第9章 气体与蒸汽的流动

第九章气体与蒸汽的流动

9．1 稳定流动的基本方程 .......................................... 1

9．1．1 稳定流动质量守恒方程（连续性方程） ..................... 2

9．1．2 稳定流动能量方程 ....................................... 3

9．1．3 熵方程 ................................................. 3

9．1．4 状态方程 ............................................... 3

9．2 定熵流动的基本特性 .......................................... 4

9．2．1 定熵流动的特性方程 ..................................... 4

9．2．2 当地声速和马赫数 ....................................... 5

9．3 气体在喷管和扩压管中的流动 .................................. 7

9．3．1 速度变化与状态变化的关系 ............................... 7

9．3．2流速变化、状态变化与流道截面积变化的关系 ............... 8

9．4 喷管中气体流动的计算 ........................................ 9

9．4．1 喷管的设计计算 ........................................ 10

9．4．2 喷管的校核计算 ........................................ 18

9．5 水蒸汽在喷管中的定熵流动 ................................... 22

9．5．1 设计计算 .............................................. 23

9．5．2 校核计算 .............................................. 24

9．6 有摩擦的绝热流动与绝热节流 ................................. 26

9．6．1 有摩擦的绝热流动 ...................................... 26

9．6．2 绝热节流 .............................................. 30

9．1 稳定流动的基本方程

流动过程在工程上常有出现，例如气轮机中气体流经喷管使其流速增加的过程，叶轮式压气机中气流经过扩压管使其减速增压的过程等等。由于气体在流动过程中伴有工质热力状态的变化，有热力学能参与能量转换，因此，对这种热流体的流动过程的研究也属于工程热力学研究的范畴，特别是在热能工程上具有重要的实践意义。

流体流动状况的变化是以流速的变化为标志的，根据能量守恒原理，流速变化必然意味着流动过程中有能量的转换和流体热力状态的变化。另一方面，流体在流道内的流动还必须

遵循质量守恒原理，因此，流动速度与流道的尺寸有关，其速度变化需要流道尺寸的配合。为了实现预期的流动，这两方面都是必须考虑的。

工程上常见的管道内流体的流动是稳定的或接近稳定的。前已述及，流体在流经任何一个固定点时，其全部参数（热力学参数和力学参数）不随时间变化的流动过程称为稳态流动过程，简称稳定流动。一般地说，在流道同一截面上各点的同名参数值是不相同的（尤其是流速）。但为使问题简化起见，可将流道内同一截面上流体的各同名参数都视为一致，每一流体参数只沿流道轴向或流动方向发生变化。这时，任一截面上的某一参数实际上只是某种平均值而已。这种参数只在流动方向上有变化的稳定流动称为一维稳定流动。下面的讨论以一维稳定流动为限。

9．1．1 稳定流动质量守恒方程（连续性方程）

图9-1 流体在流道内的流动

稳定流动中，任一截面的一切参数均不随时间而变，根据质量守恒原理，流经任一截面的质量流量应为一定值。在图9-1所示的流道中，任意截面1-1和2-2上的质量流量分别用 1m 和 2m [kg/s]表示，流道截面积为A 1和A 2[m2]，流体的流速为c f1和c f2[m/s]，密度为1和32[kg/m]，则

1=m 2=m A 1c f 1A 2c f2Ac cf ===ρAc f =m v 1v 2v =定值 (9-1)

写成微分式

⎛Ac =d (ρAc f ) =d f d m ⎝v ⎫⎪=0⎭

或

dA dc f dv +-=0A c f v (9-1a)

式（9-1）及（9-1a ）称为稳定流动的连续性方程。它给出了流速、截面面积和比体积（或密度）之间的相互制约关系。由于连续性方程从质量守恒原理推得，故可普遍适用于稳定流动过程，而不论流体（液体和气体）的性质如何，或过程是否可逆。

9．1．2 稳定流动能量方程

根据能量转换与守恒原理可导得稳定流动能量方程。从第二章中已知，对1kg 流体而言，有

q =(h 2-h 1) +12(c f 2-c f 21) +g (z 2-z 1) +w net 2 (9-2)

或

q =(h 2-h 1) +w t (9-2a)

写成微分式

δq =dh +dc f 2+gdz +δw net

或 12 (9-2b)

δq =dh +δw t (9-2c)

式中 δw t =dc f 2+gdz +δw net 12，它们都属于机械能范畴。因此 w t 称为比技术功，式（9-2）～（9-2c ）系由能量守恒原理导得，故对流体的性质没有限制，并与过程的可逆与否无关。

对于开系，可逆稳定流动过程的能量方程可写成

q =(h2-h 1) +⎰-vdp 12 (9-3)

或 δq =dh -vdp (9-3a)

因此

=-v d p

9．1．3 熵方程

第三章中已导得任意过程均需满足的熵方程：

ds =ds f +δS g ≥δq

T (9-4)

式中，等号适用于可逆过程，不等号适用于不可逆过程。

9．1．4 状态方程

在稳定流动过程中，流体的状态变化过程可看作准平衡过程。在每一截面上，流体基本热力学状态参数之间的关系由状态方程

f(p,v,T)=0 (9-5)

来确定。

以上式（9-1a ）、（9-2b ）、（9-3a ）、（9-4）、(9-5)五个方程是任意稳定流动所遵循的基本方程组。对于不同情况下的流动过程，可根据具体条件结合基本方程组来进行分析讨论。

9．2 定熵流动的基本特性

9．2．1 定熵流动的特性方程

工程上一些具有重要意义的稳定流动过程（例如气流通过喷管或扩压管的流动过程），往往可认为是在绝热绝功的情况下进行的，即 δq =0， δw net =0，且在摩擦影响较小时，可近似认为流动过程是可逆的。可逆绝热流动过程即是定熵流动过程， ds =0。下面根据稳定流动的基本方程组，结合定熵流动的特征来分析定熵流动的基本特性。

定熵流动的能量方程，在忽略重力位能变化时，可由式（9-2）与式（9-3）简化为 212c f 2-c f 21=h 1-h 2=⎰-vdp 1 2 (9-6) ()

或 12dc f =-dh =-vdp 2 (9-6a)

熵方程： ds =δq T =0 (9-7)

这样式（9-6a ）、(9-7)及前面的式（9-1a ）、式（9-5）即构成了分析定熵流动的基本方程组。

现将各基本方程联系起来作如下推导：

dv 1⎛∂v ⎫1⎛∂v ⎫1⎪ ⎪= dp =vdp =-⎪ ⎪v v v 2⎝∂p ⎭s v 2⎝∂p ⎭s

c f 2dc f 1=-2c f dc f =2v ⎛∂p ⎫c c f ⎪⎝∂v ⎭s 1⎛∂v ⎫ ∂p ⎪⎪c f dc f ⎝⎭s (9-8)

上面的推导过程中用到了能量方程（9-6a ），熵方程（9-7）（定熵条件）及在物理学中学到过的声速c 的表达式 ⎛∂p ⎫c =-v 2 ⎪⎝∂v ⎭s (9-9)

若令

Ma =c f

c (9-10)

Ma 称为马赫数，并将式（9-8）代入连续性方程（9-1a ）得到 dc dA dc f +-Ma 2f =0c f c f A

或写作 dc dA =(Ma 2-1) f

c f (9-11) A

式（9-11）反映了定熵流动过程的特性。由于它是利用能量方程式（9-6a ）、熵方程（9-7）、连续性方程（9-1a ）及声波定熵传播速度c 的表达式（9-9）导得的，因而适用于任意流体的定熵流动过程，称为定熵流动的特性方程。

9．2．2 当地声速和马赫数

上面我们引入了马赫数Ma ，由其定义可见，利用马赫数可将气体流动分类为： 亚声速流动：Ma

超声速流动：Ma> 1；c f > c

临界流动：Ma= 1；c f = c

如果流体是理想气体，在定熵过程中绝热指数可表示为 γ=-

代入声速表达式（9-9）得到 v ⎛∂p ⎫ ⎪p ⎝∂v ⎭s (9-12) c =pv =R g T (9-13)

。对对某确定的理想气体而言， γ与R g 为定值，则声速仅与温度有关，且正比于

于一般流体，声速将随流体所处的状态不同而变化，我们所指的声速往往是指在某一状态（p, v, T）下的声速值，称为当地声速。

例题9.1 空气流经喷管作定熵流动（图9-1）。已知进口截面上的空气参数为p 1=0.5MPa、

=1.5kg/s。求喷管t 1=500℃、c f1=111.46m/s。出口截面的压力p 2=0.104 16MPa，质量流量 m

出口截面上的温度t 2、比体积v 2、流速c f2以及出口截面积A 2。分别计算进口截面和出口截面处的当地声速，并说明喷管中气体流动的情况。设空气的比热容c p

R g ，γ =1.4。 ，

解 （1）出口截面上空气的状态参数

空气在喷管中作定熵流动，由pv =定值可得

T 2⎛= T 1 p 1⎪⎝⎭ γ-1p 2⎫γ⎪ 1. 4-1

1. 4

⎛T 2=T 1 p ⎪⎝1⎭γ-1p 2⎫γ⎪⎛0. 1046⨯10106Pa ⎫⎪=773K ⨯ 0. 5⨯106Pa ⎪⎝⎭=493. 78K

根据理想气体状态方程，有 v 2=R g T 2

p 2=0. 287⨯103J/(kg ⋅K) ⨯493. 78K 0. 10416⨯10Pa =1. 3605m 3/kg

（2）出口截面上的流速

根据稳定流动能量方程，结合定熵流动特性，简化得 12(c f 2-c f 21) =h 1-h 2 2

对于理想气体有

则出口截面上的流速为 c f 22(h 1-h 2) +c f 21=2c p (T 1-T 2) +c f 21

=2⨯1. 004⨯103J/(kg ⋅K) ⨯(773K -493. 78K ) +(111. 46m/s) 2h 1-h 2=c p (T 1-T 2)

=757. 03m/s

（3）喷管出口截面积A 2

根据连续性方程 =m

A 2=A 2c f 2v 2 v 21. 5(k g/s)⨯1. 3605m 3/kg m ==0. 002696m 2=26. 96cm 2

c f 2757. 03m/s

（4）喷管进口截面和出口截面处的当地声速

根据声速计算公式

喷管进口截面处的当地声速为 c 1=R g T 1=. 4⨯0. 287⨯103(J/kg ⋅K ) ⨯773K =557. 31m/sc =pv =R g T

喷管出口截面处的当地声速 c 2=R g T 2=. 4⨯0. 287⨯103J/(kg ⋅K) ⨯493. 78K =445. 42m/s

（5）喷管内流动情况

喷管进口截面处气体流速c f1=111.46m/s，c f1 c2。所以，喷管内气体流动情况是由亚声速流动过渡到超声速流动。

9．3 气体在喷管和扩压管中的流动

喷管是使气流降压增速的流道，而扩压管是使气流减速增压的流道，无论那种情况，都将引起流体宏观运动动能的变化，根据能量守恒原理，在流动过程中必然有其它形式的能量与之进行相互的转换。可见，流体速度变化联系着流动过程中不同形式的能量间的相互转化及相应的流体热力状态的变化。另一方面，流体在流道内的流动还必须满足质量守恒原理。因此，流体的速度与流道的截面面积有关，流速的改变需要相应的流道截面面积的变化来配合，根据质量守恒原理（连续性方程），流体的流速变化、状态变化和流道截面积的变化是相互制约的。这就使我们看到，任何流动过程都受到能量守恒及质量守恒规律的制约，而要实现预期的流动（增压或增速），则需要根据能量和质量守恒原理满足相应的约束条件——能量条件和流道几何条件。

在这一节里我们对可逆绝热流动（即定熵流动）将导出促使气体在喷管和扩压管中速度改变的必要条件。仍假定流动是稳定的。

9．3．1 速度变化与状态变化的关系

稳定定熵流动的能量守恒方程已在前面导出，如式（9-6）： 212(c f 2-c f 21) =h 1-h 2=⎰-vdp 1 2 [9-6]

由上式可见，流体沿流道动能的增加等于其焓的减少。如果进一步联系到流体的状态变化，比如压力变化，则可将上式写成以下形式：

c f dc f =-vdp

[9-6a]

图9-2 定熵流动过程

由上式可见，当气体在管道内流动时，dc f 和dp 的符号总是相反的。这说明，在定熵流动中，如果流速是增加的（dc f >0），则气体的压力必降低（dp0）；如果气体被压缩（dv0），则流速必降低（dc f

同时，根据式（9-6）得

122(c f 2-c f 1) =2⎰1-vdp 2

上式说明，气体在定熵流动中，如气体膨胀增速，则动能的增加是由技术功转换而来的。技术功在图9-2上用面积12ab1表示。

9．3．2流速变化、状态变化与流道截面积变化的关系

流体在流动过程中的质量定恒是用连续性方程来体现的。前面已根据连续性方程结合定熵流动的条件导得了式（9-11），即 dc dA =(Ma 2-1) f

c f [9-11] A

上式实际上反映了流速、状态及流道截面面积变化的相互制约关系。利用上式对于喷管、扩压管可分别讨论如下：

对喷管而言，其目的是促使气体膨胀增速（dv > 0，dc f > 0），由上式可见，在Ma 1（超声速流动）时有dA > 0，流道截面面积应是逐渐扩大的，称之为渐扩喷管，如图9-3所示。

对扩压管而言，为达到减速增压（dc f 0）的目的，在Ma > 1（超声速流动）时应有dA 0，流道截面面积应是逐渐扩大的，称之为渐扩扩压管（图9-3）。

图9-3 渐缩、渐扩喷管及扩压管 图9-4缩放喷管和扩压管

欲使气流在喷管中自亚声速连续增加至超声速，应当采用由收缩部分和扩张部分组合成的缩放喷管或称拉伐尔喷管，如图9-4所示。其中，收缩部分在亚声速范围内工作，而扩张部分在超声速范围工作。在缩放喷管最小截面（也称喉部）处，流速恰好达到当地声速，此处气流处于从亚声速变为超声速的转折点，通常称为流动临界状况。此时的各种参数称为临界参数，如临界压力p cr 、临界比体积v cr 、临界温度T cr 、临界截面面积A cr 、临界流速c f,cr 、临界声速c cr 等。对于理想气体有

c f, cr =c cr =p cr v cr =R g T cr (9-14)

根据（9-11），在定熵流动中欲使气流在扩压管中由超声速减至亚声速，应采用收缩部分和扩张部分组成的组合扩压管。但组合扩压管内的流动过程是很复杂的，不可能按理想定熵流动的规律实现超声速到亚声速的连续转变。

由上面的分析可以看出，亚声速流动和超声速流动的特性是有根本区别的。在喷管中实施定熵流动时，欲使亚声速和超声速气流加速对管形的要求截然相反。这一特性是不难理解的。因为流动过程受着各基本方程的共同约束，从能量方程（9-6a ）看，dc f 与dp 相关。 dc f =-dc f v v dp =-c f c f (9-15) 或 dp

从声速方程（9-9）看，dv 也与dp 相关 ⎛∂p ⎫c =- ⎪⎝∂v ⎭s 或 ⎛∂v ⎫v 2 ∂p ⎪⎪=-2c ⎝⎭s (9-16)

由以上两式可见，速度c f 和比体积v 随压力p 变化的规律是不相同的，其变化率与气体的流速和当时当地气体的热力状态有关。在相同的压降下，在某些参数范围内速度随压力的变化大于比体积的变化，而在另一些参数下，速度随压力的变化小于比体积随压力的变化。但我们又知道，流体流动同时受到连续性方程的约束，而有

dA dv dc f =-A v c f

dv dc f dv dc f v c v c f 时应有dA > 0。经上面的推导f 时应有dA

发现，这一转变正好发生在流体速度c f 等于当地声速c 时，这即是定熵流动特性方程（9-11）的物理内涵。

最后应强调指出，对渐缩喷管而言，流速不可能连续地增加而使出口速度超过该处的当地声速。换言之，渐缩喷管出口截面的压力不能降低到临界压力以下，只能大于或等于临界压力。这是渐缩喷管工作能力的限制。

9．4 喷管中气体流动的计算

喷管的计算常包括设计计算和校核计算。设计计算是在给定喷管进、出口参数（对定熵流动一般为进口压力、温度及出口压力）及需要流过的气体流量的情况下，计算当气流在喷管中实现完全膨胀时所能获得的出口速度，以及为流过给定的流量所要求的喷管尺寸（流道截面面积）。在这里，所谓完全膨胀是指气体在给定喷管进、出口参数下能将其对应的焓降完全转变为速度能的情况。

校核计算是在已有喷管的情况下，根据给定的进、出口参数校验气流在喷管内是否能实现完全膨胀，同时计算出喷管在给定条件下的实际流速和流量。

可见，不论是设计计算还是校核计算，都需要计算喷管的出口流速、流量或尺寸，并进行管形的选择和判断，这即是本节的主要内容。

9．4．1 喷管的设计计算

1．定熵滞止参数

图9-5 定熵流动过程

流动的初始条件直接影响到流动过程的分析。初始条件包括热力学条件（气体的初始热力状态p 1、v 1、T 1、h 1、s 1等）及力学条件（初速c f1）。考虑初速会使问题的分析变得复杂，为此，我们设想一个定熵滞止过程（减速增压的扩压过程），将气体的初速完全滞止到零。滞止过程如图9-5中的1-1*线所示。滞止后的热力学参数称为滞止参数，用上角标―*‖表示，如p *、v *、T *、h *、s *等。这样，对1-2过程的分析转化为对1*-2过程的分析。引入滞止参数后简化了初始条件，使分析简便。任何不是从滞止状态开始的流动都可看作是从滞止状态开始的流动过程的一部分。但如果初速c f1本身就很小，也就是说状态1与滞止状态1*非常接近，则可忽略两者的差异，将状态1的参数（进口参数）视作滞止参数。

实际的滞止现象在工程上常可见到，如当气流被固定壁面所阻滞或流经扩压管时，气流的速度将降低，动能随之减小，绝热滞止对气流所起的作用与绝热压缩无异。这时，气流的温度、压力将会升高。

滞止参数可根据定熵滞止的条件，利用基本方程确定。

由能量方程（9-6）可知，初速为任意值c f 的气流滞止到速度为零时，焓值将增至最大，

c f 2

并等于气体的焓h 与动能 2之和，称为滞止焓，以h *表示，即 c f 2

h =h +2 (9-17) *

上述关系对定熵流动过程的任一截面均适用。所以，对一定的定熵流动过程而言，其滞止焓值等于定值，气流的滞止温度和滞止压力亦为定值，其值最大。

对于比热容为定值的理想气体，滞止参数的计算可以先从式（9-17）计算出h *，再根据理想气体状态参数的关系并结合定熵条件，算出T *、p *、v *。 由式（9-17），得

c f 2

h -h =

2

*

c f 2

c p (T -T ) =

2 或

*

所以 p *按下式计算：

c f 2

T =T +

2c f p

*

(9-18)

γγ

⎛T *⎫γ-1⎛T ⎫1-γ

p *=p =p ⎪⎪

T T *⎝⎭⎝⎭

v *按下式计算：

⎛T v *=v *⎪

⎝T ⎭

1

⎫γ-1

v =

或

*

R g T *p *

从式（9-18）可见，在流速不太高的情况下，热力学参数在滞止过程中变化不大。 2．气体的流速

在喷管内的气体绝热流动中，稳定流动能量方程可简化为下列形式： c c c f 2

h =h +=h 1+f 1=h 2+f 2

222

*

2

2

由此可得喷管出口气体流速的计算式

c f 2=2(h *-h 2)

（9-19）

式中：c f2为喷管出口截面上气体的流速；h 2、h *分别为喷管出口截面气体的焓值和滞止焓

*

值。 h -h 2称为绝热焓降。上式说明，气流在喷管中实现完全膨胀时可将焓降全部变为速

度能。

式（9-19）系由能量守恒原理导得，故对流体性质及过程是否可逆并无限制，可适用于任何流体的可逆或不可逆绝热流动过程。

在定熵流动过程中，根据热力学参数的关系，流速也可表示为p 、v 的函数，对理想气体，当其比热容为定值时式（9-19）可演化如下：

c f 2=2(h *-h 2) =2c p (T *-T 2)

=2

γγ-1

*⎢

R g (T *-T 2) =2

γγ-1

R g T *(1-

) T *

T 2

=

γ-1⎡p 2γ⎤

2R g T 1-(*) ⎥γ-1⎢⎥p

⎣⎦ (9-19a)

γ

γ-1⎤⎡

⎛p 2⎫γ⎥γ**⎢⎪⎥=2p v ⎢1- *⎪ γ-1

⎢⎝p ⎭⎥⎣⎦ (9-19b)

分析上述流速计算式可见，在理想气体定熵流动中，喷管出口流速决定于气体的滞止参

***p 数 、 v 、 T 及喷管出口截面压力与滞止压力之比

ν=

p 2

p *。当滞止参数一定时，出

p 2

p 2p 2

***

口流速仅随 p 而变。将出口流速随 p 变化的关系画成图线，如图9-6所示， p =1时，

p 2

c f 2=0，即流速为零，气体不会流动。当 p *逐渐减小时流速增加，当出口截面压力降到

趋于零时流速趋于某一最大值，其值等于

c f max =2

γγ-1

p *v *=2

γγ-1

RT *

(9-20)

此速度实际上不可能达到，因 p →0， v →∞时喷管出口截面面积应为，这是不可能实现的。

图9-6 等熵流动特性曲线

图9-6称为等熵流动特性曲线，它在分析等熵流动特性时是十分有用的。

上述式（9-19）及（9-19a,b ）即是当气体在喷管内实现完全膨胀时其出口速度的计算式。需要指出的是，在这里我们导出了计算喷管出口流体流速c f2的不同计算式，其中式（9-19）适用于任意气体的绝热流动过程，而式（9-19a, b）仅适用于理想气体的定熵流动。特别是在工程计算上，我们常常仅知道喷管进口参数及出口压力p 2，而并不直接给出T 2（或h 2），这时对理想气体而言采用式（9-19a, b）将更为直接和方便；但对于水蒸汽流动则用式（9-19）更为方便、简捷。读者在进行喷管的设计及校核计算时，需根据给定的情况选用不同的计算式。

3．临界压力比及喷管管形的选择

在定熵流动中，在临界截面上气体的临界流速等于当地声速。此时临界截面上的气体压

p cr

**

力 p cr 与滞止压力 p 之比 p 称为临界压力比，以 νcr 表示，即

v cr =

p cr p *

临界压力可根据

c f cr =c cr

求得。对理想气体而言，以临界参数 c cr 、 p cr 、 T cr 代入

式（9-19a ）和（9-13），有：

γ-1⎤⎡

γγ⎢⎛p cr ⎫⎪⎥2R g T *⎢1- =R g T cr ⎥*⎪ γ-1

⎢⎝p ⎭⎥⎣⎦

γ-1

⎫γ

⎡⎛p cr ⎫γ-1⎤p cr *⎛ ⎪⎪2R g T ⎢1- *⎪⎥=γR g T cr =γR g T *⎪ γ-1⎢⎝p ⎭γ⎥⎝p ⎭⎣⎦故

γ

*

γ-1⎤γ-1⎡

p cr ⎫γ⎥⎛p cr ⎫γ2⎢⎛ ⎪1- *⎪= ⎢⎥*⎪⎪ γ-1⎢⎝p ⎭⎥⎝p ⎭⎣⎦

移项化简，得

⎛p cr 2⎪= *⎪γ-1 ⎝p ⎭

γ-1⎫γ⎡

p cr 2⎤⎛ 1+=⎢⎥ *⎪⎪γ-1⎣⎦⎝p ⎭

γ-1

⎫γ⎡γ

+1⎤⎢⎥⎣γ-1⎦

最后得

γ

⎛2⎫γ-1 =ν=cr γ+1⎪⎪*

⎝⎭ (9-21) p

p cr

临界压力比 νcr 在分析喷管流动过程时是一个很重要的物理量，根据它可以容易地算出气体的压力降低到多少时流速恰好等于当地声速。从式（9-21）可见， v cr 仅与气体的性质

γ=

有关，且只是绝热指数 双原子气体 三原子气体

c p

c V 的函数。比热容为定值时，有

， v cr =0.528(近似值) ， v cr =0.546(近似值)

将临界压力比的公式（9-21）代入式（9-19a ）中，得到临界流速

c f, cr =2

γγ+1

p *v *=2

γγ+1

R g T *

(9-22)

上式表明，对一定的理想气体而言，在定熵流动中气体的临界流速仅由滞止参数决定。 喷管设计计算时，通常已知工质的初参数（p 1、t 1和c f1）和背压（喷管出口外的介质压力p B ）。此时，临界压力比提供了选择喷管形态的依据。欲使气流在喷管内实现完全膨胀（喷管出口截面压力p 2等于背压p B ，即 p 2=p B ），管形应选择如下：

ν=

p B p

*

≥νcr

时，选用渐缩喷管；

ν=

p B p *

时，选用缩放喷管。

如图9-6所示。

4．气体的流量及喷管尺寸计算 流经喷管的气体流量根据连续性方程有

=m

Ac f

=ρAc f v [9-1]

在稳定流动中，流经任一截面的流量相同，故上式对任一截面均成立。

是给定的， 计算喷管出 在设计计算中流量 m 对于渐缩喷管我们需要根据给定的流量 m

口的截面面积，此时有

A 2=

v 2m c f 2

(9-23)

c

式中 v 2、 f 2分别为出口气体的比体积和速度，由上式可见，当气体进、出口参数一定

越大，喷管的出口截面积A 也越大。 时，要求流过喷管的流量 m 2

对于缩放喷管则不仅要计算出口截面积A 2，还需要计算喷管喉部的最小截面积A min 。此时分别有

A min =

v cr v 2m m

A 2=

c cr ； c 2 (9-24)

式中 v cr 、 c cr 分别为喉部临界截面处流体的比体积及临界流速。同样，在进出口参数一

越大，其喉部及出口截面面积也越大。 定时要求流过喷管的流量 m

需要注意的是，这里我们只确定了流道必需的截面面积，并未涉及流道截面的具体形状（可以是圆形、方形或其它形状，如图9-7、图9-8），在工程设计上，只要能保证流道截面面积变化的规律（渐缩、渐扩或缩放）和必需的流道尺寸，并使流道尽量光滑以减小摩擦阻力即可达到目的。喷管的形状可以是圆台形（见图9-7），也可是矩形（由两叶片间的流道构成，如图9-8）。喷管长度，尤其是缩放喷管渐扩部分长度l 的选择，要考虑到截面面积变化对气流扩张的影响，选得过短或过长都将引起气流内部和气流与管壁间的摩擦损失，长度l 通常依据经验而定。对于圆台型喷管

l =

d 2-d min 2tg

ϕ

2

式中，顶锥角取在10～20°之间效果为佳。

图9-7 圆台形流道 图9-8 矩形流道

对于理想气体，若出口截面积为A ，气体流速为c f2，比体积为v 2，则定熵流动中流量

、截面积A 与状态参数变化的关系可推演如下： m

由式（9-19b ）得

γ-1⎤⎡

γγ⎢⎛p 2⎫⎪⎥c f2=2p *v *⎢1- *⎪⎥γ-1

⎢⎝p ⎭⎥⎣⎦ (A)

γ**γ

p v =p v 22由 式导得

1

p 2⎫γ11⎛ =* *⎪

v v ⎝p ⎪⎭ (B) 2

将式（A ）与式（B ）代入式（9-1），化简整理得

2γ+1⎤⎡

p 2⎫γ⎛p 2⎫γ⎥γp ⎢⎛ ⎪ ⎪ =A 2m p *⎪- p *⎪⎥γ-1v *⎢⎭⎝⎭⎥⎢⎝⎣⎦

(9-25)

*

图9-9 流量曲线

p 2

***

分析上式，当喷管出口截面积A 和滞止参数 p 、 v 一定时，流量仅随 p 而变。流

p 2p 2p 2

***

量随 p 的变化关系如图9-9所示。当 p =1时，流量为零。 p 逐渐减小，流量逐渐增

p 2

*

加，至临界压力比时流量达最大值。继续降低 p ，根据式（9-25）的曲线方程流量似乎

应逐渐减小到零，如图上虚线所示。但这半段曲线是没有实际意义的，因为在渐缩喷管中出口截面压力不可能降低到临界压力以下，而只能降到临界压力。当出口截面达到临界压力时，流量达到最大值，且将保持此流量而不因喷管出口外界压力下降而变化，如图9-9中水平线所示。将式（9-21）的临界压力比代入流量公式（9-25），得到此时之最大流量为

max m

max m 也即是临界流量 m cr 。

⎛2

⎪=A 2⎪γ+1 γ+1⎝⎭

γ

2

⎫γ-1

p *v *

(9-26)

如为缩放喷管，其出口截面的压力可降低至临界压力以下，由于有扩张段，可使气流得到进一步膨胀和加速。但当初态一定及喷管渐缩段尺寸一定时，在最小截面（喉部）前的流动情况将不因有扩张段而改变。故对缩放喷管而言，初态一定，喉部尺寸一定时，其最大流量仍可用式（9-26）计算，只是式中之截面积A 应为最小截面积A min 。

流量公式（9-25）和式（9-26）使我们能在设计喷管时根据给定的进、出口参数及流量计算出所需的喷管截面积，或在已有喷管的情况下根据给定的参数算出可能流过的流量。后者将在后面喷管校核计算中讨论。

例题9-2 按例题9-1所给的条件设计喷管，选择外型及计算喷管截面积。进口参数为

=1.5kg/s。 p 1=0.5MPa、t 1=500℃, cf1=111.46m/s；出口压力为p 2=0.104 16MPa，质量流量 m

解：(1)先确定滞止参数

由式(9-18)

T *=T 1+

2c f 2c p

根据已知条件，得

T *=773K +

(111. 46m/s) 22⨯1. 004⨯103J/(kg ⋅K)

=779. 19K

又

T *779. 19K 1. 4-1

p *=p 1() γ-1=0. 5⨯106Pa ⨯() =0. 51415⨯106Pa =0.51415MPa

T 1773K

γ

1. 4

由状态方程得

v *=

R g T *p *

=

0. 287⨯103J/(kg ⋅K) ⨯779. 19K

0. 51415⨯10Pa

6

=0. 4349m 3/kg

（2）根据压力比选择管形

喷管设计计算时，按气体实现完全膨胀计算，即p 2=pB ，根据已知条件，有

p B

*

p

=

p 20. 10416⨯106Pa ==0. 20259

所以选用缩放喷管。

（3）临界截面和出口截面处气体的状态参数 临界压力

p cr =v cr p *=0. 528⨯0. 51415⨯106Pa =0. 27147⨯106Pa =0.27147 MPa

临界比体积

p *γ0. 51415⨯106Pa 1. 4

v cr =v *() =0. 4349⨯() =0. 6863m 3/kg 6p cr 0. 27147⨯10Pa

1

1

临界温度

p cr v cr 0. 27147⨯106Pa ⨯0. 6863m 3/kg

T cr ===649. 16K

R g 0. 287⨯10J/(kg ⋅K)

出口截面气体温度

p 0. 10416⨯106Pa

T 2=T *(2) γ=779. 19K ⨯() 6p *0. 51415⨯10Pa

γ-1

1. 4-1

1. 4

=493. 78K

出口截面气体比体积

v 2=

R g T 2p 2

=

0. 287⨯103J/(kg ⋅K) ⨯493. 78K

0. 10416⨯10Pa

=1. 3605m 3/kg

（4）临界流速和出口截面气体流速

c f, cr =c cr =2

γγ+1

R g T *=2⨯

1. 4

⨯0. 287⨯103J/(kg ⋅K) ⨯779. 19K 1. 4+1

c f 2

=510. 78m/s

p

=2p *v *[1-(2) γ]

γ-1p *

1. 40. 10416⨯106Pa 63=2⨯⨯0. 51415⨯10Pa ⨯0. 4349m /kg ⨯[1-()

1. 4-10. 51415⨯106Pa

γ-1

γ

1. 4-1

1. 4]

=757. 19m/s

（5）临界截面积和出口截面积 根据连续性方程

A cr =

=m

Ac f

=1. 5k g/sv ，已知 m ，则临界截面积为

出口截面积为

v cr 1. 5k g/s⨯0. 6863m 3/kg m

==0. 002015m 2=20. 15cm 2c f, cr 510. 78m/s

v 21. 5k g/s⨯1. 3605m 3/kg m A 2===0. 002695m 2=26. 95cm 2

c f 2757. 19m/s

9．4．2 喷管的校核计算

喷管的校核计算是对已有的喷管进行的，这时喷管形状及尺寸为已知。在实际工程上，喷管并不总能按设计的条件工作，在工作条件变化时需要对喷管的流速、流量及流动情况进行校验。例如气轮机的变工况计算即是一例。下面我们分别对渐缩喷管及缩放喷管的校核计算进行讨论。为简化起见，假定p*不变，而讨论p B 变化时对流动的影响。 （a ）渐缩喷管

在进行喷管的校核计算中我们首先需要进行管形的校核，检查在实际的进出口参数（往往不同于设计值）下气流在流经给定喷管时能否实现完全膨胀，经判断后才能进行相应的计算。将分三种情况讨论如下： （i ）

p B

>v cr p *

即

p B >v cr p *

此时喷管进、出口间的压力降在渐缩喷管允许的工作能力范围之内，气体在其中可以实现完全膨胀，其压力变化如图9-10中的曲线AB 。p B 越低，喷管进、出口焓差越大，出口速度c f2越高。

p B >p cr p B =p cr p B

图9-10 渐缩喷管中的变工况流动

由于气体在喷管内实现完全膨胀，因此其出口流速及流量可按上节介绍的公式计算。可以看出，在p*不变下背压p B 降得越低，出口速度c f2越高，而在喷管尺寸不可能改变的情况

越大。 下其流过的流量 m

p B

*

（ii ） p

=v cr

*或 p B =v cr p

这时达到了渐缩喷管的工作能力的极限，气体在喷管内仍可实现完全膨胀。其压力变化如图9-10中的曲线AC ，且此时喷管出口压力正好等于临界压力p cr ，出口流速等于当地声

速：c f2=cf,cr 在喷管出口截面积A 一定时其质量流量达到极大值，即临界流量 m max =m cr 如

图9-9。由于气体在流道内能实现完全膨胀，其出口流速c f2及喷管质量流量均可按上节提供的计算式进行计算。

p B

此时，喷管进、出口间的压降太大，已超过了渐缩喷管的工作能力范围，气体在其中不能实现完全膨胀，而只能在渐缩喷管最大工作能力范围内使压力由p*降低到p cr ，并将与此压降对应的焓降转变为速度能。同时，气流在喷管口外发生自由膨胀使压力从p cr 降到p B ，如图9-10中ACD 曲线所示。这种口外的自由膨胀不遵循定熵流动的规律，且由于没有相应的流道导引，p cr 与p B 间压差所对应的焓降不能有效地用来增加气体的流速，这就是所谓的

膨胀不足。这时渐缩喷管的出口流速仍保持为c f,cr ，质量流量保持为 m max =m cr 。因此，须

将临界参数v cr 、c ar 作为喷管出口参数进行喷管出口实际流速和流量的计算。 (b) 缩放喷管

与临界压力比v cr 作为渐缩喷管工作能力的极限相似，缩放喷管的最大工作能力是由设

v d =

p d

p *限定的。下面也分三种情况进行讨论。

计压力比

图9-11 缩放喷管中的变工况流动

(i) pB = pd

这时喷管出口背压p B 恰好等于设计压力p d ，气流在喷管中可实现完全膨胀。气体流速在收缩段处于亚声速范围，在最小截面处气体流速等于当地声速，在扩张段达到超声速。图9-11中的ABC 曲线表示在设计情况下气体经过喷管流动时压力的变化。此时喷管出口气体

的均可按前面介绍的气体实现完全膨胀时的公式计算。 的流速c f2及流量 m

(ii) p B

若降低背压p B ，使之小于出口截面的设计压力p d ，即p B

将是一定的。此时有 据连续性定理整个喷管的流量 m

=m

A min c f, cr

v cr

=

A 2c d

v d (9-27)

p 2

所以，对尺寸一定的缩放喷管而言, 尽管有 p *

但其流量并不像图9-9的虚线部分所示

的那样, 会随p 2/p*的减小而减小，而是如图中实线所示那样维持不变。 (iii) p B >p d

若背压p B 升高，在p B >pd 时，则缩放喷管的工作将受到阻碍。这时喷管内气体流动情况较为复杂，可参考气体动力学的有关书籍，这里仅概略的说明现象。实验研究指明，在p B 比p d 大得不多时，喷管内气体膨胀到比p B 为低的压力，即所谓过度膨胀，如图9-11中ABE 线所示。在扩张段气流速度增至超声速，然后在某一截面处产生激波，压力发生急剧升高(如虚线EF 所示) ，气流速度急剧降至亚声速，形成气体状态参数不连续变化的一个间断面，这种现象称为突击压缩。间断面后的亚声速气流沿扩张段降速升压至背压，流出喷管，此时流

量仍等于设计时的流量。突击压缩是一种不可逆过程。发生突击压缩的截面位置随背压p B 值而定，随背压p B 的升高而逐渐内迁至临界截面(喉部) 。

例题9–3 二氧化碳以低速进入缩放喷管，进口处气体压力为1 400kPa，温度为200℃，已知质量流率为3 kg/s，若流动过程可视为定熵流动，求：(a)压力降低200kPa 的截面上流体的密度、速度、流道截面积及马赫数，(b)喷管喉部的压力p t 及温度T t 。 解 (a)由于气流进口速度甚低，故可认为所给的入口参数即是滞止参数，即 p 0=p1=1400 kPa T0=T1=200℃=473K

从附录表1中查得CO 2的物性参数如下： c p

；

；R g

。由于流

–200kPa=1 200kPa处的温度T

动过程为定熵过程，故当压力下降200kPa ，即在为

⎛p '

⎪T '=T 0 p ⎪⎝0⎭

γ-1⎫γ

⎛1200⨯103Pa ⎫

⎪=473K

1400⨯10Pa ⎪⎝⎭

1. 289-1

1. 289

=457K

这样，在该截面处的流速为

'=2h 0-h '=2c p T 0-T '=2⨯846J/(kg ⋅K) ⨯473K -457K =164. 5m/sc f

此截面处的其它参数可计算如下：

ρ'=

p '1200⨯1000Pa

==13. 9k g/m3R g T '189J/(kg ⋅K) ⨯457K

A =

m 3k g/s==13. 1⨯10-4m 2=13. 1cm 2

3'13. 9k g/m⨯164. 5m/sρ'c f

该截面处的声速为 故马赫数Ma 为

Ma =

c =R g T =. 289⨯189J/(kg ⋅K) ⨯457K =333. 6m/s

'164. 5m/sc ==0. 493c 333. 6m/s

(b)求喉部（即临界载面）的参数 由于临界压力比可表示为

γ

⎛2⎫γ-1⎛p 2⎫1. 289-1⎪v cr == = =0. 548⎪ ⎪p 0⎝γ+1⎭1. 289+1⎭⎝

1. 289

而在定熵流动中有

T t ⎛= ⎪T 0 ⎝p 0⎭

γ-1

p t ⎫γ⎪

=

22

==0. 874γ+11. 289+1

故得喉部的压力p t 、温度T t 分别为

p t =0. 548p 0=0. 548⨯1400⨯103Pa =767. 2k Pa T t =0. 874T 0=0. 874⨯473K =413. 4K

例题9–4 空气以高速进入扩压管，已知进口速度为200m/s，温度为30℃，(a)求入口处的声速及气流的马赫数；(b)若流动为定熵流动，确定扩压管形状及当速度降至50m/s时压力升高多少倍？

图9-12

解 (a)进口处声速为

c 1=R g T =. 4⨯287J/(kg ⋅K) ⨯303K =349m/s

Ma 1=

c 200m/s

==0. 573

(b) 由于Ma 1

122(c f 2-c f 1) =h 1-h 2=c p (T 1-T 2)

2

T 2=-

112

(c f 2[(50m/s) 2-(200m/s)2)]+303K =342. 6K 1=-2-c f 1) +T 32c p 2⨯1. 004⨯10J/(kg ⋅K)

又因定熵过程

T 2⎛

= ⎪T 1 ⎝p 1⎭

γ-1

p 2⎫γ⎪

因此

γ

p 2⎛T 2⎫γ-1⎛342. 6K ⎫1. 4-1

= ⎪= =1. 537⎪⎪p 1 ⎝303K ⎭⎝T 1⎭

1. 4

9．5 水蒸汽在喷管中的定熵流动

前面对理想气体定熵流动过程的讨论，原则上也适用于水蒸气的流动。所不同的是，由于理想气体的热物理性质比较简单，因此在理想气体流动过程的讨论中我们大多用一些解析式来进行分析和计算。然而对于水蒸气而言，其热物理性质（例如状态方程、比热容等）远较理想气体复杂，因此在水蒸气流动过程的分析计算中我们常借助于水蒸气图表（例如h-s 图等）。这些图表的运用将使分析计算大为简化。

9．5．1 设计计算

1．定熵滞止参数

水蒸气的滞止参数可在h-s 图上方便地求得。

h 2

图9-13 水蒸汽的定熵流动

由式(9–17) 可知

c

h =h 1+f 1

2 [9–17]

*

2

利用h-s 图（如图9–13），点1表示流动过程中水蒸气的状态（p 1, t1, cf1），从点1向上作

c f 1

2

2

定熵（垂直）线，取线段1*–1，使1*–1的长度等于

⎛c f 2⎫ 1=h *-h 1⎪ 2⎪⎝⎭，则1*即表示滞止状

*

态。由此可在图上直接查得滞止焓h *、滞止压力p *、滞止温度 T 等参数。

2．临界压力比

水蒸气流动中的临界压力比可借助理想气体的表达式得到，即

γ

⎛2⎫γ-1 =ν=cr γ+1⎪⎪*

p ⎝⎭ [9–21]

p cr

γ=

所不同的是，对理想气体而言

c p

c V ，而对于水蒸气它将受许多因素的影响而不易确定。

为简化分析，我们把 γ取作如下一些经验常数，以确定临界压力比：

过热蒸汽:取γ=1. 3, 则νcr =0. 546干饱和蒸汽:取γ=1. 135, 则νcr

⎫

⎪

=0. 577⎬

⎪

⎭ （9-28）

湿蒸汽:γ=1. 035+0. 1x

3．流速的计算

在喷管设计计算时期望气体在喷管中实现完全膨胀，从而将给定的气体初、终状态所对应的焓差全部转变为速度能。这时根据能量方程所导出的式（9–6）可以得到喷管出口气流速度的表达式为

c f 2=2(h *-h 2)

[9–19]

式中，h *及h 2分别为滞止焓及喷管出口蒸汽的焓值，它们可以方便地在h-s 图上查取，如图9–13所示。由于所讨论的是定熵流动过程，所以过程线在h-s 图上是一条铅垂线。

*

*νp =v p cr cr cr 临界流速c f,cr 的计算可根据式(9-28)所确定的临界压力比 ，由p 找出 ，

()

然后在h-s 图上利用由滞止点出发的等熵线与p cr 的等压线的交点找到h cr （见图9–13），利用下式计算

c f, cr =2(h *-h cr )

[9-19]

4．喷管截面面积的计算 根据连续性方程有

A =

v m

c f

对于渐缩喷管只需确定其出口载面面积，此时

A 2=

v 2m

c f 2 [9–23]

对于缩放喷管，则除了确定其出口截面面积外还需要确定其喉部截面面积，这时有

A min =

v cr m c f, cr

A 2=

v 2m

c f 2 [9–24]

及

其中c f, cr及c f2的计算已如上述，v cr 及v 2可直接利用h-s 图，根据过程线分别与临界压力p cr 及出口压力p 2的等压线的交点在图上直接查取。

由此可见，由于有了水蒸气图表，使其流动过程的计算变得十分简单方便。

9．5．2 校核计算

如前所述，喷管校核计算的关键，首先是判定在实际工作条件下气流在喷管内是否能够进行完全膨胀。若然，则可依照喷管设计计算的方法进行计算。否则，需根据过程实施的具体条件作进一步的分析。今仍假定p *不变，讨论当p B 变化时的一些情况。 1．渐缩喷管

p 2

*

(i) 当 p

>v cr 或p 2>v cr p *

时，

这时气体在喷管中能实现完全膨胀，喷管出口流速c f2及流量均可用前述设计计算方法得到。同时由h-s 图上的等熵过程线可见，当p *一定而背压p 2下降时对应的焓降将增加，

也将增加。 出口流速c f2及喷管流量 m

p 2

*p (ii) 当

=v cr 即p 2=v cr p *

时，

这时气流在喷管出口处达到等于当地声速的临界流速c f,cr ，其流量相应地为 m cr =m max 。

由于气体的压降仍在渐缩喷管工作能力范围以内，蒸汽能在其中实现完全膨胀，故流速流量均可按设计计算的方法得到。

p 2

* (iii) 当 p

时

这时喷管进出口压降太大，已超出了渐缩喷管工作能力的极限，蒸汽不能在喷管中从初压p *膨胀到给定的背压p 2，而只能按其最大工作能力膨胀到p cr ，再通过喷管外的自由膨胀

使压力从p cr 降到p 2。这时喷管的出口速度为c cr 而流量相应地为 m max 。

2．缩放喷管

与前面讨论的一样，这时应以喷管出口的设计压力p d 作为判断的依据。 (i) 当p 2=pd 时

此时流动情况与设计工况一致，流速流量均可按设计计算的方法得到。 (ii) 当p 2

与理想气体流动过程的分析相似，蒸汽只能在喷管内按设计工况从p *膨胀到p d ，然后通过口外自由膨胀由p d 降到p 2。这时喷管内的流动过程一如设计工况，故可按设计计算的方法进行计算。 (iii) 当p 2>pd 时

此时也会出现过度膨胀、激波及突击压缩等复杂的流动状况，将在流体力学课程中进行进一步的分析。

最后，需要再次强调的是，由于有了水蒸气图表，特别是h-s 图，水蒸气流动过程的分析计算可借助图表进行，这将带来了极大的方便，使计算变得简而易行。在选用计算方法和计算式时应特别注意，不要舍简就繁，盲目地采用理想气体有关的计算式，这样反而使计算结果带来更大的偏差。

例题9–5 初压p 1=2.8MPa，初温t 1=420℃的水蒸汽，以初速c f1=120m/s绝热流经喷管而进入p B =2.0MPa的空间，当蒸汽的流量为3 000kg/h时试确定喷管的形状和尺寸。 解 (1)水蒸汽的滞止参数（图9–14）

h

h *=3287kJ/kgh 1=3280kJ/kg

h 2=3175kJ/kg

s s

图9-14

由式(9–15)

2c (120m/s)23h =h 1+=3280⨯10J/kg +=3287. 2⨯103J/kg =3287.2k J/kg 22

*

在h-s 图上查得p*=2.9MPa，为过热蒸汽。 (2) 喷管形状选择

p p *

=

2. 0⨯106Pa 2. 9⨯106Pa

=0. 689>νcr

根据 （过热蒸汽v cr =0.546），故采用渐缩喷管。

(3) 渐缩喷管出口截面上的参数

在h –s 图上利用等熵线与p 2=2.0MPa的等压线的交点得到出口状态2，查得 h 2=3175 kJ/kg， v2=0.145 m3/kg (4) 渐缩喷管的出口流速

c 2=2(h *-h 2) =2⨯(3287. 2-3175) ⨯103J/kg =473. 7m/s

(5) 渐缩喷管出口截面面积

v 23000k g/h⨯0. 145m 3/kg m

A 2===0. 000255m 2=2. 55cm 2

c f 23600s/h⨯473. 7m/s

9．6 有摩擦的绝热流动与绝热节流

9．6．1 有摩擦的绝热流动

前面分析讨论了流体（气体和蒸汽）在喷管中的可逆绝热流动过程（即定熵过程ds=0）。但实际上，由于流体存在粘性，在流动过程中不可避免地存在着摩擦，从而发生能量耗数，'

使气流在相同压降（p *到p 2）时的实际流速 c f 2较理想情况下的流速c f2为小。有摩擦的绝

热流动过程是不可逆过程。过程中熵流为零(dsf = 0)，但有摩擦引起的熵产擦的绝热流动过程中流体的熵不可能维持为定值，而有

ds =ds f +δs g =δs g >0

g >0，故在有摩

示意。由于摩擦造成

N 来度量。喷管

例如在水蒸气h-s 图（图9–16）上，气流的可逆绝热过程用1*–2线表示，实际的不可逆绝热过程不可能在图上表示，但可利用其初、终状态点用虚线1*–

喷管出口速度下降，动能随之减小，在工程上常用速度系数或喷管效率实际流速

'2c f

c =2(h *-h 2') '

仍可按式(9–19) 计算，但应代入实际焓降h *– h 2，即 f 2'。

图9-16 有摩擦的绝热流动

喷管出口实际流速 c f 2'，总是小于理想流速c f2，两者的比值称为喷管的速度系数，即

ϕ=

c f 2'

c f 2 (9–29)

速度系数视流体性质、喷管型式、尺寸、壁面粗糙度和膨胀压力比等因素而定，为一经验数字，通常由实验方法测定，一般在0.92～0.98范围内。渐缩喷管可取较大值，缩放喷管取较小值。

也可用喷管效率作为度量喷管中能量转换效果的指标。喷管效率c f 2'

c f 22

2与出口理想动能 2之比，即

ηN =

c f 22'/2c f 2/2

=h *-h 2'

h *-h 2

2

N 定义为出口实际动

能

显然，喷管效率

(9–30)

N 与喷管速度系数

有以下关系：

2

ηN =ϕ (9–31)

或

ϕ=N

已知喷管进口参数，理想焓降h *–h 2及速度系数或喷管效率，可容易地得到

2

h 2'=h *-ηN (h *-h 2) =h *-ϕ(h *-h 2) (9–32)

在工程计算上，知道了 h 2'再结合出口压力p 2，则实际出口状态即可确定。对于水蒸气，可借助图表查得出口状态其它参数，如 v 2'、 T 2'；对于理想气体，可用分析计算法算得出口的 v 2'、 T 2'。

例9–6 水蒸气低速流入一缩放喷管，已知进口处蒸汽压力p 1=2MPa，温度T 1=400℃，出口处压力为p 2=300kPa，蒸汽流率为2.5kg/s，试确定：(a)定熵流动时喷管喉部及出口截面面积；(b)若

N =0.93

求出口马赫数。

解：(a)由于蒸汽的进口速度甚低，其进口参数可近似视为滞止参数，即

6

p 0=p 1=2MPa =2⨯10Pa

喷管进出口压力比为

ν=

T 0=T 1=400︒C =673K

p 2300⨯103Pa ==0. 15

可见，蒸汽在缩放流道中能实现充分的膨胀和加速。此时喷管喉部的压力p t 为

66

p t =v cr p 0=0. 546⨯2⨯10Pa =1. 09⨯10=1. 09MPa

先分析定熵流动的情况。此时流动过程可在h-s 图上用1–2垂直线表示（见图9–15）。同时，利用h-s 图可直接查得以下参数

h 1h t h '2h 2s 2

s

2

图9-15

进口处：

p 1=2MPa ⎫h 1=3247. 6k J/kg =3247. 6⨯103J/kg

⎬

T 1=400︒C ⎭s 1=7. 1271k J/kg ⋅K =7. 1271⨯103J/kg

喉部：

⎫⎬

s t =s 1=7. 1271k J/kg ⋅K ⎭

p t =1. 09MPa

v t =0. 2420m 3

h t =3076. 1k J/kg =3076. 1⨯103k J/kg

出口处（定熵流动时）：

p 2s =p 2=300k Pa =300⨯103=0. 3MPa ⎫⎪

⎬

s 2s =s 1=7. 1271k J/kg ⋅K ⎪⎭

h 2s =2781. 9k J/kg =2781. 9⨯103J/kg

v 2s =0. 65m 3/kg

由此可算出喉部蒸汽的流速为

c f, t =2(h 0-h t ) =2⨯(3247. 6-3076. 1) ⨯103J/kg =585. 7m/s

喉部截面面积为

A t =

v t 2. 5⨯0. 2420m

==10. 33⨯10-4m 2=10. 33cm 2c t 585. 7

喷管出口流速

c f 2s =h 1-h 2s =2(3247. 6-2781. 9)⨯103J/kg =965. 1m/s

出口截面面积

A 2s =

v 2s 2. 5⨯0. 65m

==16. 8⨯10-4m =16. 8cm 2c 2s 965. 1

N =0.93

(b)考虑 此时有

ηN =

' h 1-h 2h 1-h 2s

0. 93=

') ⨯103J/kg (3247. 6-h 2

(3247. 6-2781. 9) ⨯103J/kg

即

'

h 2=2814. 5k J/kg

查h-s 图得到实际出口的参数如下

⎫⎪⎬'

h 2=2814. 5k J/kg ⎪⎭

p 2=300k Pa

'=0. 6764m 3/kg v 2

'=7. 2009k J/kg ⋅K =7. 2009⨯103J/kg ⋅K s 2

这样，实际出口流速为

'

c f 2=2h 1-h 2=2(3247. 6-2814. 5)⨯103J/kg =930. 7m/s

为了计算出口马赫数需要计算出口声速，为此可采用两种近似方法 (a)利用声速的基本表达式

⎛∂p ⎫c = ∂ρ⎪⎪

⎝⎭s

将微分近似用差分代替有

⎡⎤⎢∆p ⎥c ≈⎢⎥

⎢∆(1) ⎥⎢⎣v ⎥⎦s

在出口压力（300kPa ）附近分别加减25kPa ，在过出口状态2的等熵线上找出压力为325 kPa 及275kPa 的两点，查h-s 图得到这两点的比体积分别为0.636 3m3/kg及0.722 8m3/kg。这样，出口处声速可近似计算如下：

c 2=

(325-275)⨯103Pa

0. 6363m /k g

-

0. 7228m /kg

=515. 6m/s

故出口马赫数为

Ma 2=

c f 2930. 7m/s

==1. 805c 2515. 6m/s

(b) 如把过热蒸汽视为理想气体，可近似计算如下： 查h-s 图得出口处温度为175℃=448 K

c 2=kR g T =. 33⨯461J/(kg ⋅K) ⨯448K =524m/s

Ma 2=

930. 7m/s

=1. 776

524m/s

可见，将过热蒸汽视为理想气体时偏差更大一些。

9．6．2 绝热节流

节流过程是指流体（液体、气体）在流道中流经阀门、孔板或多孔堵塞等设备时压力降低的一种特殊流动过程。如果节流过程中流体与外界没有热量交换就称为绝热节流。节流过程在热力设备中常用于压力调节、流量调节或测量以及获得低温等方面。

节流过程是典型的不可逆过程，过程中流体处于非平衡状态。研究节流过程，是研究从节流前到节流后流体分别处于平衡态时各种参数通过过程引起的变化。在2–8节里已经分析了绝热节流过程的能量平衡。因为过程中流体与外界无热量交换，亦无净功量的交换，如果保持流体在节流后的高度和流速不变，即无重力位能和宏观动能的变化（或变化小到可以忽略不计），则节流后流体的焓h 2与节流前的焓h 1相等，即 h2 = h1

同时，因绝热节流是不可逆的绝热过程，节流后流体的熵必然增大，有

s 2 > s1

气态流体经绝热节流后，比体积随压力降低而增大，即v 2>v1；而液态流体的比体积节流前后变化很小。

绝热节流前后流体（流体、气体）的温度变化称为节流的温度效应。节流后流体的温度降低（T 2T1），称为节流热效应；节流前后流体的温度相等（T 2=T1），称为节流零效应。节流的温度效应与流体的种类、节流前所处的状态以及节流前后压力降落的大小有关。

μJ = ∂p ⎪⎪⎝⎭h 表征。对于压降很小的节流过程， 绝热节流的温度效应可用绝热节流系数

J >0，表示节流冷效应；J

示节流热效应；J =0，表示节流零效应，称为微分节流效应。对于有限压降的绝热节流过程，温度变化可沿连接节流前、后状态的定焓线用如下积分式计算：

p 2T 1-T 2=⎛ ⎰p μJ dp ⎫⎪⎝1⎭h

称为积分节流效应。

测定绝热节流系数的实验叫作焦耳－汤姆逊实验。在图9–17a 所示的实验装置中，保持流体进口状态1不变，而用改变节流阀门开度或改变流体流量等方法，可以得到流体经过节流后的不同出口状态2a 、2b 、2c …。测出各状态的压力和温度值，并把它们表示在T –p 坐标图上，如图10–17b 所示。流体在节流前、后焓值相等，即状态点1、2a 、2b 、2c …有相同的焓值，它们的连线是一条定焓线。改变进口状态1，重复进行上述实验，就可得出一系列不同数值的定焓线，并可在T –p 图上描出定焓线簇。在任意的一个状态点上，定焓线的斜率就是实验流体处于该处状态时的绝热节流系数J 。

注意，定焓线并非绝热节流过程线，只是液体绝热节流前、后的状态落在同一条定焓线上。节流过程是典型的不可逆过程，过程中流体处于极不平衡的状态，不能在状态参数坐标图上用曲线表示出来。

图9-17 绝热节流

从图9–17b 可以看到，在一定的焓值范围内，每一条定焓线有一个温度最大值点，如1–2e

μJ = ∂p ⎪⎪=0⎝⎭h 线上的M 点。在这个点上， ，这个点称为转变点，其温度称为转变温度

T i 。把所有定焓线上的转变点连结起来，就得到一条转变曲线，如

图上虚线所示。转变曲线将T –p 图分成两个区域：在曲线与温度轴包围的区域内恒有J >0，⎛∂T ⎫发生在这个区域内的绝热节流过程总是呈节流冷效应，称为冷效应区；在转变曲线以外的区域内，恒有

J

果流体的进口状态处于热效应区，而经绝热节流后的出口状态进入冷效应区，那么呈现的温度效应就与压力降落的范围有关。例如，节流前流体处于图中的2a 状态，当压降不很大，而节流后状态落在2d 点（它与2a 点温度相等）的右侧时，可呈节流热效应；但当压降足够大，使节流后的状态落在2d 点左侧时，则将呈节流冷效应。压降愈大，流体温度降低愈甚。 转变曲线上各点的J =0。把这个条件代入绝热节流系数的一般关系式(4-46), 就得到转变曲线方程的一般形式： ⎛∂v ⎫T ⎪-v =0∂T ⎝⎭p (9-33)

应用微分的循环关系，上式可写成 ⎛∂p ⎫⎛∂p ⎫T ⎪+v ⎪=0∂T ⎭v ⎝∂v ⎭T ⎝ (9-34)

转变曲线具有一个压力为最大值的极点（图上N 点）。这一点的压力p N 称最大转变压力。流体在大于p N 的压力范围内不会发生节流冷效应。数值小于p N 的任一定压线p 与转变曲线有两个交点，对应着两个温度值T 1和T 2，分别叫作对应于压力p 的上转变温度和下转变温度。转变曲线与温度轴(p→0)上方的交点(K点) 对应的温度是最大转变温度T K ，下方的交点对应最小转变温度T min 。流体温度高于最大转变或低于最小转变温度时，不可能发生节流冷效应。

节流致冷是获得低温的一种常用方法，特别是在空气和其它气体的液化以及低沸点制冷剂的制冷工程中（见第十三章）。节流致冷时，流体的初始温度应该低于最大转变温度T K 。一般气体的T K 远高于室温，约为临界温度的4.85～6.2倍。如二氧化碳的

氩气的T K(Ar)=732K，氮气的

室温的气体，例如氢 T K(CO2) 1 500K，T K (N 2) =621K 和氦 ，空气的T K(Air)=603K。对于最大转变温度低于，则必须将它们预先冷却到T K 以下，T K (H 2) =202K T K (He ) =25K

方能得到节流致冷的效果。

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