向量导数的应用
【试题预测】
《向量、导数的应用》
向量、导数是新教材新增内容,体现了现代数学思想。向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用,导数在研究函数性质时,有其独到之处。近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%,考察导数知识的试题的高考分值约占10%,从题型上看主要有以下几个特点:
1、向量作为工具性知识,与三角函数综合,与立体几何、解析几何综合,一般为中、低档题。 2、利用导数求函数的最大值和最小值;求曲线的切线方程;判定曲线与曲线的位置关系,中档题居多。
3、利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可忽视。 【例题】
例1、设a=(1+cosα,sin α) ,b=(1-cosβ,sin β) ,c=(1,0) ,α∈(0,π) ,β∈(0,2π) ,a 与c 的夹角为θ1,b 与c 的夹角为θ2,且θ1-θ2=
→
→
→
π6
,求sin
α-β4
的值。
解析:不妨平移a , b , c ,使它们起点为原点,如图 ∴ tan θ1=∵ θ1∈(0,
sin α1+cos απ2) ,
α2=tan ∈(0,
α2π2
) ,∴ θ1=β2=tan(-
π2
α2
∵ tan θ2=-
π2
sin β1-cos β
=-cot
+β)
θ2∈(0, ), -∴ θ2=-
π2+βπ6
π2
+β∈(0,
π2
)
代入θ1-θ2=∴
α-β2
=-
π3
12
∴ sin
α-β4
=-
点拨:计算两条向量的夹角问题,与三角函数有关,故向量可与三角函数的运算自然结合,使试题简洁优美。
例2、如图,设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F 。经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,证明直线AC 经过原点O 。
解析:法一:设A(x1,y 1),B(x2,y 2),F(则FA =(x 1-
--→
--→
--→
p 2
0) ,则C(-
p 2
, y 2)
p 2
--→
, y 1), FB =(x 2-
p 2
--→--→
, y 2), OA =(x 1, y 1), OC =(-
p 2
, y 2)
∵ FA 与FB 共线 ∴ (x 1-
p 2
) y 2-(x 2-
p 2) y 1=0
即
(x 1-y 1
p 2
2
) =
(x 2-y 2
p
)
2 (*)
而x 1=
y 1
2p
, x 2=
y 22p
2
代入(*)式整理得,y 1·y 2=-p2
y 1
2
因为
x 1(-p 2)
=
2p (-p 2)
=
y 1-p
22
=
y 1
2
y 1y 2
=
y 1y 2
∴ OA 与OC 是共线向量,即A 、O 、C 三点共线,也就是说直线AC 经过原点O 法二:分析:设A(x1,y 1) ,C(-
p 2
--→--→
,y 2) ,B(x2,y 2)
y 1x 1
=y 2-p 2
欲证A 、O 、C 共线,只需且仅需k OA =k OC ,即
又x 1=
y 1
2
2p
2
∴ 只需且仅需y 1y 2=-p,用韦达定理易证明。
点拨:两向量共线的应用非常广泛,它可以处理线段(直线)平行,三点共线(多点共线)问题,使用向量的有关知识和运算方法,往往可以避免繁杂的运算,降低计算量,不仅方法新颖,而且简单明了。
例3、如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、(1)证明AD ⊥D 1F ; (2)求AE 与D 1F 所成的角; (3)证明面AED ⊥面A 1FD 1。
证明:分别以DC 、AD 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐设正方体的边长为2a ,则D (0,0,0),A (0,-2a ,0),D 1(0,0,2a ),A 1(0,-2a ,2a ),E (2a ,-2a ,a )
(1)由AD =(0,2a,0),D 1F =(a,0,-2a),得AD ·D 1F =0·a+2a·0+0·(-2a)=0 ∴ AD ⊥D 1F ,即AD ⊥D 1F
(2)由AE =(2a,0,a),D 1F =(a,0,-2a),得AE ·D 1F =2a·a+0·0+a·(-2a)=0 ∴ AE ⊥D 1F ,即AE 与D 1F 所成的角为900
(3)由(1)、(2)可知,AD ⊥D 1F ,AE ⊥D 1F ,故D 1F ⊥平面AED ∵ D1F ⊂平面A 1FD 1 ∴ 面AED ⊥面A 1FD 1
点拨:通过建立空间直角坐标系,点用三维坐标表示,向量用坐标表示,进行向量的运算,轻而易举地解决立体几何问题,不需要添加辅助线。一个需要经过严密推理论证的问题就这样被简单机械的运算代替了。
例4、已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形,且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD (1)证明:C 1C ⊥BD ;
--→
--→
CD 的中点
标系。
F (a ,0,0)
--→--→--→--→
--→--→
--→--→--→--→
--→--→
--→--→
(2)当
CD CC
1
的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 。请给出证明。
--→
--→
--→
证明:如设∠C 1CB=θ,由题设,∠C 1CD=∠BCD=θ⇒令CD =a ,CB =b ,CC 1=c ,|a |=1,|c |=x,因为四边形ABCD 为菱形,所以|b |=1, (1)∵BD =CD -CB =a -b
∴ OC 1·BD =c ·(a -b )=c ·a-c ·b =1·x ·cos θ-1·x ·cos θ=0 ∴ C1C ⊥BD
(2)假设A 1C ⊥平面C 1BD 成立
则A 1C ⊥C 1D ,从而CA 1·C 1D =0 由于C 1D =a-c ,CA 1=a +b +c
因此CA 1·C 1D =(a +b +c ) ·(a-c )=a 2+b ·a +c ·a -a ·c -b ·c -c 2 =a 2+b ·a +b ·c -c 2=1+1·1·cos θ-1·x ·cos θ-x 2 =(1-x )(1+x+cosθ) 从而(1-x)·(1+x+cosθ)=0 由于1+x+cosθ>0,因此,x=1 也就是说
CD CC
1
--→--→--→
--→--→
--→--→
--→--→
--→--→
=1时,A 1C ⊥平面C 1BD 成立
点拨:平行六面体的12条棱共分三组,每组四条棱两两平行,故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底,此题中CD ,CB ,CC 1三个共点向量为基底,其余向量可由此三个向量生成。
例5、(1)在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程;
(2)一质点做直线运动,它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t,求t=2时的瞬时速度。
解析:(1)k =y ' |x =x 0=3x 02+6x 0+6=3(x 0+1) 2+3 当x 0=-1时,k 有最小值3,此时P 的坐标为(-1,-14) 故所求切线的方程为3x-y-11=0 (2)s ' =6t+1,当t=2时,s ' =13,
∴ 当t=2时,质点的瞬时速度为13
点拨:1、导数的几何意义:f ' (x 0) 就是曲线y=f(x)在点M(x0,y 0) 处的切线斜率,即f ' (x 0) =k切线。 2、瞬时速度是路程s 对时间t 的导数,即v=s ' (t ) 。 例6、是否存在这样的k 值,使函数f (x ) =k 2x 4-∞)上递增。
解析:f(x)=4k2x 3-2x 2-2kx+2,由题意,当x ∈(1,2)时,f ' (x ) <0 当x ∈(2,+∞) 时,f ' (x ) >0 由函数f ' (x ) 的连续性可知f ' (2) =0 即32k 2-8-3=0得k =验证:当k =
12
12
23x
3
--→--→--→
-kx
2
+2x +
12
在(1,2)上递减,在(2,-
或k =-
38
时,f ' (x ) =x 3-2x 2-x +2=(x +1)(x -1)(x -2)
若1<x <2,f ' (x )
若x >2,f ' (x ) >0,符合题意 当k =-
38
时,f ' (x ) =
916
x
3
-2x
2
+
34
x +2=
916
(x -
7-
9
)(x -2)(x -
7+
9
)
显然不合题意 综上所述,存在k =
12
,满足题意
点拨:利用导数处理单调性问题,讨论的区间是开区间,注意递增与递减区间的交界处的导数为0,本题求出k 值后还需讨论验证。
例7、设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4, (1)求a 、b 、c 的值;(2)求函数的递减区间。
解析:(1)函数的图象经过(0,1)点
∴ c=0,又图象与x 轴相切于(0,0)点,y ' =3x+2ax+b ∴ 0=3×0+2a×0+b,得b=0 ∴ y=x3+ax2,y ' =3x2+2ax 当x
232323a
23
2
2
时,y ' -
a
时,y ' >0
a
时,函数有极小值-4
3
a ) +a (
2
2a 3
)
2
=-4,得a=-3
(2)y ' =3x-6x <0,解得0<x <2
∴ 递减区间是(0,2)
点拨:1、如果函数f(x)在点x=x0的一个δ区域:(x0-δ,x 0+δ) 内有定义,对任意的x ∈(x0-δ,x 0) ∪(x0,x 0+δ) 总有f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0) ),则称f(x0) 为函数f(x)的极大(小)值,x 0称为极大(小)值点;
2、注意极值与最值的区别,极值是相对于领域而言,它仅是极值点附近的局部范围内的相对大小,而最值是相对于闭区间而言,它是函数在给定的闭区间上的全部函数值中最大(小)的值。 【课外练习】
一、选择题 1、双曲线
x a
22
22
-
y b
=1(a >0,b >0)的离心率e=
1+2
5
,点A 与点F 分别是双曲线的左顶点和右
焦点,B(0,b) ,则∠ABF 等于 ( )
A 、450 B、600 C、900 D、1200 2、过抛物线y=x2上的点M (
12
14
,)的切线的倾斜角是 ( )
A 、300 B、450 C、600 D、900
3、若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a >0)为增函数,则 ( ) A 、b 2-4ac >0 B、b >0,c >0 C 、b=0,c >0 D、b 2-3ac <0
4、函数f(x)=x-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则 ( ) A 、0<b <1 B、b <1 C 、b >0 D、0<b <
7
12
3
5、向量a =(cosy,siny) ,b =(cosx,sinx) ,已知x=y+π,则a 与a +b 的夹角为( )
6
A 、
712
π
B、
512
π
C、π D、
6
5112
π
二、填空题
6、函数y=x3-3x+3在[-
35, 22
]上的最小值是____________。
7、垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程是____________。
8、已知:4a -2b =(-2,23) ,c =(1,3) ,a ·c =3,|b |=4,则b 与c 的夹角为________。 9、已知A (1,2),B (2,k ),C (-5,5),且△ABC 是直角三角形,这样的k 唯一吗?为什么?____________________________________。
10、质量为5kg 的物体运动的速度v=(18t-3t)m/s在时间t=2秒时所受外力为________N。 三、解答题 11、设
23
2
<a <1,函数f(x)=x-
3
32
ax +b(-1≤x ≤1)的最大值为1,最小值为-
2
62
,求常数a 、b 。
12、过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点,自A 、B 向准线作垂线,
垂足分别为A ' , B ' ,求证:∠A ' FB ' =90。
13、设抛物线y=4-x2与直线y=3x的交点为A 、B ,点M 在抛物线的AB 弧上运动,设S ∆MAB 达到最大值时,点M 的坐标为(p ,h )
(1)求过点(p ,h )的切线方程;
(2)证明:若与直线AB 平行的直线截抛物线y=4-x的弦为CD ,则CD 被直线x=p平分。
14、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB=90,AB=5,BB 1=B1C 1=3,求异面直线A 1C 与BC 1所成的角的余弦值。
15、用总为长14.8m 的钢条制成一个长方体的容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积。
16、已知:函数y=f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值,且图象与直线 :y=-3x+3相切于点P (1,0)
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)讨论函数y=f(x)(-3≤x ≤3)的增减性,并求函数的最大值与最小值以及相应的x 的值。 【参考答案】
1、C 2、B 3、D 4、D 5、B 6、1 7、3x+y+6=0 8、600 9、不唯一:k=3或9 10、30 11、a =12、略
13、(1)12x-4t-11=0 (2)略 14、
3210
63
, b =1
2
3
15、高为1.2m 时容积最大,最大容积为1.8m
16、(1)f(x)=x3+x2-8x+6 14题图 (2)当x=-2,x=3时,y 最大=18;当x=
43
1427
时,y 最小=-