椭圆知识点小结
椭圆知识点
知识要点小结:
知识点一:
椭圆的定义
平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(PF1PF22aF1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若(PF1PF2F1F2),则动点P的轨迹为线段F1F2; 若(PF1PF2F1F2),则动点P的轨迹无图形.
知识点二:
椭圆的标准方程
x2y2222
1.当焦点在x轴上时,221(ab0),其中cab;
ab
y2x2222
2.当焦点在y轴上时,221(ab0),其中cab;
ab
注意:
1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有(ab0)和c2a2b2; 3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在x轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0),(c,0); 当焦点在y轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,c)
知识点三: 椭圆的简单几何性质
x2y2
椭圆:221(ab0)的简单几何性质
ab
(1)对称性:
x2y2
对于椭圆标准方程221(ab0):
ab
说明:把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不
x2y2
变,所以椭圆221是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中
ab
心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:
椭圆上所有的点都位于直线xa和yb所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足xa,yb。 (3)顶点:
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
x2y2
②椭圆221(ab0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为
ab
A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)
③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,A1A2
2a,B1B22b。a和
b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e
2cc。 2aa
②因为(ac0),所以e的取值范围是(0e1)。e越接近1,则c就越接近a,从而b
a2c2越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接
近于a,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当ab时,c0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为xya。
2
2
x2y2
注意: 椭圆221的图像中线段的几何特征(如下图):
ab
(1)(PF1 (2)(BF1 (3)A1F1
PF2BF2
2a);
PF1PM1
PF2PM2
e;(PM1PM2
2a2
);
c
a);(OF1OF2
c);A1BA2Ba2b2;
A2F2ac;A1F2A2F1ac;acPF1ac;
x2y2y2x2
知识点四:椭圆221 与 221(ab0)的区别和联系
abab
x2y2y2x2
注意:椭圆221,221(ab0)的相同点:形状、大小都相同;参
abab
数间的关系都有(ab0)和e
c
(0e1),a2b2c2; a
不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法:
1.如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a,b;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中,a,b,c三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:
(ab0),(ac0),且(a2b2c2)。
可借助右图理解记忆:
显然:a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看x,y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程Ax2By2C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
2
x2By2Ax2By2
1,所以只有A、B、C同1,即 方程AxByC可化为
CCCC
AB
2
2
号,且AB时,方程表示椭圆。
CC
时,椭圆的焦点在x轴上; ABCC
当时,椭圆的焦点在y轴上。
AB
当
5.求椭圆标准方程的常用方法: ①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
x2y2
共焦点,则c相同。与椭圆221(ab0)共焦点的椭圆方程可设为
abx2y22
1(mb),此类问题常用待定系数法求解。 22
ambm
7.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据:
① 若把曲线方程中的x换成x,方程不变,则曲线关于y轴对称; ② 若把曲线方程中的y换成y,方程不变,则曲线关于x轴对称; ③ 若把曲线方程中的x、y同时换成x、y,方程不变,则曲线关于原点对称。
8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及
1
余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式SPF1F2PF1PF2sinF1PF2相
2
结合的方法进行计算解题。
将有关线段PF有关角F1PF2 (F1PF2F1BF2)结合起来,PF2F1F2,1建立PF1PF2、PF1PF2之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系? 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率e
c
(0e1),因为a
b
c2a2b2,ac0,用a、b表示为e1()2(0e1)。
a
bb
越小时,e(0e1)越大,椭圆形状越扁;当越大,e(0e1)aa
越小,椭圆形状越趋近于圆。
显然:当