抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用22

抛物线的弦中点与弦长的相关性质及运用

龙胜

（吉首大学数学与计算机科学学院, 湖南 吉首 416000）

摘 要：本文总结并证明了抛物线的焦点、弦中点、弦长以及弦所在直线的方程的一

些相关性质，比如利用抛物线中有一弦过焦点, 且弦长已知, 求此弦中点坐标. 而本文避开了要将直线方程代入抛物线方程, 得出一个一元二次方程, 再应用韦达定理求出x 1-x 2所带来的麻烦.

关键词：抛物线; 焦点; 弦长; 弦所在直线方程.

The midpoint and string string parabola related properties

and application. Long

Long Sheng

(Department of Mathematics and Computer Science JiShou Hunan 416000)

Abstrac t: In this paper we summarizes and prove some property of the focus of a

parabola,median point of the chord,the length of the chord and the equation of the straight line which the chord in.In order to get the median point of chord,we substitute the equation of the straight line into the eauation of the parabola, then get a quadratic equation of one variable.With the

help of Vieta theorem we can get the anser. Here we attempt to avoid such trouble.

Key words:Parabola; focus; Chord;Linear equation

一、过焦点的弦的性质

为了行文方便, 我们假定用Δ表示一元二次方程的判别式且p ＞0. 定理1 设抛物线y 2=2p (x +H) ，（H∈R ）中有一弦过焦点, 且弦长为m,

则弦的中点坐标(

m -p -2H

2

2

或(

m -p -2H

2

, -

2

.

证 设过焦点F (

p -2H2

, 0) 且弦长为m 的弦的中点为C (x 0, y 0) , 弦的端点分

别为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) .

(I)当(x 1=x 2) 时, 则弦AB 与x 轴垂直, 此时弦长AB 为最短. 将x =

p -2H2

代

入y 2=2p (x +H) 得，y 2=p 2, y =±p , AB=2p ，故m ≥2p 当m=2p 时, 过焦点的弦的中点即为焦点F (

p -2H2

, 0) , 于是定理成立.(II)不失一般性, 设

x 1

y =2p (x +H)....... (1)

2

y =

x 0-

y 0p -2H2

(x -

p -2H2

)......(2)

AB=m .....(3)

由(2)得x =

2x 0-p +2H

2y 0y +p

2

y +

p -2H2

)

…(2′). 由(1)、(2′) 得

y =

2

p (2x 0-p +2H)

y 0

. 即 y 2-

p (2x 0-p +2H)

y 0

y -p =0…(4)

2

由(4)得y 1+y 2=

p (2x 0-p +2H)

y 0

, 2y 02=(2x 0-p +2H) p …(5)

于是方程(4)化为y 2-2y o y -p 2=0…(4′

)

∆=4(y o +p ), y 2-y 1=

x 2-x 1=

(2x o -p +2H) p

2y o p

2

2

2

22

=由(2′) 及(5)得

(y 2-y 1) =

(x 2-x 1) +(y 2-y 1) =

y 0+p p

2

2

∆=

4(y o +p )

p

2

22

=m ,

2

2(y 0+p ) =m p , y 0=

222

p (m -2p )

2

≥

0, y 0=±

2

, 由(5)式得

x 0=

m -p -2H

2

,

所以弦中点的坐标为(

m -p -2H

2

, ±

2

.

图1 注：

1·在上面弦的中点坐标公式中, 易见当m =2p (即弦过焦点且与x 轴垂直时) 中点坐标就变为(

p -2H2

, 0) ，中点即为焦点, 因此(I)是(II)的特殊情形.

2·从图1中可以看出, 当m ＞2p 时, 长为m 的弦有两个中点.

3·在定理1中, 如果将方程y 2=2p (x +H) 改为y 2=-2p (x +H) , 则结论改

为(

p -2H-m

2

2

·

, ±

定理2 如果抛物线y 2=2p (x ) 中有一弦的中点坐标

是

m -p -2H

2

2

或(

m -p -2H

2

2

(, -. 则此弦必过抛物线

的焦点, 且弦长为m.

证明 我们仅讨论抛物线y 2=2p (x +H) 的情形, y 2=-2p (x +H) 类似讨论. 设此弦的端点坐标分别为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) 我们仅就C 点坐标为

(

m -p -2H

2

2

加以证明

, (

p -2H-m

2

, -

2

类似可证.

由假设有

x 1+x 2=m -p -2, y 1+y 2 (I)当m >2p 时 由

y 2-y 1=2p (x 2-x 1) 得

,

2

2

y 2-y 1x 2-x 1

=

=

=

…(6) 由此得弦AB

的方程

为y -

m -2p 2

2

x -

m -p -2H

2

) …(7).令y =0, 得

-=x -

m -p -2H

2

, x =

p -2H2

, 即弦AB 必过焦点F (

m m -2p

p -2H2

, 0) . 由(6)式

得(y 2-y 1) 2+(x 2-x 1) 2=(

2p (m -2p )

4

2p m -2p

2p m -2p

+1)(x 2-x 1) =

2

2

(x 2-x 1) …(8).由(7)式得

y =

2

+(x -

m -p -2H

2

) +2p (x -

2

m -p -2H

2

) =2p (x +H) ,

化简得 x -(m -p -2H) x +

2

p

2

4

+H(m -p -H) =0, ∆=(m -p -2H) -p -

22

4H(m -p -H) =m (m -2p )

≥0, 由此得 (x 2-x 1) 2=∆=m (m -2p ) , 代入(8)式

得, (x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2=m 2, AB=m .(II)当m =2p 时, 则中点坐标为

(p -H

2

p 2, y 1), (

, 0·) y 1+y 2=

p 2

2

=0, 即y 1=-y 2, 此时弦AB 垂直于x 轴, 将

(

, -y 1) 代入y =2px 得y 12=p 2, y 1=±p , 从而AB=2p =m ·

注 从定理2、3的证明过程中不难看出, 中点坐标中只需取一个, 定理便成

立, 下面出现的类似性形, 按此注理解.

2p (x H) 中有一弦的中点坐标

是定理3 如果抛物线y 2=-

p -2H-m

2

2

p -2H-m

2

2

(或

(

, -. 则此弦必过抛物

线的焦点, 且弦长为m.

由定理1、2、3可得·

定理4 在抛物线（y 2=2p (x +H) 或y 2=-2p (x +H)

中

为

m (m

≥2p ) 的必要且充分条件是此弦的中点坐标

为

2

) p -2H-m

(-,

2

2

(

m -p -2H

2

·则此弦必过抛物线的)

)

焦点, 且弦长为m.

仿定理1和定理2、3易证·

定理 5 在抛物线x 2=2p (y +H) 中, 过焦点且弦长为m (m ≥2p ) 的必要且充

分条件是此弦的中点

坐标为

m -p -2H

) 或（-22

2p -m -2H

. ）

2

定理 6在抛物线x 2=-2p (y +H)) 中, 过焦点且弦长为m (m ≥2p ) 的必要且

充

分条件是此弦的中点

坐标为

m -p -2H

) 或（-22

2p -m -2H

）

2

二、求抛物线的弦长和已知弦长求弦所在直线方程问题. []

2

除用一般的常规解法外, 不少资料中又给出了弦长公式d =1-x 2. 然而要求公式中的x 1-x 2, 还是避开不了要将直线方程代入抛物线方程, 得出一个一元二次方程, 再应用韦达定理求出x 1-x 2所带来的麻烦. 为了解决这一问题.

设直线y =k x +b (k 是常数, 且k ≠0) 与抛物y 2=2p (x +H) (p ＞

0) 相交于A , B 两点则A B =

证明 设点A 、B 的坐标为(x 1, y 1) 、(x 2, y 2) ，y =kx +b 代入抛物线方程

y =2p x , 消y

2

整理得k 2x 2+2(b k -p ) x +b 2-2H=0. 因为直线与抛物线有两

个不同的交点, ∴∆＞0, 即4(bk -p ) 2-4k 2b 2+8p Hk 2＞0, 得

p -2pbk +2p Hk ＞0.

2

2

∵ x 1+x 2=-

2(bk -p )

k

2

, x 1x 2=

b -2p H

k

2

2

,

∴x 1-x 2===

=

故AB=同理可得:

=

当抛物线方程为y 2=-2p (x +H) (p ＞0) 时

,

AB=

当抛物线方程为x 2=2p (y +H) (p ＞0) 时

,

AB=p y +H）当抛物线方程为x 2=-2（(p ＞0) 时

,

AB=若直线y =kx +b (k 是常数, 且k ≠0) 过抛物线的焦点, 或顶点时, 应用公式(1)、(2)、(3)、(4)易分别得出如下推论:

推论7 过抛物线y 2=±2px (p ＞0) 的焦点F, 与抛物线相交于A,B 两点, 则

AB=2p (1+

1k

2

)

推论8 过抛物线x 2=±2py (p ＞0) 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B 两点, 则AB=2p (1+k 2)

推论9 过抛物线y 2=±2px (p ＞0) 的顶点, 且与抛物线交于另一点A, 则

OA=

推论10 过抛物线x 2=±2py (p ＞0) 的顶点, 且与抛物线交于另一点A, 则

OA=2pk 例1 在抛物线x 2=6(y -1) 中, 有一长为8的弦, 求:(1)若此弦过焦点, 求此弦的中点坐标.(2)若此弦的中点是(4,3) , 问此弦是否过焦点?

解由已知p =3m , =

2

设8

中点为(x 0, y 0) (1)由定理

=3.5,

即中点为(3.5)

4得

x 0=±

=, y 0=

8-3+2⨯2

(2)由(1)

知(4,3) ≠(3.5) , 由定理4知, 此弦不过焦点.

例2 已知直线y =x -1与抛物线y 2=2x (p＞0) 相交于A,B 两点, 且|AB|=8,求抛物线方程.

解 由已知条件可知k =1, b =-1.

应用推论(1),

可得=8. 解方程得p =2, p =-4 (舍去). 所以抛物线方程为y 2=4x .

例3 已知直线l 过点(0,-3)与抛物线x 2=-12y 相交于A 、B 两点, 且|AB|=36,求直线l 程.

解 由已知条件易得p =6, 因为直线l 过(0,3) , 设直线l 方程为y =kx -3, 应用推论(4),

可得=36, 解方程得

k =故直线l

方程为

y =

-

3或y =3.

1

三、不过焦点的弦的性质[]

定理11 在抛物线y 2=2p (x +H) (相应地y 2=-2p (x +H) ) 中, 若 一弦被点M(s,t)或M ′(s,- t)所平分, 则此弦必过点

(s -

t

2

p

, 0) (相应地(s +

t

2

p

, 0) ), 且弦长为

p

(

p

·

证明 我们仅就y 2=2p (x +H) 证明(y 2=-2p (x +H) 类似可证) · 设弦的端点分别为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) .S(I)当t =0时, 则

x 1+x 2=2s y 1+y 2=0

于是y 1=-y 2, y 2-y 1=2p (x 2-x 1) =0, 即x 1=x 2, 2x 1=2s , x 1=s =s -

2

2

t

2

p

, 此时AB

⊥x 轴, y 12=2px 1=

2ps ,

y 1=y 2=

AB=y 2-y 1

==

p

即定理成立.(II)设t ＞0, 我们仅证弦过点M(s,t)的情形(点M ′(s,-t)的情形类似可证), 则

x 1+x 2=2s y 1+y 2=2t

p t

.y 22-y 12=2p (x 2-x 1),

p t

y 2-y 1x 2-x 1

=

2p y 2+y 1

=

p t

. 则弦AB 的方程为

t

2

y -t =(x -s )

, 即 y =

(x -s ) +t

…(9).又令y =0,则x =s -

p

, 即弦过点

(s -

t

2

p

, 0) ·AB=

=

2-x 1

…(10)

y =

2

p t

2

2

(x -2sx +s ) -2p (x -s ) +t =2px ,

2

2

2

化简得x -2sx +(

2

ps -t p

2

) =0…(11) 记∆=(-2s ) -4(

22

ps -t p

2

) =

2

4t p

2

(2ps -t ) ,

2

∵t ＞0, 则x 1≠x 2, 于是2ps -t ＞0. 由(11)

式得x 2-x 1=

2

p

由(10)式

得m =AB=

p

2

(12).

t

2

定理12 设抛物线y =2p (x +H) (相应地y =-2p (x +H) ) 过点(s -

t

2

2

p

, 0)

相应地(s +

p

,

0, ) 且弦长

为

p

2

p(相应

地

t )

p

), 则此弦必被点M(s,±t) 所平分.

p 2s )

证明 我们仅就y 2=-2p (x +H) 加以证明(y 2=2p (x +H) 类似讨论) ·设此

弦的端点为A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) (A'(x 1', y 1'), B'(x 2', y 2') ) 类似讨论), 易见s +0, 即t 2＜-ps (ps +t 2＜0).

(I)当x 1=x 2时, 则AB ⊥x 轴. 于是x 1=x 2= s +

t

2

2

) =-2ps -

2t . y 1,2=

t

2

p

＜

t

2

p

, 将x =s +

t

2

p

代入得

y =-2p (s +

2p

由AB==

p

|,得t 2(p 2-t 2-2ps ) =0·

∵ps +t 2＞0,s ＜0, ∴-2ps -t 2＞-ps -t 2＞0, 从而t 2(p 2-t 2-2ps ) ＞0, ∴t =0, 于是s +

t

2

p

=s , 此时(s , t ) 与(s , 0) 重合(s , ±t ) 即为(s , 0) , 即弦AB 的中点为(s , 0) , 因

此x 1=x 2时定理成立.

(II)x 1≠x 2时, 此时弦AB 不垂直于x 轴, 设弦的中点为(a,b),其斜率为k, 易见k ≠0, 则AB 的方程为y =k (x -s -

k

2

t

2

p

) …(13)

由

y =k (x -s -y =-2px

2

p 得, y =k [x -(s +

)

22

k

2

p

)]=-2px , 化简得,

2

x -2(s +

2

t

2

p t

2

-

p k p k

2

) x +(s +2

t

2

p t

2

) =0…(14)

2

∆=4(s +

p

-) -4(s +

2

p

) =

2

4p k

2

(

p k

2

-2s -

2t p

2

) , 由于方程(14)有两个实根, ∴

Δ>0,即

t

2

p k

2

-2s +

2t p

2

＞0. 由韦达定理和(13)式得

t

2

x 1+x 2=2(s +

p

-

p k

) =2a , y 1+y 2=k [x 1+x 2-2(s +2

p

)]=-

2p k

=2b ,

于是

a =s +b =-

p k

t

2

p

-

p k

2

,

即 a =s +

t

2

p

-

p k

2

＜0. b =-

p k

…

(15).x 2-x 1=y 2-y 1=p b

22

(x 2-x 1) +(y 2-y 1) =(1+k ) ∆=(1+

222

) ∙

4p p

2

b

2

(

p p

2

b

2

-2s -

2t p

2

)

=

b +p b

2

22

∙

4b p

2

∙

b -2ps -2t

p

2

2

22

4(p +t )(-2ps -2t )

p

2

2

2

2

即有

4(b +p )(b -2ps -2t )

p

2

22

=

由上式得

b -2b ps -2b t +p b -2p s -2p t =-2p s -p t -2pst -t

2

2

2

2

3

22

2

4

4

2

22

2

2

3

22

4

即

2ps (t -b ) -p (t -b ) +(b -2b t +t ) =(t -b )(2ps -p +t -b ) =0,

2

2

2

2

2

2422

2

2

由a =ps +t -b ＜0, s ＜0, 得

2

2

2ps -p +t -b

2

=ps +(ps +t 2-b 2) -p 2＜0,

∴b =±t ,

若b =t , 则由(15)式得a =s ，此时(a , b ) 为(s , t ) , 若b =-t , 由(15)式得a =s , 此时

(a , b ) 为(s , -t ) 即弦

AB 被点(s , ±t ) 所平分. 由定理11和定理12可得:

定理13 抛物线y 2=2px (相应地y 2=-2px ) 中有一弦 被点(s , t 或) （s,-t ）所平分的充要条件是此弦必过点(s -

2

t

2

p

, 0) (相应地

(s +

t

p

, 0),

) p

(

p

).

下面我们把过焦点的弦的性质与不过焦点的弦的性质做比较, 我们仅讨论抛

-物线y =2p (x

2

A ) 的情形. 若令s -

t

2

p

=

p 2

, 则s =

t

2

p

+

p 2

, 2ps =2t +p

22

将

2ps =2t +p

22

代入定理7中弦长公式,

得m =

p

=

2(p +t )

p

22

于

是

m -p 2

12(p +t ) 2p +2t -p p t =(-p ) ==+

=s 2p 2p 2p

2

2

2

2

2

2

2

=

=t , 即定理5是定理13的特殊情形. 由定理

11定理12的证明可得:

定理14 抛物线x 2=2p (y +H) (相应地x 2=-2p (y +H) ) 中一弦被点

(-s , t )或(s , t )所平分的充要条件是此弦必过(0,t -

为

p

s

2

p

) (相应地(0,t +

s

2

p

) ), 且弦长

相应地

p

). 以上就是本文对抛物线的

弦中点与弦长的相关性质的证明及运用.

参考文献：

[1]张德明. 周世武. 抛物线的弦的中点与弦长及面积的有关性质[N].成都教育学院学报,2005,(03)

[2]廖炳江. 求抛物线弦长的一个公式[J].数学教学研究,1999,(04) [3]王景斌. 抛物线弦的中点问[J].数学教学研究,1999,(05)

[4]张勇. 抛物线的弦所在直线的方程[J].数学教学研究,2006,(03)

[5]张振国. 抛物线的弦所在直线的方程及其应用[J].数学教学研究,1988(z2) [6]吴惠平. 抛物线顶点式的应用[J].中学生数理化(初中版)(中考版),2006,(05) [7]姚立宏. 刘兴培. 关于抛物线焦点弦的若干结论[J].高中数学教与学,2003,(07) [8]刘先锋. 陆汉俊抛物线焦点弦有关性质的探究[J].高中数学教与学, 2004,(04) [9]裴金楼. 抛物线焦点弦的几条性质[J].数理天地.(高中版),2007,(10) [10]叶忠国. 利用韦达定理求弦长[J].襄樊职业技术学院学报, 2008,(06)

11