初一数学竞赛辅导资料10
初中数学竞赛辅导资料（10）
二元一次方程的整数解
甲内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中， 若a,b 的最大公约数能整除c, 则方程有整数解。即
如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1-11y 1-y -10y 1-y =-2y (1) , =555
1-y =k (k 是整数） 设，则y=1-5k (2) , 5解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是⎨
方法二，公式法： ⎧x =11k -2（k 是整数） ⎩y =1-5k
⎧x =x 0⎧x =x 0+bk 设ax+by=c有整数解⎨则通解是⎨（x 0,y 0可用观察法） y =y y =y -ak 00⎩⎩
3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。
乙例题
例1求方程5x －9y=18整数解的能通解
18+9y 15+10y +3-y 3-y ==3+2y + 555
3-y =k （k 为整数）设，y=3－5k, 代入得x=9－9k 5解x=
∴原方程整数解是⎨⎧x =9-9k （k 为整数）
⎩y =3-5k
⎧x =0-9y ⎧x =0它的通解是⎨（k 为整数） y =-2-5k y =-2⎩⎩又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解⎨
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=
设100-6y y =20-y -(1)， 55y =k (k为整数) ，则y=5k,(2) 5
把（2）代入（1）得x=20-6k，
∵⎨⎧x >0⎧20-6k >0 解不等式组⎨ ⎩y >0⎩5k >0
20,k 的整数解是1，2，3， 6得0＜k
⎧x =14⎧x =8⎧x =2∴正整数解是⎨ ⎨⎨y =10y =15y =5⎩⎩⎩
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x 本，乙种书买y 本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y 都是正整数）
⎧x =1∵x ＝1时，y=7，∴⎨是一个整数解 y =7⎩
∴通解是⎨⎧x =1+5k （k 为整数）
⎩y =7-3k
⎧1+5k >017得解集是-0
⎧x =1⎧x =6⎧x =11 ⎨⎨⎩y =7⎩y =4⎩y =1解不等式组⎨把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解⎨
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。