秦九韶算法的教学价值_冯克永
·教材教法
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(2011年第3期·高中版)
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秦九韶算法的教学价值
237400
安徽霍邱县第一中学
冯克永
《数学3》人教A 版介绍了秦九韶算法:n 次多项式f (x ) =a n x n +a n －1x n －1+…+a 1x +a 0．当x
=x 0
时，令
v 0
=a n ，通过公式
大提高了运算效率．这种转化思想及递归法(此法是秦九韶算法与计算机整合的纽带) 在数学中既重要又常用．3
应用价值
递归法激活笔者的联想思维，在解决某些数列求项
(k =1，2，…，n ) ，
问题时，借助此法可使求解过程化繁为简，曲径通幽．现举例说明，供参考．
例1
a 1=m ，a n =pa n －1+q (n ≥2) ，m ，数列{a n }中，
{
1
v 0=a n ，v k =v k －1x 0+a n －k
可求出f (x 0) 的值为v n ．
它是我国古代数学中的著名算法，本文将从三个方面介绍该算法的教学价值．
德育价值
南宋数学家秦九韶(约1202—1261) 是我国古代数《数书九章》学家的杰出代表之一，他的概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当“正负开方术”，完备的和“大衍求一术”对数学发展产生了广泛的影响．秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家，他被美国当代数“他那个民族，那个时代，并且确实学史学家萨顿称为是
．秦九韶算法与计也是所有时代最伟大的数学家之一”
更彰显了秦九韶算法思想的算机整合具有划时代意义，魅力．
以上介绍，可培养学生的爱国主义思想和民族自尊心和自信心，养成踏实的学风，实事求是的科学态度等．2
思想价值
秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值
n
转化为求n 个一次多项式的值，即把求f (x ) =a n x +
p ，q 均为非零常数且p ≠1，求通项a n ．
a n =pa n －1+q (n ≥2) 析与解观察本例的条件a 1=m ，
n －1n －2n －3
可构造多项式f (x ) =mx +qx +qx +…+qx +q ，
n －1n －2n －3
从而得到a n =f (p ) =mp +qp +qp +…+qp +q
n －1
=mp 例2通项a n ．
1－p n －1+q．1－p
a 1=2，a n =2a n －1+2n (n ≥2) ，数列{a n }中，求
析与解≥2)
a n =2a n －1+2n (n 观察本例的条件a 1=2，
可构造多项式
f (x ) =2x n －1+22x n －2+23x n －3+…+2n －1x +2n ，
n n n n n
从而得到a n =f (2) =2+2+2+…+2=n ·2．
例3通项a n ．
a 1=1，a n =2a n －1+n (n ≥2) ，数列{a n }中，求
析与解a n =2a n －1+n (n ≥观察本例的条件a 1=1，
2) 可构造多项式
f (x ) =x n －1+2x n －2+3x n －3+…+(n －1) x +n ，
n －1
+2·2n －2+3·2n －3+…从而得到a n =f (2) =2
a n －1x n －1+…+a 1x +a 0的值转化为求递推公式
+(n －2) ·2+n ，
n n －1
+3·2n －2+…+2n . ①ˑ 2得2a n =2+2·2
①②
{
v 0=a n ，v k =v k －1x 0+a n －k
(k =1，2，…，n ) 中的v n 值．通过这种转
n n －1
+2n －2+…+2－n =②－①得a n =2+2
(1+n ) n
化，把运算的次数由至多次乘法运算和n 次加
2法运算，减少为至多n 次乘法运算和n 次加法运算，大
2(1－2n )
－n =2n +1－n －2．
1－2
(收稿日期:20110104)