数列单元检测题
高一文科数学周日拓展训练3
数列单元检测
一、选择题
1. 若数列{an }满足a n =qn (q>0,n ∈N *) ,则以下命题正确的是( ) ①{a2n }是等比数列;②
是等比数列;
③{lgan }是等差数列;④{lg}是等差数列. A. ①③
B. ③④ D. ②③④
2
C. ①②③④
2. 数列{an }中,a 1=1,对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n,则a 3=( ) A.
B.
C.
D.
3. 已知数列2,x ,y ,3为等差数列,数列2,m ,n ,3为等比数列,则x+y+mn的值为( ) A.16
4. 公差不为零的等差数列{an }中,a 2,a 3,a 6成等比数列,则其公比为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
B.11
C.-11
D. ±11
5. 已知等差数列{an }的前n 项和为S n ,a 3+a8=13且S 7=35,则a 7=( ) A.11
B.10
C.9
D.8
6. 在各项都为正数的等比数列{an }中,首项a 1=3,前3项和为21,则a 3+a4+a5等于( ) A.33
B.72
C.84
D.189
7. 数列{xn }中,若x 1=1,x n+1=A.-1
B.
-1,则x 2014等于( )
C.-
D.1
8. 等比数列{an }中,若a 4a 7=1,a 7a 8=16,则a 6a 7等于( ) A.4
B.-4
C. ±4
D.
9. 已知公差不为零的等差数列{an }满足a 1,a 3,a 4成等比数列,S n 为{an }的前n 项和, 则
的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10. 已知数列{an }的前n 项和S n 满足:S n +Sm =Sn+m,且a 1=1,那么a 10=( ) A.1
B.9
C.10
D.55
11. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A. ①和⑳ B. ⑨和⑩ C. ⑨和⑪
D. ⑩和⑪
12. 设等比数列的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n ,S n+1,S n+2成等差数列,则公比q ( A. 等于-2
B. 等于1
C. 等于1或-2
D. 不存在
二、填空题
13. 已知数列{an }的通项公式为a n =,则该数列的前4项依次为 .
14. 已知{an }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q= .
15. 在数列{an }中,a 1=1,且对于任意正整数n ,都有a n+1=an +n,则a 100= .
16. 设等差数列{an }的前n 项和为S n . 若a 1=-11,a 4+a6=-6,则当S n 取最小值时, n= .
三、解答题
17. (13·福建) 已知等差数列{an }的公差d=1,前n 项和为S n . (1)若1,a 1,a 3成等比数列,求a 1. (2)若S 5>a1a 9,求a 1的取值范围.
)
18. 等差数列{an }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{bn }是等比数列,b 1=2,且b 2S 2=32,b 3S 3=120,求a n 与S n .
19. 已知数列{log2(an -1)}(n∈N *) 为等差数列,且a 1=3,a 3=9. (1)求数列{an }的通项公式. (2)证明:
20. 等差数列{an }的前n 项和记为S n ,已知a 10=30,a 20=50. (1)求数列{an }的通项a n . (2)若S n =242,求n. (3)令b n =
++…+
,求数列{bn }的前n 项和T n .
21. 设数列{an }的前n 项和为S n ,其中a n ≠0,a 1为常数,且-a 1,S n ,a n+1成等差数列. (1)求{an }的通项公式.
(2)设b n =1-Sn ,问:是否存在a 1,使数列{bn }为等比数列?若存在,求出a 1的值;若不存在,请说明理由.
22. 设等差数列{an }的前n 项和为S n ,且S 4=4S2,a 2n =2an +1. (1)求数列{an }的通项公式.
(2)若数列{bn }满足++…+=1-,n ∈N *,求{bn }的前n 项和T n .
答案解析
1. 【解析】选C. 因为a n =qn (q>0,n ∈N *) ,所以{an }是等比数列,因此{a2n }
,是等比数列,{lgan },{lg}是等差数列. 2. 【解析】选B.a 2==4,a 3=
=. 故选B.
3. 【解析】选B. 根据等差中项和等比中项知x+y=5,mn=6,所以x+y+mn=11,故选B.
4. 【解析】选C. 设公差为d ,则有=a2a 6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得d=-2a1,故公比q=
=
=3.
=7a4=35,所以a 4=5,
5. 【解析】选D. 由已知及等差数列的性质S 7=又a 4+a7=a3+a8=13,所以a 7=8,选D.
6. 【解析】选C. 由S 3=a1(1+q+q2)=21且a 1=3, 得q+q2-6=0. 因为q>0,所以q=2.
所以a 3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S 3=84. 7. 【解析】选C. 由x 2=由此可知,x 2014=x2=-.
8. 【解析】选A. 因为a 4a 7=1,a 7a 8=16, 所以q 4=16,所以q 2=4, 所以a 6a 7=a4a 7q 2=4.
-1=-,x 3=
-1=1,x 4=
-1=-,x 5=-1=1,…
9. 【解题指南】利用a 1,a 3,a 4成等比数列,求得a 1和公差d 的关系后再求比值.
【解析】选A. 由题意知,=a1a 4,
即(a1+2d)2=a1(a1+3d), 解得a 1=-4d, 所以
=
=
=
=2.
10. 【解析】选A. 由S n +Sm =Sn+m,得S 1+S9=S10, 所以a 10=S10-S 9=S1=a1=1,故选A.
11. 【解析】选D. 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边,则每个人所走的路程和最小,一共20个坑,为偶数,在中间的有两个坑为10和11号坑,故答案选D.
【拓展提升】分清类型解数列应用题
解数列应用题要明确问题是属于哪一种类型,即明确是等差数列问题还是等比数列问题,是求a n 还是求S n ,特别要弄清项数为多少,试题中常见的数列类型有:
(1)构造等差、等比数列模型,然后再应用数列的通项公式及求和公式求解; (2)先求出连续的几项,再归纳出a n ,然后用数列知识求解.
12. 【解析】选B. 依题意有2S n+1=Sn +Sn+2,当q ≠1时,有2a 1(1-qn+1)=a1(1-qn )+a1(1-qn+2) ,解得q=1,但q ≠1,所以方程无解;当q=1时,满足条件. 故选B.
13. 【解析】把n=1,2,3,4分别代入a n =答案:0,1,0,1
14. 【解析】由a 2=2,a 4-a 3=4得方程组所以q 2-q-2=0,解得q=2或q=-1. 又{an }是递增等比数列,故q=2.
,依次得到0,1,0,1.
15. 【解析】因为a n+1=an +n,所以a n+1-a n =n, a 100=a1+(a2-a 1)+(a3-a 2)+(a4-a 3) +…+(a100-a 99)=1+1+2+…+99=4951. 答案:4951
16. 【解析】设等差数列的公差为d , 则由a 4+a6=-6得2a 5=-6, 所以a 5=-3,又a 1=-11, 所以-3=-11+4d,所以d=2, 所以S n =-11n+答案:6
【变式备选】已知数列{an }为等差数列,若0的n 的最大值为 . 【解析】因为0,a 11
=19·a 10>0,S 20=
=10(a10+a11)0的n
×2=n2-12n=(n-6)2-36. 所以当n=6时,S n 有最小值.
的最大值为19. 答案:19
17. 【解析】(1)因为数列{an }的公差d=1, 且1,a 1,a 3成等比数列,所以=1×(a1+2), 即-a 1-2=0,解得a 1=-1或a 1=2. (2)因为数列{an }的公差d=1,且S 5>a1a 9,
即+3a1-1018. 【解析】设等差数列{an }的公差为d(d>0),等比数列{bn }的公比为q , 因为b 1=2,且b 2S 2=32,b 3S 3=120,a 1=3, 所以b 2=2q,S 2=6+d, b 3=2q2,S 3=9+3d, 所以
所以d=2,q=2, 所以a n =a1+(n-1)d=2n+1, S n =na1+
d=n2+2n.
19. 【解析】(1)设等差数列{log2(an -1)}的公差为d. 由a 1=3,a 3=9,得log 2(9-1)=log2(3-1)+2d, 则d=1.
所以log 2(an -1)=1+(n-1)×1=n, 即a n =2n +1. (2)因为
所以
+
=+…+
=, =1-
=
+++…+
=
20. 【解析】(1)设{an }的首项为a 1,公差为d , 由a n =a1+(n-1)d,a 10=30,a 20=50, 得方程组解得a 1=12,d=2.
(2)由S n =na1+得方程12n+
d ,S n =242, ×2=242,
解得n=11或n=-22(舍去). (3)由(1)得b n =所以
=
=22n+10-10=22n =4n ,
=4,所以{bn }是首项是4,公比q=4的等比数列.
=(4n -1).
所以数列{bn }的前n 项和T n =
21. 【解析】(1)依题意,得2S n =an+1-a 1. 当n ≥2时,有
两式相减,得a n+1=3an (n≥2). 又因为a 2=2S1+a1=3a1,a n ≠0,
所以数列{an }是首项为a 1,公比为3的等比数列. 因此,a n =a1·3n-1(n∈N *). (2)因为S n =
=a 1·3n -a 1,
b n =1-Sn =1+a 1-a 1·3n .
要使{bn }为等比数列,当且仅当1+a 1=0,即a 1=-2. 所以存在a 1=-2,使数列{bn }为等比数列.
22. 【解题指南】(1)先设出等差数列的首项和公差,然后根据S 4=4S2,a 2n =2an +1可列方程组求得数列的通项公式.
(2)先根据++…+=1-,n ∈N *,求出b n 的通项公式,再利用错位相减法求出T n .
【解析】(1)设等差数列{an }的首项为a 1,公差为d.
解得a 1=1,d=2. 因此a n =2n-1,n ∈N *.
(2)由已知++…+=1-,n ∈N *, 当n=1时,
=; 当n ≥2时,=1--所以=,n ∈N *. 由(1)知a n =2n-1,n ∈N *, 所以b n =
,n ∈N *.
,
,
=.
又T n =+++…+T n =++…+两式相减得
T n =+
=
--. . +
-
所以T n =3-