微积分笔记
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2. 分段函数: y =⎨
⎧f (x ) ⎩g (x )
x ∈D 1
x ∈D 2
3. 隐函数: F(x,y)= 0
-1-1
4. 反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f(y) y=f (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少) 的；则它必定存在反函数：
-1-1-1
y=f(x), D(f)=Y, Z(f)=X 也是严格单调增加(或减少) 的。
㈡ 函数的几何特性
1. 函数的单调性: y=f(x),x∈D,x 1、x 2∈D
当x 1＜x 2时, 若f(x1) ≤f(x2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x1) ≥f(x2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x1) ＜f(x2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x1) ＞f(x2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3. 函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4. 函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数
1. 常数函数： y=c ， (c为常数)
n
2. 幂函数： y=x , (n为实数)
x
3. 指数函数： y=a , (a＞0、a ≠1) 4. 对数函数： y=loga x ,(a＞0、a ≠1) 5. 三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6. 反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1. 复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2. 初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
称数列
l i m
n →∞
y n =A
{y n }以常数A 为极限；或称数列{y n }收敛于A.
定理: 若{y n }的极限存在
⇒{y n }必定有界.
2. 函数的极限： ⑴当
x →∞时，
f (x ) 的极限：
x →-∞x →+∞
lim lim
f (x ) =A ⎫
⎪⇔lim f (x ) =A
x →∞f (x ) =A ⎪
⎭
⑵当
x →x 0时，f (x ) 的极限：
lim f (x ) =A
x →x 0
左极限：
x →x 0
f (x ) =A lim f (x ) =A 右极限：lim +-
x →x 0
⑶函数极限存的充要条件：
f (x ) =lim f (x ) =A 定理：lim f (x ) =A ⇔lim -+
x →x 0
x →x 0
x →x 0
㈡无穷大量和无穷小量 1．
无穷大量：
f (x ) =+∞
称在该变化过程中
f (x ) 为无穷大量。
-+
x →+∞, x →∞, x →x 0, x →x 0, x →x 0
X再某个变化过程是指： x →-∞, 2． 3．
无穷小量：
lim f (x ) =0称在该变化过程中f (x ) 为无穷小量。
1
=+∞, (f (x ) ≠0)
f (x )
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：lim f (x ) =0⇔lim
4． 无穷小量的比较：
lim α=0, lim β=0
⑴若lim
β
=0, 则称β是比α较高阶的无穷小量； α
⑵若lim
β
=c （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； α
β
=1，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑶若lim
⑷若lim
β
=∞, 则称βα
~
是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：α1β1，α2~β2；
α12
则：lim =lim
β1
2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设：
y n ≤x n ≤z n （n=1、2、3„）
n →∞
n →∞
且： lim y n =lim z n =a 则：
lim x n =a n →∞
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x 0的某个邻域内的一切点（点x 0除外） 有： 且： 则：
g (x ) ≤f (x ) ≤h (x )
x →x 0
lim g (x ) =lim h (x ) =A
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =A
㈣极限的运算规则 若：lim u (x )
=A , lim v (x ) =B
u (x ) 则：①lim[±v (x )]=lim u (x ) ±lim v (x ) =A ±B
lim u (x ) ⋅lim v (x ) =A ⋅B
u (x ) ⋅v (x )]=②lim[
③lim
u (x ) lim u (x ) A
==
v (x ) lim v (x ) B
(l i m v (x ) ≠0)
推论：①
lim[u 1(x ) ±u 2(x ) ± ±u n (x )]
=lim u 1(x ) ±lim u 2(x ) ± ±lim u n (x )
②③
lim[c ⋅u (x )]=c ⋅lim u (x )
lim[u (x )]n =[limu (x )]n
㈤两个重要极限 1．lim
x →0
sin x
=1 或
x
ϕ(x ) →0
lim
sin ϕ(x )
=1
(x )
1x
2．
1x
lim (1+) =e x →∞x
l i m (1+x )
x →0
=e
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在 1o
x 0处连续：
f (x ) 在
∆x →0
x 0的邻域内有定义，
∆x →0
lim ∆y =lim [f (x 0+∆x ) -f (x 0)]=0
) ) x x ((f f
) x (f
2o lim f (x ) =f (x 0)
x →x 0
左连续：
-
x →x 0
f (x ) =f (x 0) lim f (x ) =f (x 0) 右连续：lim +
x →x 0
2. 函数在
x 0处连续的必要条件：
定理：
f (x ) 在x 0处连续⇒f (x ) 在x 0处极限存在
3. 函数在 定理：
x 0处连续的充要条件：
x →x 0
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0) ⇔lim f (x ) =lim f (x ) =f (x 0) -+
4. 函数在
[a , b ]上连续：
f (x ) 在[a , b ]上每一点都连续。
在端点
x →a
a 和b 连续是指：
f (x ) =f (a ) 左端点右连续； lim +
f (x ) =f (b ) 右端点左连续。 l i m -
x →b
a
0 b x 5. 函数的间断点： 若
f (x ) 在x 0处不连续，则x 0为f (x ) 的间断点。
在
间断点有三种情况： 1o 2o
x →x 0
x 0处无定义；
在
lim f (x ) 不存在；
3o 但
lim f (x ) 存在， x 0处有定义，且x
→x
x →x 0
lim f (x ) ≠f (x 0) 。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
可去间断点：
-
x →x 0
lim f (x ) 和lim f (x ) 都存在。 +
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) 存在，但
在
x →x 0
lim f (x ) ≠f (x 0) ，或
x 0处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：
-
x →x 0
lim f (x ) 和lim f (x ) 至少有一个为∞， +
x →x 0
x →x 0
或lim 无穷间断点：㈡函数在1. 设 1o 2o
f (x ) 振荡不存在。
x →x 0
-x →x 0
lim f (x ) 和lim f (x ) 至少有一个为∞ +
x 0处连续的性质
连续函数的四则运算：
x →x 0
x →x 0
x →x 0
lim f (x ) =f (x 0) ，lim g (x ) =g (x 0)
lim [f (x ) ±g (x )]=f (x 0) ±g (x 0) lim [f (x ) ⋅g (x )]=f (x 0) ⋅g (x 0)
x →x 0
3o 2.
x →x 0
lim
f (x 0) f (x ) ⎛⎫= lim g (x ) ≠0⎪
⎝x →x 0⎭g (x ) g (x 0)
复合函数的连续性：
y =f (u ),
x →x 0
u =ϕ(x ), ϕ(x 0),
y =f [ϕ(x )]
u →ϕ(x 0)
lim ϕ(x ) = 则：3.
lim
f (u ) =f [ϕ(x 0)]
x →x 0
lim f [ϕ(x )]=f [lim ϕ(x )]=f [ϕ(x 0)]
x →x
反函数的连续性：
y =f (x ),
x →x 0
x =f
-1
(x ),
y →y 0
y 0=f (x 0)
-1
-1
l i m f (x ) =
f (x 0) ⇔l i m f
(y ) =f
(y 0)
㈢函数在[a , b ]上连续的性质 1. 最大值与最小值定理：
f (x ) 在[a , b ]上连续⇒f (x ) 在[a , b ]上一定存在最大值与最小值。
x
2. 有界定理： 3. 介值定理：
f (x ) 在[a , b ]上连续⇒f (x ) 在[a , b ]上一定有界。
f (x ) 在[a , b ]上连续⇒在(a , b ) 内至少存在一点ξ
其中：
，使得：
f (ξ) =c ，
m ≤c ≤M
x
x
f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (a ) 与f (b ) 异号
⇒在(a , b ) 内至少存在一点ξ，使得：f (ξ) =0。
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分
4. 初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
一、主要内容 ㈠导数的概念 1．导数：
y =f (x ) 在x 0
的某个邻域内有定义，
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
=l i l i
∆x →0∆x ∆x →0∆x
f (x ) -f (x 0)
=l i m
x →x 0x -x 0
y '
2．左导数：
x =x 0
dy
=f '(x 0) =
dx
x →x 0
x =x 0
'(x 0) =l i m f -
-
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
'(x 0) =l i m 右导数：f +
+
x →x 0
f (x ) -f (x 0)
x -x 0
定理：f (x ) 在x 0的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；
'(x 0) =l i m '(x 0) =l i m f '(x ) （或：f +f '(x ) ） 则：f -
-+
x →x 0
x →x 0
3. 函数可导的必要条件： 定理：
f (x ) 在
x 0处可导⇒
f (x ) 在
x 0处连续
4. 函数可导的充要条件： 定理：y ' 5. 导函数：
x =x 0
'(x 0) =f +'(x 0) ，且存在。 =f '(x 0) 存在⇒f -
y '=f '(x ), x ∈(a , b )
f (x ) 在(a , b ) 内处处可导。 y f '(x 0)
6. 导数的几何性质：
∆y
f '(x 0)
是曲线
y =f (x ) 上点 ∆x
M (x 0, y 0)处切线的斜率。 o x 0 ㈡求导法则
1. 基本求导公式： 2. 导数的四则运算：
o u 1（
±v ) '=u '±v '
v ) '=u '⋅v +u ⋅v '
'=
u '⋅v -u ⋅v '
(v ≠0) 2
v
o
u ⋅ 2（
⎛u ⎫
3o ⎪
v ⎝⎭
3. 复合函数的导数：
y =f (u ),
u =ϕ(x ),
，或
y =f [ϕ(x )]
dy dy du =⋅dx du dx
{f [ϕ(x )]}'=f '[ϕ(x )]⋅ϕ'(x )
☆注意{
f [ϕ(x )]}'
与f '[ϕ(x )]的区别：
{f [ϕ(x )]}'表示复合函数对自变量x 求导；
f '[ϕ(x )]表示复合函数对中间变量ϕ(x ) 求导。
f ''(x ),
f '''(x ),
或f
(3)
4. 高阶导数：
(x )
f
(n )
(x ) =[f
(n -1)
(x ) ]', (n =2, 3, 4 )
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1. 微分：
f (x ) 在
x 的某个邻域内有定义，
无关，o (∆x ) 是比
∆y =A (x ) ⋅∆x +o (∆x )
其中：
A (x ) 与∆x
∆x →0
∆x
较高阶的无穷小量，
即：
lim
o (∆x )
=0
∆x
则称
y =f (x ) 在x 处可微，记作：
dy =A (x ) ∆x
dy =A (x ) dx (∆x →0)
f (x )
在
2. 导数与微分的等价关系：
定理：
x 处可微⇒
f (x ) 在
x 处可导，且：
f '(x ) =A (x )
3. 微分形式不变性：
dy =f '(u ) du
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的微分一、主要内容 ㈠中值定理 1. 罗尔定理:
dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用
f (x ) 满足条件:
10[a , b ]上连续⎫；在(a , b ) 内至少. 在
⎪0
内可导; ⎬⇒存在一点ξ, 2. 在(a , b )
30f (a ) =f (b ). ⎪使得f '(ξ) =0. . ⎭
o
2.
⎫，[a , b ]上连续 1在
⎬⇒
20在(a , b ) 内可导⎭；
在(a , b ) 内至少存
在一点ξ，使得：f (b ) -f (a )
f '(ξ) =
b -a
㈡罗必塔法则：（0
∞
0, ∞
型未定式） 定理：
f (x ) 和g (x ) 满足条件：
lim =0(或∞）1
o x →a
f (x ) lim
x →a
g (x ) =0
(或∞）
；2o 在点a 的某个邻域内可导，且
g '(x ) ≠0；
3o
x →lim
f '(x )
a (∞)
g '(x )
=A , （或∞）
)
则：
x →lim
f (x )
a (∞)
g (x )
=
x →lim
f '(x a (∞)
g '(x )
=A , （或∞）
☆注意：1o
法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o
若不满足法则的条件，不能使用法则。
∞ 即不是
型或
∞型时，不可求导。
3o
应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o
若
f '(x ) 和g '(x ) 还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
f (x )
x )
x →l i a m
(∞)
g (x )
=
x →l i a m
f '(x )
(∞) g '(x )
=
x →l i a m
f ''((∞)
g ''(x )
=A 5o
若函数是
0⋅∞, ∞-∞型可采用代数变
∞
形，化成
或00
∞
型；若是1
∞
, 0, ∞0型可
采用对数或指数变形，化成0∞
0或∞型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
y =f (x ),
M (x 0, y 0)
切线方程：
y -y 0=f '(x 0)(x -x 0)
或∞）
（
法线方程：y -y 0=-2． 曲线的单调性： ⑴
1
(x -x 0),
f '(x 0)
(f '(x 0) ≠0)
f '(x ) ≥0
x ∈(a , b ) ⇒f (x ) 在(a , b ) 内单调增加 ；
f '(x ) ≤0
⑵
x ∈(a , b ) ⇒f (x ) 在(a , b ) 内单调减少
f '(x ) >0
x ∈(a , b ) ⇒在(a , b ) 内严格单调增加 ；
x ∈(a , b ) ⇒在(a , b ) 内严格单调减 少
f '(x )
3. 函数的极值：
⑴极值的定义：
设
f (x ) 在(a , b ) 内有定义，x 0是(a , b ) 内的一点；若对于x 0的某个邻域内的任意点
x ≠x 0，都有：f (x 0) ≥f (x )[或f (x 0) ≤f (x )]则称f (x 0) 是
f (x )
的一个极大值（或极小值），称
x 0为f (x ) 的极大值点（或极小值点）
。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
10. f (x ) 存在极值f (x 0) ⎫
⎬⇒f (x 0) =00
'2. f (x 0) 存在。⎭
x 0
称为
f (x )
的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
⎫10. f (x ) 在x 0处连续；
f (x 0) 是极值；⎪0
''2. f (x 0) =0或f (x 0) 不存在；⎬⇒
x 0是极值点。⎪30. f '(x ) 过x 0时变号。⎭
当 当
x
x 渐增通过x
x f (x 0) 为极大值； 0时，f (x ) 由（+）变（-） 渐增通过；则
0时，
f (x 0) 为极小值。 f (x ) 由（-）变（+）
；则
定理二：
⎫f (x 0) 是极值；10. f '(x 0) =0；
⎬⇒0
'(x 0) 存在。x 0是极值点。2. f '⎭
若 若
'(x 0)
，则'(x 0) >0f 'f (x 0) 为极小值。
，则
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若⑵若
'(x ) >0, x ∈(a , b )；f (x ) f '则
在
(a , b ) 内是上凹的
（或凹的），（∪）；
'(x )
'(x 0) =0⎫(x 0, f (x 0) )称10. f '，
⇒⎬0
''(x ) 过x 0时变号。为f (x ) 的拐点。2. f ⎭⑶
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
若l i m f (x ) =A ⎫y =A 是f (x ) ⎪x →-∞
⇒
或l i m f (x ) =A ⎬的水平渐近线⎪x →+∞⎭ ⑵铅直渐近线：
若lim f (x ) =∞⎫x =C 是f (x ) ⎪x →C -
⇒
或lim f (x ) =∞⎬的铅直渐近线。⎪+
x →C ⎭
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设： 若：
f (x ), F (x ), x ∈D
F '(x ) =f (x ) 则称F (x ) 是f (x ) 的一个原函数，
F (x ) +C
是
并称
f (x ) 的所有原函数, 其中C 是任意常数。
2．不定积分： 函数
f (x ) 的所有原函数的全体，称为函数f (x ) 的不定积分；记作：
⎰
f (x ) dx =F (x ) +C
其中：
f (x ) 称为被积函数；
f (x ) dx 称为被积表达式；
3. 不定积分的性质： ⑴ ⑵ ⑶
x 称为积分变量。
[⎰
⎰
f (x ) dx
']
=f (x ) 或： d
[⎰
f (x ) dx =f (x ) dx
(x ) =f (x ) +C
]
f '(x ) dx =f (x ) +C 或：
1
⎰df
⎰[f
(x ) +f 2(x ) + +f n (x )]dx
=
⎰
f 1(x ) dx +
⎰
f 2(x ) dx + +
⎰
f n (x ) dx
—分项积分法 ⑷
⎰kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx
(k为非零常数)
4. 基本积分公式：
㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
⎰
f [ϕ(x )]ϕ'(x ) dx
凑微元
=⇑
⎰
f [ϕ(x )]d ϕ(x )
令t =ϕ(x )
=⇑
⎰
f (t ) dt =F (t ) +C
F [ϕ(x )]+C
回代t =ϕ(x )
=⇑
常用的凑微元函数有： 1
o
dx =
11
d (ax ) =d (ax +b ) a a
(a , b 为常数，a ≠0)
2o
x m dx =
11
dx m +1=d (ax m +1+b ) （m 为常数）
m +1a (m +1)
3
o
e x dx =d (e x ) =
x
1
d (ae x +b ) a
1
a dx =d (a x ),
l n a
o
(a >0, a ≠1)
4
1
dx =d (ln x ) x
5o
o
si n dx =-d (cosx ) s e 2c xdx =d (t a x n )
cos xdx =d (sin x ) c s 2c xdx =-d (c o x t )
6
11-x
2
dx =d (arcsin x ) =-d (arccosx )
1
dx =d (a r c t x a ) n =-d (a r c c o t x ) 2
1+x
2. 第二换元法：
⎰
f (x ) dx
令x =ϕ(t )
=⇑
⎰
f [ϕ(t )]d ϕ(t )
=
⎰ϕ'(t ) f [ϕ(t )]dx
=⇑
-1
=F (t ) +C
F [ϕ-1(x )]+C
(x )
反代t =ϕ
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。
一般有以下几种代换： 1o
x =t n ,
n 为偶数时, t >0(当被积函数中有
(或x =a cos x ),
0≤t ≤
π
n
x 时)
2o x =a sin t , 3o
(当被积函数中有
π
2
a 2-x 2
时)
π
2
x =a tan t , (或x =a cot t ), 0≤t
(当被积函数中有 4o
a 2+x 2时)
x =a se c t , (或x =a csc t ),
x 2-a 2时)
0≤t
2
, (0
2
)
(当被积函数中有㈢分部积分法：
1. 分部积分公式：
⎰⎰
ud v
⇑
=u ⋅v -
⇓
u ⋅v 'd x =u ⋅v -
⎰
u '⋅v d x
⎰vd u
2. 分部积分法主要针对的类型： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⎰
P (x ) sin xdx ,
⎰
P (x ) c os xdx
⎰
P (x ) e x dx
⎰
⎰
P (x ) ln xdx
P (x ) ar c sin xdx ,
⎰
P (x ) ar c c os xdx
⎰
P (x ) ar c tan xdx ,
ax
⎰
ax
P (x ) arc c ot xdx
（多项式）
⎰e
sin bxdx ,
⎰e
c os bxdx
其中：
P (x ) =a 0x n +a 1x n -1+ +a n
P (x ) =u
3. 选u 规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令
，其余记作dv; 简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中，令P (x ) =u ，其余记作dv; 简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令
ln x =u ，其余记作dv; 简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u ，其余记作dv; 简称“多反选反”。
⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u ，其余记作dv; 简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分：
1. 有理函数：f (x ) =P (x ) 其中 P (x ) 和Q (x ) 是多项式。
Q (x ) 2. 简单有理函数：
⑴f (x ) =P (x ) ,
1+x
f (x ) =
P (x ) 1+x 2
⑵f (x ) = ⑶f (x ) =
P (x )
(x +a )(x +b )
P (x )
(x +a ) 2+b
§3.2定积分
一． 主要内容 （一）. 重要概念与性质
1. 定积分的定义： O a x1 x 2 x i-1 ξi x i x n-1 b x
⎰
b
a
f (x ) dx =
lim ∑
∆x →0n →∞
i =1
n
f (ξi ) 定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号， y
x 轴下方的面积取负号。 + +
a 0 - b x 2. 定积分存在定理：
设：y =f (x )
若：f(x)满足下列条件之一:
x ∈[a , b ]
1 . f (x ) 连续，x ∈[a , b ];
2. f (x ) 在[a , b ]上有有限个
3. f (x ) 在[a , b ]上单调有界; 则：f (x ) 在[a , b ]上可积。
若积分存在，则积分值与以下因素无关：
b
1与积分变量形式无关即，⎰
a
f (x ) dx =
⎰
b
a
f (t ) dt ;
[a , b ]上的划分无关，即[a , b ]可以任意划分2 与在;
3 与点ξi 的选取无关，即ξi 可以在x i -1, x i 上任意选取。
[]
积分值仅与被积函数f (x ) 与区间[a , b ]有关。
3.
牛顿——莱布尼兹公式：
若F (x ) 是连续函数f (x ) 在[a , b ]上的任意一个原函数：则：⎰f (x ) dx =F (x )
a b
b
a
=F (b ) -F (a )
*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4. 原函数存在定理：
若f (x ) 连续，x ∈[a , b ], 则：ϕ(x ) =
ϕ(x ) 是f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，
⎰
x
a
f (t ) d t ,
x
x ∈[a , b ]
且：ϕ'(x ) =(⎰
5.
定积分的性质：
a
f (t ) d t ) '=f (x )
设f (x ), g (x ) 在[a , b ]上可积，则
1
⎰
b
a
b
kf (x ) dx =k ⎰
f (x ) dx =-⎰
b
a
a
f (x ) dx
f (x ) dx
2 ⎰
a b
3
⎰[f (x ) ±
a
b
g (x ) ]dx =
⎰
b
a
f (x ) dx ±
⎰
b
a
g (x ) dx
4
⎰
a
a
b
f (x ) dx =0
f (x ) =
5 ⎰
6
a b
⎰
c
a
f (x ) dx +
⎰
b
c
f (x ) dx (a
⎰
a
1d x =b -a
y
。
9积分中值定理：
若f (x ) 连续x ∈[a , b ], 则：必存在一点ξ∈[a , b ], 使⎰
b a
f (x ) dx =f (ξ) ⋅(b -a )
（二）定积分的计算： 1. 换元积分
设f (x ) 连续，x ∈[a , b ]，x =ϕ(t )
若ϕ'(t ) 连续，t ∈[α, β],
且当t 从α变到β时，ϕ(t ) 单调地从a 变到b , ϕ(α) =a , ϕ(β) =b ,
2. 3. 4.
则：⎰f (x ) dx =
a
b
⎰α
-
β
f
[ϕ(t ) ]⋅ϕ'(t ) dt
v d u
+∞
分部积分
⎰⎰
b
a
u d v =u ⋅v f (x ) dx =⎰
b a
⎰
b
a
广义积分
+∞-∞
-∞
f (x ) dx +⎰
f (x ) dx
定积分的导数公式
1（ 2[
⎰
x
a
f (t ) dt ) 'f (x ) x =
⎰
ϕ(x )
a
f (t ) dt ]'f x =
[ϕ(x ) ]⋅ϕ'(x )
f
'(x ) [ϕ1(x ) ]⋅ϕ1
3[⎰
ϕ2(x )
ϕ1(x )
'f (t ) dt ]f x =
'(x ) -[ϕ2(x ) ]⋅ϕ2
(三) 定积分的应用 1. 平面图形的面积:
1由y =f (x ) >0,
x =a , x =b ,
(a
与x 轴所围成的图形的面积 y f(x)
s =
⎰
b
a
f (x ) dx
2由y 1=f (x ),
y 2=g (x ),
(f >g
与x =a , x =b 所围成的图形的面s =
⎰[f (x ) -
a
b
g (x ) ]dx
3由x 1=φ(y ), x 2=ϕ(y ),
(φ>ϕ)
与y =c , y =d 所围成的图形的面积
s =
dy ⎰[φ(y ) -ϕ(y ) ]
c
d
4 . 求平面图形面积的步：骤
①.
②. ③. 2.
求出曲线的交点，画出草图；
确定积分变量，由交点确定积分上下限； 应用公式写出积分式，并进行计算。 旋转体的体积
及x 轴所围图形绕x 轴旋转所
1曲线y =f (x ) >0, 与x =a , x =b
得旋转体的体积： V x =
π⎰a
b
f
2
(x ) dx
0 a
2由曲线x =φ(y ) >0, 与得旋转体的体积： V y =
第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分
一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念
2. 二元函数的定义：
π
⎰
d
c
φ2(y ) dy
z =f (x , y ) (x , y ) ∈D 定义域：D (f )
3. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）
㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
1 在点(x 0, y 0) 的某个领域内有定义。
（点(x 0, y 0) 可除外）
2 l i m f (x , y ) =A
x →x 0
y →y 0
则称z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 极限存在，且等于A 。
2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
1 在点(x 0, y 0) 的某个领域内有定义。2 l i m f (x , y ) =
x →x 0
y →y 0
f (x 0, y 0)
则称z =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处连续。
㈢. 偏导数：
定义:f (x , y ), 在(x 0, y 0) 点
'(x 0, y 0) =l i m f x
∆x →0
f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0)
∆x
f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)
∆y
'(x 0, y 0) =l i m f y
∆y →0
'(x 0, y 0), f y '(x 0, y 0) 分别为函数f x f (x , y ) 在(x 0, y 0) 处对x , y 的偏导数。
z =f (x , y ) 在D 内任意点(x , y ) 处的偏导数记为：
'(x , y ) =f x
∂f (x , y ) ∂z
==z 'x
∂x ∂x
'(x , y ) =f y
㈣. 全微分：
1. 定义：z=f(x,y)
∂f (x , y ) ∂z
==z 'y
∂y ∂y
若∆z =f (x +∆x , y +∆y ) -f (x , y )
=A ∆x +B ∆y +o (ρ)
其中，A 、B 与∆x 、∆y 无关，o （ρ）是比
ρ
=∆x 2+∆y 2较高阶的无穷小 量。
则:dz =df (x , y ) =A ∆x +B ∆y 是z =f (x , y ) 在点(x,y)处的全微分。
3.
全微分与偏导数的关系
'(x , y ), f y '(x , y ) 连续，定理：若f x (x , y ) ∈D .
则：z =f (x , y ) 在点(x , y ) 处可微且
'(x , y ) dx +f y '(x , y ) dy dz =f x
㈤. 复全函数的偏导数：
z 1. 设：
=f (u , v ), u =u (x , y ), v =v (x , y )
∴z
=f [u (x , y ), v (x , y ) ]
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
则=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
=⋅+⋅
∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
2.
设y =f (u , v ), u =u (x ), v =v (x )
∴y =f [u (x ), v (x )]
dy ∂y du ∂y dv =⋅+⋅dx ∂u dx ∂v dx
'F y 'F x ∂z ∂z
则=-, =-
'∂y '∂x F z F z
2.
㈥. 隐含数的偏导数：
1.
设F (x , y , z ) =0, z =f (
'≠0设F (x , y ) =0, y =f (x ), 且F y
则
' F x dy
=-
'dx F y
㈦. 二阶偏导数：
∂2z ∂∂z
''(x , y ) =f xx =() 2
∂x ∂x ∂x
∂2z ∂∂z
''f yy (x , y ) ==() 2
∂y ∂y ∂y
∂2z
''(x , y ) =f xy
∂x ∂y ∂2z
''(x , y ) =f yx
∂y ∂x
=
∂∂z
() ∂y ∂x ∂∂z
() ∂x ∂y
=
''(x , y ) 和f yx ''(x , y ) 为x , y 的连续函数时，结论：当f xy
''(x , y ) =f yx ''(x , y ) 则：f xy
㈧. 二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：
设z (x , y ) 在(x 0, y 0) 某一个邻域内有定 若z (x , y ) ≤z (x 0, y 0), [或z (x , y ) ≥z (x 0, y 0) ]
则称z (x 0, y 0) 是z (x , y ) 的一个极(或极小大) 值,
称(x 0, y 0) 是z (x , y ) 的一个极大(或极小) 值点。
☆ 极大值和极小值统称为极值，
极大值点和极小值点统称为极值点。 2. 极值的必要条件：
若z =f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 有极值，且在(x 0, y 0)
两个一阶偏导数存在，则：
'(x 0, y 0) =0f x '(x 0, y 0) =0 f y
'(x 0, y 0) =f y '(x 0, y 0) =0★1 使f x 的点(x 0, y 0) ，
称为z =f (x , y ) 的驻点。
2 定理的结论是极值存的在必要条件而非充分条件。，
例：z =y
2
-x 2+1
⎧x 0=0
解出驻点⎨
⎩y 0=0
z 'x =-2x =0z 'y =+2y =0
z (0, 0) =1
当x =0, y ≠0时，z (0, y ) =y 2+1>1
当x ≠0, y =0时，z (x , 0) =-x 2+1
∴驻点不一定是极值点。 4. 极值的充分条件：
设：函数y =f (x , y ) 在(x 0, y 0) 的某个领域内
有二阶偏导数，(x 0且, y 0) 为驻点 ，
若：p =
[f ''(x
xy
0, y 0)
]
2
''(x 0, y 0) ⋅f yy ''(x 0, y 0) -f xx
''(x 0, y 0)
当：p
''(x 0, y 0) >0时，⇒f (x 0, y 0) 为极小值。⎩f xx
当：p >0, ⇒f (x 0, y 0) 不是极值。
当：p =0, ⇒不能确定。求二元极值的方法：
1. 求一阶偏导数，令2个一阶偏导数等于零，解出驻点。 2. 求出P ，根据极值的充分条件，判断驻点是否是极值点。 3. 若驻点是极值点，求出极值。
二倍角公式：(含万能公式) ①sin 2θ=2sin θcos θ= 2tg θ 1+tg 2θ
221-tg 2θ②cos 2θ=cos θ-sin θ=2cos θ-1=1-2sin θ= 1+tg 2θ22
③tg 2θ=2tg θ
21-tg θ tg 2θ1-cos 2θ④sin θ==1+tg 2θ22 ⑤cos 2θ=1+cos 2θ
2
21