阻尼振动解法讨论

阻尼振动解法讨论

【摘要】 本文概括解析法与旋转矢量确定运动力学方程的方法。并在解析法中可以通过特征根法解出振动方程的通解再解合初始条件确定运动学方程，也可以直接通过拉普拉斯变换与初始条件直接解阻尼振动微分方程得出运动学方程。

【关键词】 阻尼振动 旋转矢量 微分方程

Abstract This article outlines the analytical method and the rotation vector to determine the mechanical equation of motion method. And the analytical method can be solved by eigenvalue method general solution of the vibration equation of the initial conditions and then determine the solutions of equations of motion together, or directly through the Laplace transform with initial conditions obtained direct kinematics solution damping vibration differential equation Equation.

Key words damped vibration rotation vector differential equation

1 引言

简谐运动在不考虑摩擦和其他阻力等因素的影响时，振动过程中系统的机械能守恒，所以不管是单摆还是弹簧振子在振动过程中振幅始终保持不变，这种振动称为无阻尼振动。然而，实际的振动总要受到阻力的影响，由于要克服阻力做功，振动系统的机械能不断减少。同时振动系统与周围介质相互作用，振动向外传播形成波，随着波的传播，系统的机械能不断减少，因此振幅也逐渐减小。这种振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动。

实验指出，当物体以不太大的速率在粘性介质中运动时，介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比，方向与运动方向相反，即：

frv

dx

dt

式中叫做阻尼系数，它与物体的形状、大小及介质有关。

对弹簧振子在弹性力及阻力的作用下，由牛顿第二定律可知物体的动力

d2xdxm2kx dtdt

学方程为

令02

k

,，这里的0为无阻尼时振子的固有角频率，称m2m

为阻尼因子，代入上式后可得

d2xdx2

2x0 02dtdt

该方程为典型的二阶常系数微分方程。由于运动学方程表示出质点运动中的每一时刻，均有一位置矢量与之对应，知道了该运动学方程便可以了解此质点运动的一却情况。本文主要通过解析法解得运动学方程，而对于欠阻尼振动由于与简谐振动有许多相似处，因此我们也可以运用旋转矢量解的运动学方程，从而确定出整个运动过程中各个理量的变化情况。

2 解析法解振动方程 2.1特征根法解动力学方程

根据解二阶常系数齐次线性微分方程的步骤，动力学方程所对应的特征方程为

r22r020 2.2.1当20200时

通解为xA0etcos('t

) '其中A0、为待定常数，由初

始条件决定，A0et表示不断随时间而衰减的振幅，cos('t)则以'为圆频率周期地变化，两因子相乘表示质点做运动范围不断缩小的往复运动，这种振动状态成为欠阻尼状态。图像如图示

由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期运动，不过cos('t)是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿同一方向运动所需时间间隔是相同的。于是把cos('t)的周期称为阻尼振动的周期，并用

T'

22'

T表示。从中也可以看出即''T'T，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐振动的周期。

A0et随时间的推移趋于零，表示质点趋于静止。越大，阻尼越大，

振动衰减越快。为了标志出阻尼大小，把相隔一周期的振动振幅之比

A0et

的自然对数称为对数减缩，表达式为ln(tT')T'

A0e

如果初始条件为x(0)x0v(0)v0 则由

xA0etcos('t)

dxtt

vAecos('t)A'esin('t)00

dt

x0A0cos

得

vAcosA'sin000

把初速度除以初位移便可得出初相位 即

v0vx0'tg tg0x0'x0

arctg

v0x0

'x0如图示

v0x0

cos



'x0

x0

A0

cos因此可确定出运动学方程为

tvx0

xcos('tarctg0)

'x0

已知质点的速度v可以求出

dx

A0etcos('t)A0'etsin('t)我们还dt

121

mvmA02e2t[cos('t)'sin('t)] 22212122t22

势能 Epkxm0A0ecos('t)其中m02k

22

122t22

所以机械能 EEkEpmA0e[0'sin2('t)2cos('t)]

2

动能 Ek

从中我们可以看出机械能与t时刻振子振幅平方成正比，但由于存在

22

时间变量，系统的机械能不守恒。只有当0时 EmA00

12

为求机械能减小速率我们将

EEkEp

1

mA02e2t[02'sin2('t)22cos('t)]对时间求导 2

可得

dE

2mA02e2t[etcos('t)'etsin('t)]2 dt

其中2



m

v2A02e2t[cos('t)'sin('t)]2

dE22

2mvv(v)vf因而rv dt

这刚好为阻力的功率，即损失的能量用于克服摩擦阻尼做功。 2.2.2当20200时

通解为x(c1c2t)et 其中c1、c2常数由初始条件决定。图像如图示

图像表明由于阻力较小，随时间的推移质点运动不仅是非周期的，甚至不是往复的，质点移开平衡位置后释放会很快回到平衡位置并停下来，这种运动状态称为临界阻尼状态。 如果初始条件为x(0)x0v(0)v0 则由

x(c1c2t)et

x0

dxtt得v(cc)ecte212v0dt

c1c2c1

c2v0x0

因此可确定出运动学方程为x[x0(v0x0)t]et 2.2.3当20200时

通解为xc1e(t

c2e

(t

c2常数由初始条件其中c1、

EEkEp

1

mA02e2t[02'sin2('t)22cos('t)]对时间求导 2

可得

dE

2mA02e2t[etcos('t)'etsin('t)]2 dt

其中2



m

v2A02e2t[cos('t)'sin('t)]2

dE22

2mvv(v)vf因而rv dt

这刚好为阻力的功率，即损失的能量用于克服摩擦阻尼做功。 2.2.2当20200时

通解为x(c1c2t)et 其中c1、c2常数由初始条件决定。图像如图示

图像表明由于阻力较小，随时间的推移质点运动不仅是非周期的，甚至不是往复的，质点移开平衡位置后释放会很快回到平衡位置并停下来，这种运动状态称为临界阻尼状态。 如果初始条件为x(0)x0v(0)v0 则由

x(c1c2t)et

x0

dxtt得v(cc)ecte212v0dt

c1c2c1

c2v0x0

因此可确定出运动学方程为x[x0(v0x0)t]et 2.2.3当20200时

通解为xc1e(t

c2e

(t

c2常数由初始条件其中c1、

决定。图像如图示

该图像也表明由于阻力很大，随时间的推移质点运动不仅是非周期的，甚至不是往复的，质点移开平衡位置后释放后便慢慢回到平衡位置并停下来，这种运动状态称为过阻尼状态。 如果初始条件为x(0)x0v(0)v0 则由

xce(tce(t12dx(t(vc(ec2(e1dt

t

得

1

c(x012x0c1c2v(cc(cc)c1(x12120

120

因此可确

定

出运动学

2

方程

为

xet(x0) 2

其中

1

(2

e

1

)(2

e

)

2.2拉普拉斯变换解振动方程

拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表，即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问

题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，得到的解是线性微分方程的全解。因此我们也可以通过拉普拉斯变换方法获得运动学方程。

以下为运用拉普拉斯变换方法解阻尼振动动力学方程的例子

d2xdx

已知：阻尼振动动力学方程为249x0其中初位移

dtdt

x00cm、初速度v015cm/s，求质点的运动学方程。

解；依题可得2，03

d2xdx

L[249x0]0，又由拉普拉斯变换的基本性质—导数定理dtdt

L[f(n)(t)]pnL[f(t)]pn1f(0)pn2f'(0)pf(n2)(0)f(n1)(0)与初始条

件x00cm、v015cm/s可得

p2(p)154(p)p9(p)0 (p)(p24p9)15

(p)

15 2p24p9(p2)因为

t

L[]esint22

(p)

1

最后可得x2tsin5t

用特征根法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便了。

3 旋转矢量法解振动方程

在欠阻尼振动中A0et表示不断随时间而衰减的振幅，cos('t)则以'为圆频率周期地变化，两因子相乘表示质点做运动范围不断缩小的往复运动，这与简谐振动有许多相似处，因此我们也可以运用旋转矢量来描述欠阻尼振动并结合初始条件解得运动学方程。

如图示，

t

A表示模不断随时间而衰减的矢量，其中AA0e，

'开始时(t=0),矢量A与x轴的夹角等于初相位，令A以角速度（欠



阻尼振动角频率）逆时针方向旋转，则矢量在x轴上的投影就是振动的位移想xAcos('t)。

ˆ

A

't

A0



速度、角速度在旋转矢量中的表示



由于矢量A在以角速度'匀速转动过程中模不断地减小因此我们可

以仿造速度与加速度在极坐标表示法，先将将矢量投影到径向ˆ和横

ˆ上。 向r

d(t')ˆˆ vAAA0etA'则 横向速度为 

dt

t

ˆˆ rAArA径向速度为 vr0e

A)ˆ2A'ˆ 横向加速度a(2A

ˆA(2'2)rˆ 径向加速度ar(AA2)r



分别取它们在x轴的投影就是振动的速度与加速度

vAcos(')A'sin(')

aA(2'2)cos('t)2A'sin('t)

从以上分析用这种旋转矢量法，只要知道初始条件便可以清晰明了地确定出质点的运动学方程。 4 结论

解阻尼振动动力学方程时，在传统的解析法中通过特征根法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且如果所有初始条件都为已知，求取微分方程的拉氏变换式就更为方便。而对于欠阻尼振动由于与简谐振动有许多相似处，可以运用旋转矢量解的运动学方程，从而确定出整个运动过程中各物理量的变化情况。 【参考文献】

[1] 漆安慎、杜婵英．普通物理学教程—力学，第二版 ．北京：高