函数零点存在性的几种证法

函数零点存在性的几种证法

张晓萍

摘要：利用介值定理、中值定理、单调性、最值、保号性证明有关函数零点的命题。关键词：介值定理

中值定理

单调性

最值

保号性

零点

文章编号：１００８—６５５２（２００６）０１—００４６—０２

作者简介：张晓萍，１９６３生，女，副教授。（浙江传媒学院信患系，浙江杭州，３１００１８）中图分类号：０１７

文献标识码：Ａ

在学习高等数学过程中，经常会遇到与函数零点相关的一些理条件，从而存在介于ａ与ｂ之间的∈，使得

璧岸生往往感到束手无策’本文主要探讨解决此类问题的＿些方法。

１利用介值定理

｝５—７Ｉ４“（１．洲÷一÷），

。

“

“

“

整理即得结论。

３利用导数

例１证明方程Ｘ５＋Ｘ一１＝０有一个正根。

证明：设ｆ（ｘ）＝ｆ＋ｘ—Ｉ，则ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，且ｆ（０）＝一Ｉ＜Ｏ，“１）＝Ｉ＞０，由介值定理知存在一点∈Ｅ（０，Ｉ），使得ｆ（∈）＝Ｏ，即∈是方程ｆ＋ｘ～Ｉ＝０的一个正根。

例４设函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０处可导，且对任意的实数ｘ、Ｙ满足方程火ｚ＋，，）＝又茹）＋灭，，），证明：ｆ（ｘ）一ｆ（０）ｘ－；０。实数Ｘ，

２利用中值定理…

我们常常将所要证明的问题转化为证明导数零点的存在性，由中值定理证明之。

州＝五盛监等｝世＝矗晶趔』掣

：ｎ．ｍ．薹掣：“．ｍ．世蝉：八ｏ），故／ｋ

△州

△石

证明：由条件ｆ（ｘ＋Ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（Ｙ）知ｆ（ｏ）＝０，于是对任意的

△删

’

ｘ

例２设函数ｆ（Ｘ）在（ｏ，Ｉ］上连续，且』ｊｆ（ｘ）ｄｘ＝ｏ，证明在开区

间（０，１）内方程ｆ（１一Ｘ）＋ｆ（Ｘ）＝Ｏ至少有一个根。

证明：设

八笫）＝以Ｏ）ｘ＋ｃ，令并＝０得ｃ＝０，所以以ｘ）一八０）ｚ；０。

４利用最值

例５假设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可微，若ｆ－（ａ）＜ｏ，ｆ，－（ｂ）＞０，则Ｈｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根。

Ｆ（并）＝ＪｏＩｆ（Ｉ—ｆ）＋尺ｆ）］ｄｔ，贝ＨＦ（ｏ）＝０，

Ｆ（１）＝ｆｌ［“１一ｔ）＋ｆ（ｔ）］出＝厶ｌ—ｔ）出＝Ｉｌ八ｔ）ｄｔ＝０，

由洛尔定理知至少存在一点妊（０，１），使Ｆ≮∈）＝０，即ｆ（１一毒）＋ｆ（专）＝Ｏ

例３设ａｂ＞０，证明方程（Ｉ—ｘ）ｅ。（ａ—ｂ）一ａｅ“＋ｂｅ４＝０在ａ与ｂ之间至少有一根。

证明：Ｎｆ；（ｎ）＝“凸厶旦土掣＜０，故对于充分小

例６设ｆ在［ａ，ｂ】上连续，且对任何ｘＥ［ａ，ｂ］，存在ｙｔ［ａ，ｂ］，

的正数ｘ，ｆ（ｘ＋ａ）＜ｆ（ａ），于是函数ｆ（ｘ）不可能在ａ点取得最小值；同理函数也不会在ｂ点取得最小值，所以它的最小值只能在（ａ，ｂ）取得，由极值的必要条件知“Ｘ）＝０在（ａ，ｂ）内至少有一个根。

证明：设ｆ（ｘ）＝ｘｅ＋，由ａｂ＞ｏ知以÷与÷为端点的区问不包

ａ

Ｄ

使得

含原点，故ｆ（ｘ）在以—Ｌ与÷为端点的区问上满足拉格朗日中值定

ａ

Ｄ

Ｉ“，，）Ｉ＜÷ｌ火石）Ｉ．

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函数零点存在性的几种证法

证明：存在靠［ａ，ｂ］，使得ｆ（∈）＝０。

证明：由ｆ在［ａ，ｂ］上连续知…也在［ａ，ｂ］上连续．若记…在［ａ，ｂ］上最小值ｍ＝ｌｆ（∈）Ｉ，则当ｍ＝０时结论成立；当ｍ＞０时，对妊［ａ，ｂ］，存在ｙＥ［ａｙｂ］，使得ｆ“），）Ｉ＜ｉ１｝以ｆ）Ｉ，矛盾，所以存在妊［ａ，ｂ］，使得ｆ（∈）＝０。

即ｅ。ｆ（ｘ）≤ｏ，ｆ（ｘ）≤ｏ，而已知ｆ（Ｘ）≥０，所以对Ｖｘ∈［０，＋ｍ）有ｆ（ｘ）－－＝０。

７利用积分中值定理‘２１

例９设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导且满足ｆ（１）＝ｋ

』Ｔｘｅｌｌｌｆ（ｘ）ｄｘ（ｋ＞１），证明至少存在一点∈∈（０，１），使得ｆＩ∈）一

５利用函数的幂级数展开式

例７证明多项式

（１一∈。）ｆ（《）＝０。

证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘｅｌ‘１ｆ（ｘ），由积分中值定理至少存在一点１１Ｅ

１

豫㈦…暑＋葑＋．．－＋南

没有实根。

证明：假设Ｐ（Ｘ）存在实根ｘ０，由Ｐ（ｘ）的常数项为１大于０

［０，÷］Ｃ［０，１］，使得

Ｋ

产

Ｆ（１）＝八１）＝ｋ【戈ｅ。矾ｚ）ｄｘ＝Ｆ（田），

又由Ｆ（ｘ）在［ｑ，１］上满足洛尔定理条件知至少存在一点￡Ｅ（Ｔ１，１）ｃ（０，１），使得Ｆ≮∈）＝０，即

ｅｌｏ［八ｆ）一彰Ｉ亭）＋毒“ｆ）］＝０，

也就是

八ｆ）一（１一ｆ。）“ｆ）＝０。

前面我们讨论了证明函数零点存在的一些方法，希望能对相关命题的证明有一定的参考作用。

参考文献：

［１］同济大学数学系编．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００２．１２７—１６０．

［２］华东师范大学数学系编．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．２１７—２１９．

可知ｘ。＜ｏ，设ｘ０＝一：（：＞ｏ），则有

㈧一；＋筹一著＋．．・＋赢

与Ｐ（ｘ０）＝０矛盾，故Ｐ（Ｘ）没有实根。

纠＋西而【筇Ｊ＞。＞ｕ，＝ｅ一。＋ｉ赢（筇）２”＋１＞ｅ一‘＞ｏ，

６利用积分的保号性

例８设ｆ（ｘ）在［０，＋＊）上可微，且０≤ｆ－（ｘ）≤ｆ（Ｘ），ｆ（ｏ）＝０求证：对Ｖｘ∈［０，＋ｍ）有ｆ（ｘ）；Ｏ。

证明：由“ｘ）一ｆ（ｘ）≤０知ｅ。［ｆ－（ｘ）一ｆ（ｘ）］≤０，即［ｅ。ｆ（ｘ）］≤Ｏ，故对

Ｖ菇∈［ｏ，＋ｍ），ｒ［一狄￡）］犰≤ｏ，

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作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

张晓萍

浙江传媒学院,信息系,浙江,杭州,310018

浙江传媒学院学报

JOURNAL OF ZHEJIANG INSTITUTE OF MEDIA & COMMUNICATIONS2006,13(1)

参考文献(2条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 同济大学数学系 高等数学 2002

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zjcmxyxb200601017.aspx