可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用

矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。

1.求方阵的高次幂

例设V是数域P上的一个二维线性空间，1,2是一组基，线性变换在1,2下的矩阵A=

21k

，试计算A。

10

解：首先计算在V的另一组基1,2下的矩阵，这里

11

,,1212

12

1

，

且



12

在

2

1

1,2

下的矩阵为

01

1显1

11112



210111

0

k

12

11

2

然

1

10

11

11

1

k

，



0

再利用上面得到的关系

1



11211111

12101201

k

k

1

我们可以得到

k21111111111k21k1



10120112120111kk1

2.利用特征值求行列式的值。

例：设n阶实对称矩阵A2=A满足，且A的秩为r，试求行列式2EA的值。

解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因

为A2A，则2X2X，从而有2X

0，因为X0，

所以1，即=1或0，又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使

Er

PAP

0

1

00

=B，其中

Er

Er0

是r阶单位矩阵，从而

02Enr

nr

2EA2PP1PBP12EB

3由特征值与特征向量反求矩阵。

若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使，其中B为对角矩阵，则

例 设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。

解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于231的特征向量为

PX1,X2,X3

T

，它应与特征向量

P1

正交，即

P,P10X1X2X30，该齐次方程组的基础解系为

P21,0,0,P30,1,1

T

T

，它们即是对应于231的特征向量。

，则

P1AP

B于是，

取

010100



PP,P,P101,B010123

101001

1

0101002



APBP110101010

10100101

2

100001 10102

120

4判断矩阵是否相似

例

200210201



020,A021,A020下述矩阵是否相似A123 003003003

解：矩阵A1,A2,A3的特征值都是12 (二重)，23，其中

A1已是对角阵，所以只需判断A2,A3是否可对角化，先考查A2，

对于特征值1解齐次线性方程组2EA2X0得其基础解系为11,0,0T，由于1是A2的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故A2不可对角化或者说A2与A1不相似。 再考查A3，对于特征值1，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组2EA3X0，得基础解系11,0,0T,20,1,0T，对于23特征值解齐次线性方程组3EA3X0，得基础解系31,0,1T，由于A3有三个线性无关的特征向量，所以A3可对角化，即A3与A1相似。

5

求特殊矩阵的特征值

例 设A为n阶实对称矩阵，且A22A，又rArn，

求（1）A的全部特征值，（2）行列式EA的值

解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值

的特征向量，所以，有22，又因为A22A，

所以2，所以2，由此可得或0，因为A

2



2

必能对角化即，0

0

是实对称矩阵，所以A

且rAr，故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0

（2）因为由（1）可得A~B，即存在可逆矩阵C，使

A

1

得

C,

C1



=C

A

，

C

故

B

有

EBAECBC1CEBC1EB

1



1r1

1

1

6在向量空间中的应用

例 设是n使维列向量空间，A是n阶复矩阵，是任一复数，令W1EAV,W2VEA，则若A相似于对角阵，有W1W20

证明：对任意X0W1W2，有X0EA和EAX00所以EA20 又因为A相似于对角阵，有EAX00与EA

2

0

的解空间相同，所以EA20和X0EA0，

所以W1W20。

7在现行变换中的应用

例 设PXnn1为数域P上次数小于n多项式及零多项式

的全体，则微分变换在PXn的任何一组基下的矩阵不是对角形。

XXn1 证明：取PXn的一组基,,，则在这组基下的

2!n1!

矩阵为

0En1n

，所以，若在某一组基下的矩阵

00

B为

对角矩阵，由A~B知A可对角化，存在可逆矩阵T使得

T1ATB，所以ATBT1，由的全为零知

B=0，所以A=0，这

不可能，所以微分变换在PXn的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。