一元二次方程知识点
一元二次方程
,并且②未知数的最高次数是,这样的
③
.........2.整式方程就是一元二次方程。 ....
2bxc0(a
0) “未知数的最高次数是2”:
①该项系数不为“0”;
②未知数指数为“2”;
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A 3x12x1 B
2
1x
2
1x
20
C ax2bxc0
D x22xx21
变式:当k 时,关于x的方程kx22xx23是一元二次方程。 例2、方程
m2x1、若方程m2x
m1m
则m的值为 。 3mx10是关于x的一元二次方程,
0是关于x的一元一次方程,
⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。 2、若方程m1x2 例1、已知2yy3的值为2,则4y2y1的值为。
例2、关于x的一元二次方程a2xx
a40的一个根为0,则a的值为
2
2
2
例3、已知关于x的一元二次方程axbxc0a0的系数满足acb,则此方程
2
2
mx1是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。
1、已知方程xkx100的一根是2,则k为 2、已知m是方程xx10的一个根,则代数式mm 。
2
2
2
3、已知a是x23x10的根,则2a26a 。 4、方程abx2bcxca0的一个根为( ) A
B 1 C bc D a
2
mm0,xm
对于xam,axmbxn等形式均适用直接开方法
2
2
2
例1、解方程:12x280; 22516x2=0;
31x90;
2
例2、若9x116x2,则x的值为 。
2
2
)
A.x232x21 B.x20 C.
2x31x D.x
290
2
xx1xx20xx1,或xx2 0”,
axmbxn,
xaxbxaxc ,x22axa20
2
2
例1、2xx35x3的根为( )
A x
52
B x3 C x1
2
52
,x23 D x
25
例2、若4xy34xy40,则4x+y的值为 。
变式1:a2b2a2b260,则a
2
2
b
2
变式2:若xy2xy30,则x+y的值为 。
变式3:若xxyy14,yxyx28,则x+y的值为。 例3、方程xx60的解为( )
A.x13,x
2 B.x13,x
2 C.x13,x
3 D.x12,x
2
2
2
2
2222
例4、已知2x23xy2y20,则1、下列说法中:
xyxy
的值为 。
①方程x2pxq0的二根为x1,x2,则x2pxq(xx1)(xx2) ② x26x8(x2)(x4). ③a25ab6b2(a2)(a3) ④ x2y2(xy)(x
y)(x
y)
7)(3x1
7)0
⑤方程(3x1)270可变形为(3x1正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、以1
7与1
7为根的一元二次方程是()
A.x22x60 B.x22x60 C.y22y60 D.y22y60
3、若实数x、y满足xy3xy20,则x+y的值为( )
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
例1、 已知x、y为实数,求代数式x
y2x4y7的最小值。
例2、 已知xy4x6y130,x、y
1、试用配方法说明10x7x4的值恒小于0。 2
、如果abc114a22b14,那么a2b3c的值为 。
2
2
2
2
2
2
bb4ac
bxc0a0x2
2a4a
2
2
为实数,求x的值。
y
a0,且b24ac0
b
b
4ac2a
2
x
,a0,且b24ac0
例1、选择适当方法解下列方程:
⑴31x6. ⑵x3x68. ⑶x24x10
2
⑷3x24x10 ⑸3x13x1x12x5 例2、在实数范围内分解因式:
(1)x22x3; (2)4x28x1. ⑶2x24xy5y2 说明:①对于二次三项式ax2bxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,
一般情况要用求根公式,这种方法首先令ax2bxc
=0,求出两根,再写成
ax
2
2
bxc=a(xx1
)(xx2).
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去. ⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。
例1、 已知x3x20,求代数式
例2、 已知a是一元二次方程x3x10的一根,求
说明:在运用降次思想求代数式的值的时候,要注意两方面的问题:①能对已知式进
行灵活的变形;②能利用已知条件或变形条件,逐步把所求代数式的高次幂化为低次 幂,最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组
2xy6,22
x5xy6y0.
(1)(2)
2
2
x13
x1
2
x1
的值。
a2a5a1
a1
2
32
的值。
说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元,再降次;②先降次,再
消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想,即把新问题转化归结为我们已 知的问题.
①定根的个数;
②求待定系数的值; ③应用于其它。
例1、若关于x的方程x2kx10有两个不相等的实数根,则k的取值范围是。 例2、已知关于x的方程x2k2x2k0
(1)求证:无论k取何值时,方程总有实数根;
(2)若等腰ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长。 说明:若二次三项式为一个完全平方式,则其相应方程的判别式0
即:若b24ac0,则二次三项式ax2bxc(a0)为完全平方式;反之,若
axbxc(a0)为完全平方式,则b
4ac0.
2
2
2
1、已知方程mx
2
mx20有两个不相等的实数根,则m的值是ykx2,2、k为何值时,方程组2
y4x2y10.
(1)有两组相等的实数解,并求此解; (2)有两组不相等的实数解; (3)没有实数解.
5、当k取何值时,方程x4mx4x3m2m4k0的根与m均为有理数?
例1、关于x的方程m1x2mx30
2
22
⑴有两个实数根,则m为 , ⑵只有一个根,则m为 。
例2、如果关于x的方程xkx20及方程xx2k0均有实数根,问这两方程
是否有相同的根?若有,请求出这相同的根及k的值;若没有,请说明理由。
2
2
⑴“碰面”问题;⑵“复利率”问题;⑶“几何”问题; ⑷“最值”型问题;⑸“图表”类问题
1、 某小组每人送他人一张照片,全组共送了90张,那么这个小组共多少人?
2、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润。
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,
销售单价应定为多少?
ax2bxc0而言,当满足①a0、②0时,才能用韦达定理。
1x2例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根,则这个直角三
角形的斜边是( )
A.3 B.3 C.6 D.6
2
2
ba
,x1x2
ca
例2、已知关于x的方程kx2k1x10有两个不相等的实数根x1,x2,
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值;若不 存在,请说明理由。
22
例3、已知ab,a2a10,b2b10,求ab变式:若
a2a10,b2b10,则22
ab
ba
的值为。
3、已知x1,x2是方程xx90的两实数根,求x17x23x266的值。
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