1马科维茨

Finance中最光辉的名字

1托宾（耶鲁大学经济学教授，1981年获诺贝尔经济奖）1958建立了收益风险理论，即考虑风险资产组合和无风险资产之间的比例配置，这与人们对风险的态度有关。

2马科维茨（芝加哥大学毕业，纽约大学教授，1990年获诺贝尔经济奖）1952建立了均值方差模型，即只考虑风险资产组合之间的比例配置，这与人们对风险的态度无关。 3夏普（加州大学洛砂机分校毕业，斯坦福大学教授，1990年获诺贝尔经济奖）建立了单指数模型，1963他在管理科学杂志发表了投资组合分析的简化模型，1968年在金融杂志上发表了：资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。

1962林特纳（哈佛大学商学院）和1966莫森（卡内基理工学院）也发现了同样的结论。 4 1970年法码建立了有效市场假说理论。 5 1976年罗斯（麻省）建立了套利定价理论。 6.1973年，Black和Scholes建立了B-S期权定价公式 7.1979年Cox-Ross-Rubinstein等人建立了二项式期权定价理论 研究货币理论的蒙代尔、弗里德曼不是Finance学家，是宏观经济学家

在切点处的期望收益率是 E(rP)

BArfACr

f

在切点处的标准差是 



Cr

2f

2ArfB

f

P

ACr

在切点处的投资比例是 x

CE(rP)A

D

V

1

R

BAE(rP)

D

V

1

I

1ACr

f

V

1

e

rfACr

f

V

1

I

应用单指数模型求最优投资组合应用单指数模型求最优投资组合

1允许卖空情况下的投资组合最优化

T

假设有n种风险资产，这n种风险资产的期望收益率是e(E(r1),...,E(rn))，

I(1,...,1)是单位向量，n种风险资产的投资比例是X(x1,...xn)

n

TT

，其余的资金

1

x

i1

i

1XI投资于风险资产。如果1XI0，投资者为贷款人，则以无风险利

TT

率rf贷出一正比例的资金；如果1XI0，投资者为借款人，则以无风险利率rf借入资

T

金，并用此收入增加在n种风险资产上的投资，这时，对于给定的期望收益率E(rP)，在允许卖空的情况下求解有效边界的二次规划方程是：mins.t.Xe(1XI)rfE(rP)

根据分离定理，将n种风险资产的投资比例X(x1,...xn)T单位化后的投资比例就是最优资产组合在n种风险资产上的投资比例。利用拉格朗日乘子，构造如下的拉格朗日函数：

L

12

XVX[E(rP)Xe(1X

T

T

T

12

XVX

T

，

TT

I)rf]

拉格朗日函数对X求导数，并令其等于0，可得N个方程：VX(erfI)0。 定义Z

X



，方程两边同除以，可得：erfIVZ

对于i1,...,n，写成n个方程组的形式就是：

n

E(ri)rfzi

2

i



z

j1ji

j

ij

将前面介绍的单指数模型中的iiM(ei),ijijM代入上式

n

n

j

22222

E(ri)rfzi

2i2M

zi(ei)

2

z

j1ji

ij

2M

zi(ei)i

2

2M

z

j1

j

j （6-28）

求得zi

E(ri)rf

(ei)

2



i

2

2M

n

(ei)

z

j1

j

j （6-29）

对上n个方程的两边同乘以i，并求和，得：

n

n

j

z

j1

j

n



j1

E(rj)rf

n

(ej)

2

j



j1

jM

2

22

n

(ej

n

z)

j1

j

j

n

上式中对zjj进行求解，可得：zjj

j1

j1



j1

E(rj)rf

n

(ej)

2

j/(1M

2



j1



2

2

j

(ej)

)

将上式代入式（6-29），最后得到：

zi

i(ei)

2

[

E(ri)rf

n

i

*



2

M



j1

n2

E(rj)rf

n

(ej)

2

j/(1

2M



j12M



2

2j

(ej)

)] (6-30)

2j

令Di

E(ri)rf

i

，C[M



j1

(E(rj)rf)

j

n

(ej)

2

]/[1



j1



2

(ej)

]，则

zi

i(ei)

2

(DiC) （6-31）

*

将上式子标准化，即可得标准化的权数xi。

因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下： （1）按Di

E(ri)rf

i

n2M

的值从大到小排列。

2j

（2）计算C[

*



j1

(E(rj)rf)

j

n

(ej)

2

]/[1

2M



j1



2

(ej)

]

（3）决定最优资产组合zi

i(ei)

2

(DiC)

*

当DiC*0时，zi0，表示第i种资产处于投资状态；当DiC*0时，zi0

*

表示第i种资产处于卖空状态；DiC0，zi0表示第i种资产不在投资者的最优组

成组合中。

（4）当zi确定后，用下式确定投资比例：xi

zi

n

j

z

j1

例：有10种可选的资产，具体数据如表6-1所示。

2

表6-1 确定最优资产资产需要的数据（rf=5%,M10）

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A 证券(i) （1） 证券1 证券2 证券3 证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10

B 期望收益率 （2） 15 17 12 17 11 11 11 7 7 5.6

C 风险溢价 （3） 10 12 7 12 6 6 6 2 2 0.6

D E F

i

（4） 1 1.5 1 2 1 1.5 2 0.8 1 0.6

(ei)

（5） 50 40 20 10 40 30 40 16 20 6

2

Di

（6） 10 8 7 6 6 4 3 2.5 2 1

表6-1是投资分析者通过排序决定最优资产组合所必须掌握的数据，这些数据可以从单指数

模型中获得，也可以由分析者主观估计得到。表中第6栏数据按从小到大排列。 计算如下：

10

n

C

*



2M



j1

E(rj)rf

n

(ej)

2

j/(1

2M



j1



2

2j

(ej)

)=

10

j1

第（3）栏第（4）栏

第（5）栏

10

=4.31242

110

j1

第（4）栏的平方

第（5）栏

计算结果如表6-2所示。

13 14 A C* B 4.31242

C 0.2 0.45 D 0.02 0.05625 E z1 F 0.11375 G x1 H 0.771749989 15 0.35 0.05 z2 16 2.4 0.4 z3 17 0.15 0.025 z4 18 0.3 0.075 z5 19 0.3 0.1 z6 20 0.1 0.04 z7 21 0.1 0.05 z8 22 0.06 0.06 z9 23 42.1 9.7625 z10 24

计算公式如表6-3所示。

A B C D 13 =(C3*D3)/E3 =D3^2/E3 14 C* =C23/D23

=(C4*D4)/E4 =D4^2/E4 15 =(C5*D5)/E5 =D5^2/E5 16 =(C6*D6)/E6 =D6^2/E6 17 =(C7*D7)/E7 =D7^2/E7 18 =(C8*D8)/E8 =D8^2/E8 19 =(C9*D9)/E9 =D9^2/E9 20 =(C10*D10)/E10 =D10^2/E10 21 =(C11*D11)/E11 =D11^2/E11 22 =(C12*D12)/E12 =D12^2/E12 23 =10*SUM(C14:C22)

=1+10* SUM(D13:D22)

24

2不允许卖空情况下的投资组合最优化

0.13828 x2 0.938192243 0.13438 x3 0.911696999 0.33752 x4 2.289884029 0.04219 x5 0.286235504 -0.0156 x6 -0.10598098 -0.0656 x7 -0.44520697 -0.0906 x8 -0.61481996 -0.1156 x9 -0.78443296 -0.3312 x10 -2.2473179

0.14739

1

E F G H z1 =D3/E3*(F3 -$B$14) x1 =F14/$F$24 z2 =D4/E4*(F4 -$B$14) x2 =F15/$F$24 z3 =D5/E5*(F5 -$B$14) x3 =F16/$F$24 z4 =D6/E6*(F6 -$B$14) x4 =F17/$F$24 z5 =D7/E7*(F7 -$B$14) x5 =F18/$F$24 z6 =D8/E8*(F8 -$B$14) x6 =F19/$F$24 z7 =D9/E9*(F9 -$B$14) x7 =F2/$F$24 z8 =D10/E10*(F10

-$B$14) x8 =F21/$F$24 z9 =D11/E11*(F11

-$B$14) x9 =F22/$F$24 z10 =D12/E12*(F12

-$B$14) x10 =F23/$F$24

=SUM(F14:F23)

=SUM(H14:H23)

当不允许卖空时，一般说来，需采用二次规划方法以求得最优资产组合。但是，有了单指数模型的假设，就可以相对容易地找出最优资产组合。由于对i=1,…,n，有非负约束zi0，其解应满足库恩-塔克条件，因此式（6-28）变为：

n

E(ri)rfzi(ei)i

2

2

M

z

j1

j

jui （6-32）

ziui0,zi0,i1,2,...,n

在这里ui是为了保证非负性而添加的虚拟变量。如果zi0，必须有ui=0；如果ui>0，必有zi0

当不允许卖空时，并非所有风险资产包含在最优的资产组合中，假定我们重新排列风险资产，使得前n1种风险资产有zi0，即包含在最优资产组合中；而其余资产的zi0，即不包含在最优资产组合中，那么（6-32）式可重写成：

n

E(ri)rfzi(ei)i

2

2

M

z

j1

j

j,i1,...,n1

E(ri)rf

zi由此可见，虚拟变量消失。所以，对这n1种风险资产：

(ei)

2



i

2

2

M

n1

(ei

z)

j1

j

j

对上n1个方程的两边同乘以i，并求和，得：

n1

n1

j

z

j1

j

n1



j1

E(rj)rf

n1

(ej)

2

j



j1

jM

2

22

n

(ej)

z

j1

j

j

E(rj)rf

n1

上式对zjj进行求解，可得：zjj

j1

j1

n1n1



j1

(ej)

2

j/(1

2

M



j1



2

2j

(ej)

)

代入式zi

i(ei)

2

E(ri)rf

(ei)

[

2



i

2

2M

n1

(ei)



2M

n1

z

j1

j

j中，最后得到：

n1

zi

E(ri)rf

i

*



j1n1

E(rj)rf

(ej)

E(rj)rf

2

j/(1

2M



j1n1



2

2j

(ej)

)]

令Di

E(ri)rf

i

，C

2M



j1

(ej)

2

j/(1

2M



j1



2

2j

(ej)

)，则

zi

i(ei)

2

(DiC)

*

*

因为很少能找出一种i为负的股票，所以当DiC0时，zi0。这样，根据股

票的Di可以对所有的股票进行排序，并计算每种股票的Ci值：

i

Crf

i

i

2E(rj)M



j1

2

(ej/(1

2

2j

M

j)



2

j1

(ej)

)

C*

等于这样一个Ci使得用于计算该Ci的所有资产的DiCi，而不用计算该Ci的所有资

产的DiCi。另外，如果已知某个资产包含在最优资产组合中，那么，较高的Di值的资产必定以正数包含在该最优资产组合中。

这样，决定那些资产包含在最优资产组合中的步骤为： 因此，在允许卖空的条件下，寻求最优资产组合的步骤如下：

（1）把所有可选资产的Di计算出来，然后按Di的大小从大到小进行排序。若某一值的资产包括在最优资产组合中，则Di值较大者就包含在最优组合中；若某一Di值的资产不包括在最优资产组合中，则D小于Di值的资产也不包含在最优组合中。因此，一种资产是否包含在最优资产组合中，只取决于这种资产的值的大小。

i

2（2）对每种资产i，计算CC2

E(rj)rf

i

i值：iM



/(12

j

M



2

j1

2

(ej)

jj1



(ej)

)

（3）比较Di和相应的Ci，寻找某Ci值，使得用于计算该Ci的所有资产的Di值大于Ci，而不用计算该C*i的所有资产的Di小于Ci，用C表示具有这种特性的Ci。

（4）所有满足D**

iC的资产包括在最优资产组合中，而DiC的资产不包括在最优组

合中。也就是说，最优资产组合由D*

iC的所有资产组合而成。

（5）当DC*

*

i时，第i种风险资产的最优比例为：zii

2

(e(DiC)

i)

（4）当zzi

i确定后，用下式确定标准化的最优投资比例：xi

n

z

j

j1

例：表6-4是根据表6-1中的数据计算得到的。

表6-4 计算分界值C*

(rr2i

证券(i)

Di)f

(E(ri)rf)i

i

E

2



E(rj)rf)i

i



2j

2

i

(e

i

2

i)

(ei)

j1

(ej)

2

j1



(ei)

（1） （2） （3） （4） （5） （6） 证券1

10

2/10

2/100

2/10

2/100

Ci

7）1.67

（

证券2 证券3 证券4 证券5 证券6 证券7 证券8 证券9 证券10

8 7 6 6 4 3 2.5 2 1

4.5/10 3.5/10 24/10 1.5/10 3/10 3/10 1/10 1/10 0.6/10

5.625/100 5/100 40/100 2.5/100 7.5/100 10/100 4/100 5/100 6/100

6.5/10 10/10 34/10 35.5/10 38.5/10 41.5/10 42.5/10 43.5/10 44.1/10

7.625/100 12.625/100 52.625/100 55.125/100 62.625/100 72.625/100 76.625/100 81.625/100 87.625/100

3.69 4.42 5.43 5.45 5.30 5.02 4.97 4.75 4.52

求不允许卖空时，最优资产组合比例。

具体计算步骤如下：

（1）表6-4中第2栏已按Di值的大小从大到小排列。

（2）现在利用表6-4的计算过程来说明决定Ci的具体步骤。先求表6-4中第一个资产的值

Ci，当i=1时：

1

(E(r1)rf)1

(e1)

2

2/10



j11

E(rj)rf)iE(r1)rf)1

(ej)



2

2j

2

(e1)

2

2/10



j1

(ej)

1



1

2

2

(e1)

1/502/100

Ci

2M



j1

E(rj)rf

1

(ej)

2

j/(1

2M



j1



2

2j

10)

2102100

1.67

(ej)

110

2

同理，当i=2时：Ci

2M



j1

E(rj)rf

2

(ej)

2

j/(1

2M



j1



2

2j

10)

110

6.5

10

3.69

7.625100

(ej)

依此类推，可以计算出所有的Ci值。

（3）由表6-4的第2栏和第7栏，可知，黑体数据满足DiCi，其余不满足。所以临界值C5.45，所以最优资产组合由编号为1,2,3,4,5的资产组成。 （4）第i（i=1,2,3,4,5）种风险资产的最优投资比例为：

z1z3

21005100

(105.45)0.091;z2(75.45)0.0775;z4

3.7510020100

(85.45)0.095625; (65.45)0.110;

*

z5

2.5100

(65.45)0.01375

5

（5）当zi值确定后，再用下式确定第i种风险资产的最优投资比例：zi0.387875

i1

5

用zi除以zi，可得：x1

i1

0.0910.387875

23.5%，x2

0.0956250.387875

24.6%

x320%，x428.4%，x53.5%

证券市场线

资本市场线只是揭示了有效组合的收益风险均衡关系，而没有给出任意证券或组合的收益风险关系。证券市场线则揭示了任意证券或组合的收益风险关系。

对于任意一个证券i，构建它与市场组合M的组合线。由于M是有效组合，因此，该组合线在M点一定与资本市场线相切，即在M点的斜率一定是

E(rM)rf

M

。设组合线上任意

一点Z的权重分别为xi,xM1xi，则有：

E(rZ)xiE(ri)xME(rM)



Z

(xiixM

222

2M

2xixMiMi

M

)

1/2

E(rZ)xi



Z

E(ri)E(rM)

2

2M

2M

xi



xi(i2iM)iM



Z

故有： E(rZ)

Z



E(ri)E(rM)

[xi(

2i



2M

2iM)iM

2M

]/

Z

由于在M点，xi0,ZM，代入上式得： E(rZ)

Z

|xi0

E(ri)E(rM)

iMM

2

M

2M

E(rM)rf

M

变形得：E(ri)E(rM)

iM

2M

(E(rM)rf)

化简即得：E(ri)rf此式即是证券市场线。

iM

2M

(E(rM)rf)rfi(E(rM)rf) （1）

i(E(rM)rf)表示市场风险溢价。

对于任何一个资产组合P，由于：

rPx1r1...xnrn

所以：

n

n

i

E(rP)x1E(r1)...xnE(rn)rfP(E(rM)rf)

x

i1

E(ri)

x[r

i

i1

f

i(E(rM)rf)]

思考题

预期A公司明年每股股息为0.7元，并且今后每股股息将以每年10%的速度稳定增长。当前的无风险利率为0.05，市场投资组合的风险溢价为0.08，A公司股票的贝塔值为1.5。那么A公司股票当前的合理价格是多少？若A公司股当前的价格是8元，则投资者应该购买该股票还是抛售该股票？

EMH的实证检验 弱式有效市场的检验

对于弱型有效市场的检验，可以采用所谓的随机游走假设检验的思路，如果实证结论支持随机游走的假设，则认为弱型有效市场成立。对随机游走假设的检验方法有多种，有Box-Pierce Q检验、Ljung-Box Q检验、游程检验、Dicky-Fuller检验、Phillipsk-Perron检验等。下面介绍游程检验的基本原理。

考虑样本值x1,...xn，记M为样本的中位数，将样本中大于或等于M的每个值“+”，小于M的每个值记为“-”，于是得到一个由“+”和“-”组成的序列，用N1,N2依次表示序列中“+”和“-”的个数，称序列中连续同号的一段为一个游程，游程中相同符号的个数称为该游程的长度。比如，有一个样本容量为10的观察值，经过上述方式后得到如下的符号序列“++---+-+++”，可以看出该序列共有5个游程，即++，---，+，-，+++，各游程的长度分别为2,3,1,1,3。记R为游程的个数，如果样本值是随机选取的话，R不应太大，也不应太小。可以证明，当N1,N2充分大时，

RE(R)D(R)

近似地服从均值为0、方差为1的标准正态分布，其中：

E(R)1

N1N2N1N2

，D(R)

2N1N2(2N1N2N1N2)(N1N2)(N1N21)

RE(R)D(R)

2

因此，在5%的显著水平下，如果||1.96，则可以拒绝样本是随机的原假设。

下面我们分别对1990年12月19日~1994年11月23日和1994年11月24日~2003年9月

10日的上证综指日对数收益率进行游程检验。

对1990年12月19日~1994年11月23日上证综指日对数收益率进行游程检验，结果如下：

z7.9097,p2.5811。因此，在上述期间，我们可以拒绝上证综指日对数收益率为随

机游走的原假设。对1994年11月24日~2003年9月10日上证综指日对数收益率进行游程检验果如下：z0.1729,p0.8627。因此，在上述期间，我们不能拒绝上证综指日对数收益率为随机游走的原假设。因此，我们可以认为，1994年以后，上海股票市场已经达到弱型有效。

债券思考题

（1）假定市场上有3种备选债券：债券1、债券2、债券3。其期望收益率分别为5%，15%，10%，久期分别为1年，2年和3年。投资者若结果想构造久期为2.5年的债券组合并使组合的期望收益率最大，则该投资者该如何投资？ 提示：

模型为max0.05x10.15x20.1x3

s.t.x12x23x32.5,x1x2x31,xi0

结果是债券1不投资，债券2投50%，债券3投50%。

（2）对于（1）中的情况，如果债券1，债券2，债券3的凸性分别为15、12、30，则投资者应该如何投资？ 提示：

模型为max15x112x220x3

s.t.x12x23x32.5,x1x2x31,xi0