********]= + + =+ = × 8383455283
[1**********]= + + =+(+) ×33 =23 ×( ) 8833455583
22=1+ = +1 =1×3 =23×2 33
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式
2112916759 0.875+ ++ [1**********]
[1**********]9=+ + = = (36-1) = (100+1) [***********]162975599=+ + + = =36-1 =100 +1 [***********][1**********]= ( + ) + (+ ) = ( ) ×( ) =5- =1+ [1**********]10
=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)
9955101×0.9-×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9- -0.625 101088
9999555=101-×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101 - [1**********]
9999555=101 =80÷1.6 =101 [1**********]
995=(101-1) =800÷16 =(101-1) =(52+29-1) 10108
995 10108
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式
5372718--0.375 --0.75 12-( +0.4) 0.56×125 8416516
53373272=18-- =1-- -( ) =0.7×0.8×125 8841645165
53337227=18-(+) =1 - - =12 -- =0.7×(0.8×125) 8844165516
77=18-1 =12- =0.7×100 1616
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式 3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333 =3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333 =3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999 同级运算中,第一个数不能动,后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1) 2722711+ - 250÷0.8×0.4 1- + 29×0.25÷0.29 31633163
227217=1 -+ =250×0.4÷0.8 =1+ - =29÷0.29×0.25 33163316
77=1+ =100÷0.8 =2- =100×0.25 1616
解方程方法一:消项(如果消+3,方程两边就同时-3 ;如果消×3,方程两边就同时÷3) 1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一
2:如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几
(如果有“-几”,就把“-几”消去,如果没有“-几”,就把较小的消去掉)
3:消去 “-几”, 消去“÷”
4:把这边的数字全部消掉,先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×”
(注意:无论解到哪一步,数字+几 都要写成 几+数字)
解方程方法二:移项(+3移到另一边就变成-3,×3移到另一边就变成÷3)
1:把方程里的“括号”全部去掉,两种去括号的方法任选其一
2:如果两边都有 几 , 就把其中一边的 几 移到另一边
(如果有“-几”,就把“-几”移到另一边。如果没有“-几”,就把较小的移到另一边) 3:把“-几”移到另一边,把 “÷”移到另一边”
4:把这边的数字全部移到另一边,先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×” (注意:无论解到哪一步,数字+几 都要写成 几+数字)
长度单位换算 km m dm cm mm
1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
体(容) 积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1升=1000毫升
1立方米=1000升 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升
质量单位换算 t k ɡ ɡ
1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤
人民币单位换算
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位换算 h min s
1世纪=100年 1年=12月 大月(31天) 有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天) 的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
+ - × ÷ = ( ) ² ³ πr ²