期望效用理论与非期望效用理论的对比分析

第17卷第3期经　济　数　学Vo1117　No.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2000年9月MATHEMATICSECONOMICSSep.2000张鸿雁

(,)Ξ摘　要　,在对非期望效应理论的探讨中,通过,其结果对风险决策分析具有一定的指导意义.关键词,,非期望效应,三角形概率图,风险决策

1.　引　言

经济学家对风险的态度由效用函数决定,主张风险偏好(riskpreferences)满足Neumann-Morgenstern公理.传统期望效用理论(EU)通过期望效用最大化选择最优储蓄或保险的策略.最近,由于发现了期望效用理论的种种局限,风险决策的研究者正努力建立一种更具一般性的效用模型,非期望效用理论随之发展起来.

Machina(1982,1987,1995)的论文中做了大量工作,通过把效用曲线显示在三角形中予以解释,发现了许多违反期望效用理论的现象,突破线性概率、概率与效用的独立性等期望效用的基本原理,提出一般形式的偏好函数,并且用局部效用函数代替传统效用函数,研究了非期望效用理论在传统保险领域中的许多结论的稳健性.

本文在前人的基础上,将期望效应理论与非期望效应理论进行对比分析,进一步研究了违反期望效用理论的种种现象,试图寻求一种较为通用的解释,能够解释多个实验中的结论和现象.并对Machina(

1987)中所得结论作了深入探讨,目前非期望效用理论尚未发展成熟,所有非期望效用模型都只能解释一部分违反期望效用理论的现象,本文只对非期望效用理论作了一些定性探讨,更进一步的理论研究结果和在保险经济中的应用实例将别文介绍.

21　期望效用理论

权衡目标的均值和风险,要将决策者的“偏好”定量地描述出来,方法之一是寻找决策者的效用函数.效用(utility)是某人对某物的评价.在决策问题中,效用值(utilityvalue)能表示决策者对某种可能情况的偏好程度.因此,决策者可以按效用值或其均值排列的优先次序,将这种偏好程度规范化,可以用效用函数定量地表示出来.

以R表示所有可能结果(outcomes)的集合,它可以是实数域的子空间,也可以是多维空间Ξ　本文受到中南工业大学文理基金资助.

　　　　收稿日期:2000-03-21

—　　　　　　　　　　　　　　　　　　经30—济数学　　　　　　　　　　　　　第17卷的子空间(考虑多目标时),甚至可以包括非数字的集合.对于每个决策行动,它的结果常常是不确定的,是在R上的一个概率分布P,假设能在R上找到实值函数u(x),反映x对决策者的价值,其均值E[u(x)]是在概率分布P下的期望效用,在期望效用理论中反映了决策者对这一决策的偏好程度.

期望效用理论(EU)要求以下公理;

・完备性(completeness):在评估两种方案时,x1,2者无差别(indifferent),即x1>x2或x1x1x・传递性()优于xx,x1优于x3,即x1>x2,x2>x3,则x1>x・):如果x1

・独立性(independence):若x1～x2,则px1+(1-p)x3～px2+(1-p)x3.

在这些假设下,可找到一个效用函数u(x),且可认为决策者的决策原则是极大化效用均值.效用函数定义在可能结果的集合上,取值为实数.它具有如下性质:

当x1>x2时,u(x1)>u(x2);当x1～x2时,u(x1)=u(x2).

注意,这样定义的效用函数并不唯一.一个决策问题的效用值同时乘以任意正数及加上任意正数,不影响以期望效用值为准则所做的决策.

效用值的确定有很多方法,如等价概率法和标准博弈法(StandardGambleTechnique)等.效用函数是主观的,它随决策者改变,而决策者的主观看法也可能随时间变化.因此,效用函数是非常多样的.根据对待风险的态度可将效用函数分为三种类型:a.回避风险(Risk2averse),b.中性态度(

Risk2neutral),c.勇于冒险(Risk2seeking),其图形如图1所示.一条效用曲线也可能同时具有凹凸两部分,如图2和图3所示.

图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　图3

心理学因素、生存风险度等都是影响效用函数的重要因素.如当决策者面临破产的危险时,他的效用观念会发生很大的变化.在保险业中,

一个企业对待火灾保险的态度也有类似情况.企业往往愿意承担远高于失火损失期望值的保险费以避免一切都付之一炬.因而没有一种万能的效用函数适用于一切情况.保险公司应对不同险种进行市场调查,寻求适合消费者偏好的效用函数.

第3期　　　　　　　张鸿雁:期望效用理论与非期望效用理论的对比分析—31—传统风险理论中用u′>0且u″

u(x)-u(xh)・x/xh>=0u′>0u″

究复杂化.

我们回到用-u″/u′表示风险回避程度的传统效用函数,构

造一个具有不变风险度r=-u″/u′的效用函数:

令r=c

(w)/u′(w)=-d[lnu′(w)]/dw=cr=-u″

(w)]=-cdwd[lnu′

(w)=-cw+k1lnu′

(w)=ek1e-u′

u(w)=ek1cwcwk-dw=-(e1/c)ecw图4∫e-+k2

aw其中k1,k2为积分常数.这实际上是常用的指数效用函数(u(w)=-e-

形式.

常用的风险回避型效用函数还有分数幂效用函数和平方效用函数.

分数幂效用函数:

u(w)=w,其中w>0,0

(w)=rwr-1>0,　u″(w)=r(r-1)wr-10)的一般

平方效用函数:

2u(w)=w-aw,　　其中w0

(w)=1-2aw>0,　u″(w)=-2a

由于平方效用函数的期望只依赖于分布的一阶矩与二阶矩,计算较简单,因而可选此效用函数做共保和含免赔额的保险模型实例.

效用函数形式多样,例如可构造一函数u(w)=w/(1+w),(其中w>0),因为其u=1/(1+w)2>0,u″=-2/

(1+w)3

31　非期望效用理论的发展

为了较为直观地研究效用理论,Machina(1982)、Camerer(1998)等研究者开发了一种方法,

—　　　　　　　　　　　　　　　　　　经32—济数学　　　　　　　　　　　　　第17

卷把效用曲线显示在三角形概率图中予以解释,本文下面的许多讨论也是针对三角形概率图形行的.

考虑三种可能的结果x1、x2、x

3(且x1

对于EU,,p=p1u()2u(xp3u(x3)

因为p13,:

V()u(x2)+[u(x3)-u(x2)]p3-[u(x2)-u(x1)p1

:

MRSeu(p1,p3)=[u(x2)-u(x1)]/[u(x3)-u(x2)]

当x1,x2,x3固定时,MRSeu为常数,仅依赖于三种结果的相对效用,因而效用曲线是有相同斜率的平行直线.

从图5中可以明显看出EU无差异曲线的性质:线性与平行性

.

图5　　　　　　　　　　　　　　图6

近年来,有许多实验研究检验了EU和非期望效用理论.Machina(1982)认为大多数违反EU独立性公理的现象可以用无差异曲线发散(fan2out)来解释.Camerer(1989)实验结果发现被测试者违反EU,无差异曲线在三角形中大部分发散,少部分聚集,因此Machina(1982)的发散假说不完全正确.Conlisk(1989)发现无差异曲线在左上角聚集.Prelec(1990)发现有35%的被测试者的无差异曲线在底边和右下角聚集.Starmer和Sugden(1989)发现在底边发散,在左边聚集.Battalio等(1990)观察到沿底边聚集,同时,对收益值来说无差异曲线在左上角聚集,而对损失值来说却在右下角聚集的现象.Abdellaoui和Betrand(1992)作实验发现曲线沿三角形的底边和左边散开,而在三角形的其他部位却大致平行.

41　对非期望效用理论的探索

目前所有的非期望效用理论虽然都能解释一部分违反EU的现象,但都不能解释全部.所

第3期　　　　　　　张鸿雁:期望效用理论与非期望效用理论的对比分析—33—以,发展新的综合性的理论以替代EU,尚须做许多工作.本文为寻找一种较为通用的解释做了一些尝试,虽不能解释一切现象,但对多个实验中的结论及一些现象作出了较为合理的解释.　　　　　

为检验Machina提出的发散性假设,我们在Machina(1987)实验的两组组合a1a2,a3与a4的基础上,增加了一组组合a5与a6.该实验如下:

令:x1=＄0,x2=＄1,000,000,x3=＄5,000,.1,p3.三组实验组合分别为:

p1=0

.a1a2p2=0.89

1=0.90

a3p2=0

p3=0.10

p1=0.01

a5p2=0

p3=0.00p3=0.10

p1=0.89　　　　与　　　　ap2=0.11p3=0p1=0　　　　与　　　　ap2=0.11p3=0.89

在期望效用假设下,由图7可知,在第一组中选择a1,在第二组中必须选择a4,而在实际常是a1和a3被选中,如图8所示.因此Machina提出了发散假设.但是许多效用理论领域的研究者经过验证,发现发散假设并不完全正确.

为此,我们进一步考察了位于左上角的a5和a6,发现被测试者普遍认为a5和a6的差别不是太大.虽然风险回避的个体可能会在犹豫后选择a6,也有许多个体选择a5,因而无差异曲线在左上角不再发散,甚至出现聚集的趋势,见图9.这与Conlisk(1989),Starmer和Sugden(1989)等实验结果相似.这说即使在Machina提出的发散实验中,无差异曲线的发散假设也并不完全成立.

图7　　　　　　　　　图8　　　　　　　　图9

为了验证三角形概率图中无差异曲线的形状是否与所选取的测试值x1,x2,x3有关,分别取如下三组数值组合重复实验.

—　　　　　　　　　　　　　　　　　　经34—

x1=＄0济数学　　　　　　　　　　　　　第17卷x1=＄1,000,000x1=%3,000,000

1,000,000　　1,100,000　4,000,0001x2=＄2x2=＄3x2=＄

x3=＄1,100,000x3=＄5,000,000x3=5,000,000

我们发现当x1的值很低时,a3与a4这组选择容易出现冒险趋向,应解释.当盈利很少的情况概率很大时,,.在三角形概率图中的直角附近,由于高概率往往被低估所造成的.effect),即确定性.,(Hey(1995)发现在一般情况下该曲线遵守EU的结论相符.

,不同的{xi}会在一定程度上改变无差异曲线的倾斜程度,但一般不会使三角形概率图中无差异曲线总体的分布形状发生根本性的变化.

效用u与xi,pi都有很大关系,仅把偏好函数取为u的期望,而u又仅是xi的函数,这的确太简单化,忽略了许多复杂因素的影响,因而必然有许多不满足EU的现象.

在上面的讨论中,已经提到了几种影响偏好的因素,而研究表明人们对获利和损失所得出的效用曲线也有很大差别.当获利时容易偏于保守,而损失时容易趋于冒险.Swarm给出了一系列S形的效用曲线,Meyer指出效用曲线对正常经营风险来说是风险回避型的,而当接近破

产时,就表现出较强的冒险倾向.

以上的讨论均是对于0-x2>-x3>0,取最小者为最优.则三角形概率图如图10所示.转化为x1,x2,x3的三角形概率图,如图11

所示.

图10　　　　　　　　　　　　　图11

这种由获利向损失的推广是否合理呢?它所得的结论具有普遍性,与Battalio(1990)观察的结果相符:对获利而言,曲线在左上角聚集;对损失而言,在右下角聚集.因而,人们对获利和损失看似不同的态度也有其内在的联系.

51　常见的非期望效用理论

511　加权效用理论(weightedutilitytheory)

加权效用理论(WU)减弱了EU的独立性条件,增加了一额外自由度,该额外的自由度由

第3期　　　　　　　张鸿雁:

期望效用理论与非期望效用理论的对比分析—35—加权函数体现.其偏好表示为加权效用公式WU:

v(px+(1-p)y]=[pw(x)u(x)+(1-p)w(y)u(y)]/[pw(x)+(1-p)w(y)]如果w(x)是一常数,则WU退化为EU.对x1,x2,x3,x4四种可能情况而言,WU则为:v(p)=[w1p1u(x1)+w2p2u(x2)+w3p3u(x3)+w4p4u(x4)]/(p1w1+p2w2+w3+p4w4)这里,w1,w2,w3,w4分别是x1,x2,x3,x4的权重.

512　等级依赖期望效用理论(rank2dependent)

为了不违反随机优势假设,(.)F,根据离散型积累分布函数的等级,(EURDP).一般说来,EURDP-p)y]=g(p)u(x)+[1-g(p)]u(y)　　其中x

假定g(p),且g(0)=0,g(1)=1.如果g(p)=p,那么EURDP则为EU.

对于四种可能结果,则EURDP为:

v(p)=u(x1)w1(p)+u(x2)w2(p)+u(x3)w3(p)+u(x4)w4(p)

w4(p)=g(p1+p2+p3+p4)-g(p1+p2+p3)

w3(p)=g(p1+p2+p3)-g(p1+p2)

w2(p)=g(p1+p2)-g(p1)

w1(p)=g(p1)

Quiggin(1982)和Yaari(1987)提出了两种g(p)的函数形式,g(p)=pr或g(p)=pr/[pr+(1-p)r]1/r

在三角形概率图中,如果g(p)是凹的,无差异曲线在直角p2=1处最陡.如果g(p)是凸的,无差异曲线在p2=1处最平缓.在斜边p2=0处的斜率对于任一个g(p)都相等,即曲线在三角形区域内并不是一致发散或聚集.

61　结语

在效用理论的发展过程中,由于期望效用理论的局限性,许多实际问题得不到解释.非期望效用理论在它的基础上有了一定的发展,可以有效地解释非线性概率、三角形概率图的不平形性等现象,但仍未发展成熟.本文将期望效用中风险回避的凸凹性要求减弱为一种逻辑区分,在对收益的三角形概率图的研究中发现了底边发散、左上角聚集的情况,认为三角形概率图仍大致符合期望效用模型,直角处曲线变陡是由于高概率习惯性低估,右下角变散是由于破产效应,并提出收益与损失的三角形概率图存在的内在的联系.

效用理论还有待进一步发展.我们希望通过效用理论在保险经济中的应用,使人们能够根据不同情况,运用合理的效用函数有效地解决实际问题,促进效应理论的发展.

—　　　　　　　　　　　　　　　　　　经36—济数学　　　　　　　　　　　　　第17卷

参　考　文　献

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[4]　K,E.oftheclassicalinsuranceparadigm:discussion,in:Non2Expected

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andRiskManagement,KluwerAcademicPublishers,Boston,1995,9-50.

THECOMPARATIVEANALYSISBETWEEN

EXPECTEDUTILITYANDNON2EXPECTED

UTILITYPREFERENCE

FUNCTIONS

ZhangHongyan

(ActuarialAnalysisandRiskEngineeringInstitute,

Central2SouthUniversityofTechnology,Changsha,410083)

Abstract　Inthispaper,wecomparedthebasicallyresultsoftheresearchesbetweenexpectedutilityandnon2expectedutili2ty.Andwediscussednon2expectedutilityindetailbythegraphoftriangleprobability,wefoundthatMachinaπs‘fan2out’as2sumptionisnπtalwayscorrect.Ourresultsareusefulfortheriskanalysis.

Keywords　　Utilityfunction,expectedutility,non2expectedutility,graphoftriangleprobability,riskdecision