处理平衡问题的方法

（1）注意“死节”和“活节”问题。

【例题】如图所示，长为5m 的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N 的物体，平衡时，问：

①绳中的张力T 为多少

②A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力如何变化?

【例题】如图所示，AO 、BO 和CO 三根绳子能承受的最大拉力相等，O 为结点，OB 与竖直方向夹角为θ，悬挂物质量为m 。

①OA 、OB 、OC 三根绳子拉力的大小 。

②A 点向上移动少许，重新平衡后，绳中张力如何变化？

★解析：例19中因为是在绳中挂一个轻质挂钩，所以整个绳子处处张力相同。而在例20中，OA 、OB 、OC 分别为三根不同的绳所以三根绳子的张力是不相同的。不少同学不注意到这一本质的区别而无法正确解答例19、例20。

对于例19分析轻质挂钩的受力如图35所示，由平衡条件可知，T 1、T 2合力与G 等大反向，且T 1=T2， 所以T 1sin α+T2sin α=T3=G 即T 1=T2=

G

，而AO.cos α+BO.cosα= CD，所以

2sin α

cos α=0.8 sin α=0.6， T 1=T2=10N

同样分析可知：A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角，绳中张力均保持不变。

而对于例20分析节点O 的受力，由平衡条件可知，T 1、T 2合力与G 等大反向，但T 1不等于T 2，所以T 1=T2sin θ，G=T2cos θ

但A 点向上移动少许，重新平衡后，绳OA 、OB 的张力均要发生变化。如果说绳的张力仍不变就错了。

【例题】如图1-17（a ）所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳两端分别系于A 、B 两点上，

1

一物体用动滑轮悬挂在绳子上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ1，绳子张力为F 1；将绳子一端由B 点移动C 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ2，绳子张力为F 2；再将绳子一端由C 点移至D 点，待整个系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为θ3，绳子的张力为F 3，不计摩擦，则（ ） A ．θ1＝θ2＝θ3 B ．θ1＜θ2＜θ3 C ．F 1＞F 2＞F 3 D ．F 1＝F 2＜F

3

★解析：滑轮和绳上都无摩擦，所以两边绳子中的拉力相等，故两绳与竖直方向的夹角也相等，如图1-17（b ）所示，设动滑轮和物体的总质量为m ，A 、B 或A 、C 两点的水平距离为d ， A 、D 两点的水平距离为d '，线总长为l 。当绳系B 点时，将BO 延长至与竖直壁的延长线交于C 点，由几何知识可知OA=OC，则绳与竖直方向的夹角为α=则F 1=

mg

2cos α

θ1

2

=arcsin

d ，l

同理，当绳系C 点时，绳与竖直方向的夹角β=α，即θ2=θ1，F 2＝F 1。 当绳系D 点时，绳与竖直方向的夹角为γ=

θ3>θ2=θ1。由F 3=

θ3

2

=arcsin

d '

，因d '>d ，则γ>β=α，即l

mg

得F 3>F 2=F 1，所以选D 。 2cos γ

答案：D

点评：本题中的绳子从B 点移到C 点的物理情景同学们非常熟悉，它考察了力的平衡知识和平面几何知识问题；而本题新增把绳子从C 点移到D 点的变色，考察了同学们是否真正领会该题的思维精髓。所以学习应融会贯通，旧瓶装新酒（陈题改造）也是考察同学们能力的一种高考题源。

（2）“死杆”和“活杆”问题。

【例题】如图37所示，质量为m 的物体用细绳OC 悬挂在支架上的C 点，轻杆BC 可绕B 点转动，求细绳AC 中张力T 大小和轻杆BC 受力N 大小。

2

【例题】如图38所示，水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有小滑轮B ，一轻绳一端C 固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m=10kg的重物，∠CBA =30︒，则滑轮受到绳子作用力为：

C

300

A ．50N B ．503N C ．100N D ．1003N

★解析：对于例21由于悬挂物体质量为m ，绳OC 拉力大小是mg ，将重力沿杆和OA

0t θ。 方向分解，可求T =mg /sin θ；N =mgc

对于例22若依照例21中方法，则绳子对滑轮N =mgc 0t θ=N ，应选择D 项；实际不然，由于杆AB 不可转动，是死杆，杆所受弹力的方向不沿杆AB 方向。由于B 点处是滑轮，它只是改变绳中力的方向，并未改变力的大小，滑轮两侧绳上拉力大小均是100N ，夹角为120︒，故而滑轮受绳子作用力即是其合力，大小为100N ，正确答案是C 而不是D

3、整体法：

当系统有多个物体时，选取研究对象一般先整体考虑，若不能解答问题时，再隔离考虑 【例题】有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑。AO 上套有小P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力F N 和摩擦力f 的变化情况是（B ）

A ．F N 不变，f 变大 B ．F N 不变，f 变小

3

C ．F N 变大，f 变大 D ．F N 变大，f 变小

【例题】用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a 持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（A ）

a

b

A B C D

【例题】所示，质量为M 的直角三棱柱A 放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ。质量为m 的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A 和B 都处于静止状态，求地面对三棱柱支持力和摩擦力各为多少？

★解析：N=（M+m）g f=F=mgtanθ

【例题】如图1-8(a)所示，两个质量均为m 的小球A 、B

用轻杆连接后，斜放在墙上处于平衡状态，已知墙面光滑，水平地面粗糙。现将A 向上移动一小段距离，两球两次达到平衡，那么将移动后的平衡状态与原来的平衡状态比较，地面对B 球的支持力F N 、和轻杆上的压力F 的变化情况为( )

A ．F N 不变、F 变大 B ．F N 不变、F 变小 C ．F N 变大、F 变大 D ．F N 变大、F 变小 ★解析：方法一：隔离法

本题有两个研究对象，可先分别对A 球、B 球隔离法分析，如图1-8(b)所示，因A 球受力平衡可得：F cos θ=mg ①

4

将A 向上移动一小段距离，即θ角减小，所以F 减小。因B 球受力平衡可得：F N =mg +F 'cos θ②，F '=F ③由①②③得：F N =2mg 与θ角无关，故F N 不变，选B 。 方法二：整体法

将A 、B 两球看作一整体受力情况如图1-8(c)所示，因整体静止，故在竖直方向有：F N =2mg ，即F N 不变；而F 为整体的内力，故在整体法中得不出F 的变化情况，只有对某一单体隔离受力分析后，才能得出F 的变化情况。 答案：B

【例题】如图所示，四个木块在水平力F 1和F 2作用下静止于水平桌面上，且F 1=3N，F 2=2N，则：(ABD)

A ．B 对A 的摩擦力大小为3N ，方向与F 2相同 B ．B 对C 的摩擦力大小为3N ，方向与F 1相同 C ．D 对C 的摩擦力大小为1N ，方向与F 2相同 D ．桌面对D 的摩擦力大小为1N ，方向与F 2相同

【例题】（2008年海南）如图，质量为M 的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m 的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F 沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为：（D ）

A ．（M +m ）g B ．（M +m ）g －F C ．（M +m ）g +F sin θ D ．（M +m ）g －F sin θ

【例题】物体B 放在物体A 上，A 、B 的上下表面均与斜面平行（如图），当两者以相同的初速度靠惯性沿光滑固定斜面C 向上做匀减速运动时，（C ）

5

A ．A 受到B 的摩擦力沿斜面方向向上。 B ．A 受到B 的摩擦力沿斜面方向向下。 C ．A 、B 之间的摩擦力为零。

D ．A 、B 之间是否存在摩擦力取决于A 、B 表面的性质。

【例题】如图所示，人的质量为60kg ， 人所站立的木板质量为40kg ，人用100N 的水平拉力拉绳时，人与木板保持相对静止，而人和木板恰能作匀速直线运动。求：人受到的摩擦力和木板地面的动摩擦因数（g =10N/kg）。

★解析：100N 0.2

【例题】两个半径均为r 、质量均为m 的光滑圆球，置于半径为R （r

A ．F D = FA ； B ．F B = 2mg ； C ．F D 可以大于、等于或小于mg ； D ．F C 可以大于、等于或小于mg 。

D

【例题】如图所示，轻绳一端系在质量为m 的物块A 上，另一端系在一个套在粗糙竖直杆MN 的圆环上．现用水平力F 拉住绳子上一点O ，使物块A 从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动．在这一过程中，环对杆的摩擦力F 1和环对杆的压力F 2的变化情况是( b )

A ．F 1保持不变，F 2逐渐增大 B ．F 1保持不变，F 2逐渐减小 C ．F 1逐渐增大，F 2保持不变 D ．F 1逐渐减小，F 2保持不变

6

4．合成分解法

利用力的合成与分解能解决三力平衡的问题，具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力。二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力

【例题】如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一质量为m 的光滑小球，球被竖直的木板挡住，则球对挡板的压力和球对斜面的压力分别是多少？

★解析：

N

【例题】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球．当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比

m 2

为 m 1

2

A ．

3322 B ． C． D ． 3232

★解析：本题有多种解法，正弦定理、相似三角形、正交分解等，此处用正弦定理．受

力分析如图，等腰三角OAB 中，α=60°故∠OAB =∠OBA =60°则有几何关系得：三角形DCA 中，∠CDA =30°，∠DCA =120°由正弦定理有：

2

7

m 2g m 1g

=

sin 30︒sin 120︒

所以：

5．三角形相似法

m 2 正确选项为A =

m 13

“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。在物理中，一般地，当涉及到

矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。

【例题】如图所示，支架ABC ，其中AB =2. 7m ，AC =1. 8m ，BC =3. 6m ，在B 点挂一重物，G =500N ，求AB 、BC 上的受力。

★解析：受力分析如图2所示，杆AB 受到拉力作用为这两个力的合力与重力G

等大反向，显然由矢量

相似，由对应边成比例得

，杆BC 受到支持力为

，

构造的三角形与图中

AB BC AC

： ==

T AB T BC G

，

把AB =2. 7m ，AC =1. 8m ，BC =3. 6m 代入上式，可解

得

。

【例题】如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑

小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F 缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N ，则N ，F 的变化情况是：（ B ）

A ．都变大； B ．N 不变，F 变小； C ．都变小； D ．N 变小， F 不变。

【例题】如图所示竖直绝缘墙壁上的Q 处有一固定的质点A ，Q 正上方的P 点用丝线悬挂另一质点B ， A 、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电

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使A 、B 两质点的带电量逐渐减小。在电荷漏完之前悬线对悬点P 的拉力大小:（A ）

Q A ．保持不变； B ．先变大后变小； C ．逐渐减小； D ．逐渐增大。

【例题】如图所示，轻杆BC 一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C ，重物系一绳经C 固定在墙上的A 点，滑轮与绳的质量及摩擦均不计若将绳一端从A 点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则（ C ）

A ．轻杆与竖直墙壁的夹角减小 B ．绳的拉力增大，轻杆受到的压力减小 C ．绳的拉力不变，轻杆受的压力减小 D ．绳的拉力不变，轻杆受的压力不变

【例题】如图所示，小圆环重G ，固定的竖直大环的半径为R 。轻弹簧原长为L （L

★解析：小球受力如图所示，有竖直向下的重力G ，弹簧的弹力F 圆环的弹力N ，N 沿半径方向背离圆心O ．

利用合成法，将重力G 和弹力N 合成，合力F 合应与弹簧弹力F 平衡观察发 现，图中力的三角形△BCD 与△AOB 相似，设AB 长度为l 由三角形相似有：

AO mg R mgl = = ，即得F = F l R AB

另外由胡克定律有F = k（l-L ），而

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联立上述各式可得：cosφ =

kL kL

φ = arcos2(kR-G)2(kR-G)

【例题】如图所示，一轻杆两端固结两个小球A 、B ，m A =4mB ，跨过定滑轮连接A 、B

的轻绳长为L ，求平衡时OA 、OB 分别为多长？

★解析：L1=L/5；

L2=4L/5

B

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