数学经典的鸡兔同笼,原来这么简单

数学是一门抽象的学科，要让学生们将纸上的题目变成头脑中形象的画面，可不是件容易的事情。怎样的课堂设计才能让数学变得简单易懂，让孩子们能够举一反三呢？

今天，就让我们跟随特级教师徐斌的数学活动课，通过一个经典的鸡兔同笼问题，看看如何让孩子们画出数学的解题思路。

奇妙的“数学画”

——特级教师徐斌数学活动课《鸡兔同笼》教学片段赏析

故事引路，创设情境，引入课题

师：我像你们这么大时，一天在放学回家的路上，一个白胡子老爷爷拦住我说：“小朋友，你上学了，我考考你！”我从小爱动脑筋，就说：“老爷爷，您考吧！”白胡子老爷爷说：“听着，我出题了——鸡和兔关在同一个笼里，数它们的头共有5个，数它们的腿共有14条，有几只鸡？有几只兔？”我一听就愣住了，心想太难了！怪不好意思的。“你现在还小，不会不要紧。记住吧，这叫‘鸡兔同笼’问题。好好读书，以后再学。”我记住了白胡子爷爷的话，到了五年级时，一次在新华书店里见到一本《小学数学趣题巧解》，书上讲了“鸡兔同笼”问题的解法。我学会了，特别高兴。直到今天，我还记得呢！小朋友们，你们愿意自己动手、动脑，想想、画画，解决“鸡兔同笼”这个难题吗？

苏联心理学家鲁宾斯坦曾指出：“思维过程最初的时刻通常是问题情境。”上课开始，采用孩子们喜爱的讲故事方式，在故事情境中引出数学问题：“鸡和兔关在同一个笼里，只数头和脚，如何知道有几只鸡？有几只兔？”徐老师特别申明，“老师像你们这么大时还不会做这道题。”既显示了难度，引起了认知的冲突，又促使学生对老师产生了一种心理认同感，拉近了师生间的心理距离。这种方法对任何阶段的学生都是必要的、适宜的。徐老师的教学方法正好印证了德国弗来堡师范大学海纳特教授在他的著作《创造力》一书中谈的：“创造性教学的一个特征是，教师尽量关怀学生的学习，努力使自己返回到学生阶段，也就是开始一个倒回的过程，这样他才有可能把自己与学生看成一致的，并使学生把他视为同一。”

发散思维，自主探索，构建模型

第一步，分析题意。

师：“鸡和兔关在同一个笼里是什么意思？数它们的头共有5个”是什么意思？数它们的腿共有14条”是什么意思？这道题要问我们什么问题？

（生回答）

师：我们知道，一般每只动物一个头，而腿的条数有些不一样。每只鸡几条腿？每只兔几条腿？

生：每只鸡2条腿，每只兔4条腿。

（画面出示鸡和兔的图像）

第二步，指导画图。

师：笼里可能有几只鸡，几只兔呢？大家先猜猜看！

生：可能是3只鸡2只兔。

生：可能是2只鸡3只兔。

……

师：大家猜得都有道理！笼子里到底有几只鸡几只兔呢？我们可以画一些简单的图来帮助思考。请大家想想办法，用什么图形表示它们的头，用什么图形表示它们的腿？

生：我想用圆形表示头。（到黑板上画

）

生：我想用竖线表示腿。（到黑板上画成

）

师：刚才两个同学想出了好办法。其他同学可以参考他们的画法，也可以用另外的表示方法画一画。

第三步，讨论汇报。

根据学生汇报的情况，用电脑进行互动演示（电脑课件中的腿和头均可根据学生汇报的情形随机进行拖动）：

生：我是先画一只鸡一只兔，再画一只鸡一只兔，再画一只鸡，一数正好是14条腿。笼子里有3只鸡2只兔。

生：我是先画两只鸡，再画两只兔，一数有了12条腿，还差2条，我就又画了1只鸡，正好14条腿。

…

生：我先没有急着画！我想1只鸡和1只兔共有6条腿，画两次，二六十二，还少两条腿就是再画1只鸡，我是先知道有3只鸡2只兔再画下来的。

师：生A能在脑子里边想边画！真不简单！

生B：我的画法和他们都不一样！我先把14条腿全部画好，再用头去套，套2条腿的就是鸡，套4条腿的就是兔，也能知道笼子里有3只鸡2只兔。

师：生B能想出与别人不一样的画法，真了不起！

（演示生B画法）

第四步，验证小结。

师：小朋友们想出了这么多方法，得到的结果都是3只鸡，2只兔，与笼中的结果是不是一样呢？（电脑显示答案）

师：小朋友们的本领真大，一下子想出了这么多的方法，而且结果完全正确。以后碰到这类问题时，我们可以用想想、画画的方法帮助思考。怎样画更快呢？

（把刚才生A和生B的画法再演示一遍）

首先，分析题意。教师出示颜色鲜艳、形象生动的兔子和鸡的实物图，儿童的脑海里呈现这两种动物的具体形象。

其次，指导画图。用“”表示头，用“”表示腿，用“”“”表示鸡和兔。这时，鸡和兔生动的形态不见了，而只抽取了与数学题有关的数量特征，这些“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是儿童将头脑中的表象概括化的过程。如果说抽象思维的细胞是概念，形象思维的细胞是表象，则这种“数学画”就是形象思维运演的“算子”，也是形象思维过渡到抽象思维的“脚手架”。

接着，讨论交流。在猜想、画图、凑数之后进行汇报交流。学生汇报时，课件中设计了交互界面，并根据学生的实际随机准备了“先画腿，再套头”的备用方案。

最后，验证小结。验证结果后小结时介绍“假设”的画图思路。

建立数学模型的过程，体现建构主义思想：从学生为主体的角度看，这是一个主动建构的过程；从知识与技能的形成来看，这又是一个意义建构的过程。

举一反三，巩固应用，解决问题

师：用这种想想、画画的方法可以帮助我们解决日常生活中遇到的许多问题。现在我们来思考这个问题。（电脑显示自行车和三轮车）自行车和三轮车共有7辆，共有18个轮子，自行车有几辆？三轮车有几辆？可以用什么样的简单图形表示自行车和三轮车？

（鼓励学生想出不同的表示法）

师：大家画图时，可以先假设全部是自行车，也可以先假设全部是三轮车，再数一数轮子的个数，少了就添上，多了再擦去。

……

师：老师这儿有6张长方形纸，它们的背面各有一张5元或10元的人民币，合起来是40元。你能知道5元的有几张？10元的有几张？

师：我们可以先在脑中画图，也可以在纸上画图，可以把画图与口算结合起来。

（生画图后在实物投影上展示不同画法）

生：我是这样画的：

生：我画得简单：

生：我画得还要简单：5 5 5 5 10 10

生：我在脑子里想好了在写下来的：4张5元，2张10元。

……

师：最后再思考一个问题——每个小组桌上信封里都有2分和5分的硬币共7个，总共的钱数写在信封上了。请大家先猜一猜，有几个2分的，有几个5分的。猜出结果后先在小组内讨论一下，再打开信封，看猜的结果对不对。比一比，看哪一组最先猜出来！

（学生汇报时，师用电脑随机用拖动的方法演示思考过程。）

1角7分

2角

2角3分

……

建立一个数学模型不是目的，重要的是要让学生进行“数学化”，即用数学的眼光去解释生活中的一些现象，解决生活中的一些简单问题。这一阶段分三步。

第一步：学生自己创造出自己看懂的“数学画”。

第二步：学生有的在纸上画图，有的在脑中画图，还有的把画图与口算结合起来。不同的学生用不同的方法解决问题。

第三步：“猜硬币游戏”设计了6种情况，每组不一样，组内和组间既有合作，也有竞争。

通过解释、应用与拓展，儿童的头脑不断经历“数学化”的过程。教师及时、尽可能多地把不同的画法和想法通过实物投影展示给所有学生，并让学生说出自己是怎么得到这个结果的，让大家共同分享探索的过程、结果和乐趣。

本文摘自《听名师讲课数学卷》，文中略有删改，小标题为编者所加

作者：北京市朝阳区教研中心特级教师钱守旺