应用数学数学专业调查报告

大学数学中的数形结合思想

Several of the middle school Mathematics

form combining ideas

姓 名： 张晓锐 学 号： 学 院： 专 业：指导老师：完成时间：

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蚌埠学院

数学与应用数学

冯海亮

2017年2月23日

大学数学中的数形结合思想

【摘要】数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一。它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。正如我国著名数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述:“数以形而直观，形以数而入微”。我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在大学数学中的应用：（1）在二重积分上的应用（2）在三重积分上的应用。通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识．

【关键词】大学数学 数形结合 应用 思想方法

Several of the university school Mathematics form

combining ideas

【Abstract 】 In the uiversity school mathematics has lots of mathematical methods,

including several form combining ideas middle school mathematics is one of the most important methods, it will algebra and geometry, and the combination of using several shape transformation between, be helpful for analysis problem of the relation between the quantity, rich imagination, change numerous hard things simple, easy, on the one hand, graphic nature of many of the abstract will math concepts and visual and quantitative relationship between simplified, give a person with intuitive enlightenment. On the other hand, will graphics problem into the algebra problem, in order to obtain the accurate conclusions. Improve the analysis and problem solving ability so as to achieve simple problem solving method, the final convenient our problem solving. I will from the following several aspects to discuss several form combining ideas university school mathematics in the application: (1) the application of double integral; (2) the application of three integral(, domain in its application. Through the analysis, comparison and induction show several form combining ideas of problem in the characteristic and advantages, which in actual teaching will form together with several ideas to the classroom, training students' strengthen the consciousness of combining ideas number form.

【Key words 】 school mathematics Several form combined with An

application example Thought method

目录

1 引言.............................................................. 4 2 数形结合思想的概念................................................ 5 3 数形结合思想在大学数学中的应用.................................... 6

3.1 树形结合在二重积分上的应用

3.2 数形结合在三重积分上的应用............................... 6 3.3 数形结合思想解决最值、值域问题 .............................. 9 3.4 数形结合思想在解析几何中的应用 ............................. 10 4 培养学生数形结合思想的一些教学措施............................... 11 结束语............................................................. 13 参考文献........................................................... 13

1 引言

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．中学阶段的基本数学思想包括：分

类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等．中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能．在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程．

一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的．而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系．例如函数图象与函数表达式之间的关系．

对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩．那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？

2 数形结合思想的概念

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等．

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化

了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野．

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果．

3 数形结合思想在中学数学中的应用

3.1 数形结合思想在重积分上的应用

3.1 数形结合在二重积分上的应用

例1. 计算I =⎰⎰(x +y ) d δ，其中D 是由抛物线

D

y =x 2，y =4x 2及直线y =1

围成。

解： I =

⎰⎰xd δ+⎰⎰yd δ，又区域D 关于y 轴对称，如图1所示，

D

D

f (x , y ) =x =-f (-x , y ) f (x , y ) =y =f (-x , y )

∴⎰⎰xd δ=0，⎰⎰y d δ=2⎰⎰y d δ

D

D

D 1

∴I =⎰⎰(x +y ) d δ=2⎰⎰y d δ=2⎰ydy D

D 1

1y y dx =

2 5

例2 计算

⎰⎰x +y )dxdy ，D ={(x , y )

D

x +y ≤2}。

分析：：积分区域既对称于x 轴，又对称于y 轴（如图1），被积函数是x 或y 的一元

偏偶函数． 据定理2、定理3 或推论1 有

⎰⎰(x +

D

y ) dxdy =2

D 1 D 2

⎰⎰(x +

y ) dxdy ，

或者

⎰⎰(x +

D

y ) dxdy =2

D 1 D 4

⎰⎰(x +

y ) dxdy ，

或者

⎰⎰(x +

D

y ) dxdy =4⎰⎰(x +y ) dxdy 。

D 1

此外，积分区域D =D 1 D 2 D 3 D 4, 其中

D 1, D 3与D 2, D 4分别关于原点对称, 被积函数是x , y

的二元全偶函数． 应用定理4 得

⎰⎰(x +

D

y ) dxdy =2⎰⎰(x +y ) dxdy +2⎰⎰(x +y ) dxdy

D 1

D 2

又有定理2，3知⎰⎰(x +y ) dxdy =⎰⎰(x +y ) dxdy

D 1

D 4

，

⎰⎰(x +

D 1

y ) dxdy =

⎰⎰(x +

D 2

y ) dxdy

于是，只要计算在D 1上的积分即可．

3.2 数形结合在三重积分上的应用

x 2y 2

例3 计算⎰⎰x dydz +y dzdx +z dxdy ，其中∑是椭圆柱面2+2=1 介于

a b ∑

2

2

2

z =0和z =3之间的部分的外侧，∑如图所示

解 P (x , y , z )=x 2是x 的偶函数，∑关于yoz 平面对称，

∴⎰⎰x 2dydz =0类似的

∑

Q (x , y , z )=y 2是y 的偶函数，∑关于xoz 平面对称

∴⎰⎰y 2dydz =0

∑

x 2y 2

又∑在xoy 平面上的投影为一椭圆周2+2=1，投影区域

a b

面积为0∴⎰⎰z 2dydz =0

∑

222

x dydz +y dzdx +z dxdy =0 ⎰⎰∑

例4 计算

截下的部分（如图4）. 解 如图4，曲面关于根据定理9知：

，为锥面被曲面所

面对称，而被积函数中与都是的奇函数，

又

，

，

所以

原式

3.3 数形结合思想解决最值、值域问题

利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题．

例5.

已知函数y =

，求函数的最小值．

的结构形式，我们可以联

想到几何当中直线的斜率公式，

x

即

cos θ可以看成过点A (sinθ,cos θ

) 与点B (-1的直线的斜率．

sin θ+1

A 是动点且在圆x 2+y 2=1

上，B 为定点，作出图象，由图可知：BO =2, AO =DO =1，

则∠DBO =∠OBA =30 ，所以圆O 的切线BC 的倾斜角为150 ，

故

ο

． y m i =t a n 15=0n

3

⎧0≤x ≤⎪

例6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D

由不等式⎨y ≤2给定，若M (x , y )

⎪

⎩x ≤

为D 上的动点，点A

的坐标为，则Z =OM ⋅OA 的最大值为（ B ）

（2011年普通高校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科））

A ．3

B ．4

C ．

D ．

解：

(x , y 解之得z +y

观察图形可知当直线y =+z 平移到时，直线与y 轴交点值最大，即z =2⨯1=4

所以z 最大值为4．

许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解．在平时要牢记一些几何意义的概念，如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，这样在解题时才能得心应手．

3.4 数形结合思想在解析几何中的应用

代数与几何结合是解析几何的特点，利用数形结合方法是解解析几何问题的基本方法，借助直线、圆与圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可以从图形中寻求解题思路．

例7. 已知某个几何体的三视图如图, 根据图中标出的尺寸(单位：cm ) ，可得这个几何体的体积是（ ）

4000380003cm

B cm C 2000cm 3 D 4000cm 3 A 3

3

解:选B ，实物图如图所示，底面为正方形，侧面SAB ⊥底面ABCD , 且AB =20cm ，

18600高SO =20cm ，所以V =⋅400⋅ 33

1例8. 求证：DH =CE , 已知正方形DEFG , 正方形ABCD , 直角三角形DCE 2

解：延长AD 交EF 于J ，过点G 作GI ⊥AJ , 垂足为I . 如图6所示，因为四边形DEFG , 四边形ABCD 为正方形． H ∠CDE +∠EDJ =90︒, ∠GDI +∠JDE =90︒

所以∠CDE =∠GDI

又∠C =∠I =90︒

GD =DE A F D I 所以Rt ∆GDI ≅Rt ∆DCE

故CD =DI , CE =GI

又因为CD =AD B C

所以由∆ADJ ～∆AIG 知

11DH =GI =CE 22

在做几何题目时，很多题目都必须要把图形画出来，图形出来了问题自然就解决了，利用“数”与“形”的相互转化来解决几何问题，它具有直观性 、灵活性等特点．数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果．

4 培养学生数形结合思想的一些教学措施

数形结合思想作为数学中一种重要思想，在中学数学中占有重要地位，查看近几年高考数学试卷，数形结合思想题目有很大比例，由此可见一斑．如此重要方法教师在平时上课时应当给予足够重视，讲解练习时要强化数形结合思想，老师应当提示学生多朝着这方面去想问题，通过引导再加以强化，这样下次学生再碰到就能独立的应用数形结合思想来解答问题．

那么教师在平时该怎样去引导学生学习数形结合思想方法呢？

第一，加强概念教学．数学中的概念是人类关于客观世界数量和空间的关系形式的认识结晶．数学概念是数学思想方法的载体，数学中的“数形结合”思想大部分来源于概念教学过程．加强对基本概念的教学，是掌握数形结合思想的基础．概念教学中，要有意识的赋抽象概念以直观的形．要揭示概念的不同的表达 形式．是学生加深对概念的理解与掌握，为以后利用基本概念的不同形式解复杂的数学问题奠定基础，特别对于明显的几何意义概念如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，给出概念的同时一定要结合图形讲几何意义．

第二，熟悉最基本图象．对常见的函数的图形要熟悉，如六种基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及二次函 数、对勾函数的图形要非常熟悉，另外还要熟练掌握利用图象的变换法（平移、对称、翻转、伸缩）作图．

第三，培养学生的联想能力．联想是以观察为基础的，对研究对象的问题或对象的特点联系已有的知识和经验进行想象的思维方式．培养学生的联想能力有sin x -2较大的作用．如看到代数式我们可以联想到点(cos x ,sin x )与点(2,2)连cos x -2

线的斜率．

第四，教师尽可能使用多媒体教学来展示数形结合，以此来激发学生的好奇心和求知欲．教学过程中黑板上的图形再直观、准确，也是一个“死图”，难以通过图形发现变量之间的变化规律．通过多媒体教学，例如《几何画板》，可以让“死图”变“活图”．能充分体现数与形之间的联系及变化规律，使学生理解更深刻，记忆更牢固．

第五，教师在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”．例如在上集合这一章节时 除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用．韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便．习题课中让“数”“形”之妙体现出来．在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣．还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案．对于这类题目，

我认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等．

结束语

数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化．在数形转化过程中，必须遵循等价转换原则，数形互补原则。只要我们在教学中有意识地训练，不惜从点滴做起，坚持实践，学生思维素质便可望提高，同时，也为今后学习数学打下良好的基础.

参考文献

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