线性代数章节作业

第一章

13. a a 21b b 21c ； c 21b b 2

1111

c −a c = 0b −a

c −a c −b 0c 20

1

解： a

a 2

=(b−a)(c−a)(c−b)

a -b -c 2a 2a 4. 2b b -c -a 2b ；

2c 2c c -a -b a −b −c 2a 2a 解： 2b b −c −a 2b

2c 2c c −a −b 111

=（a +b +c ） 2b b −c −a 2b

2c 2c c −a −b 111

=（a +b +c ） 0−a −b −c 0

00−a −b −c =（a+b+c）*1*（-a-b-c ）*（-a-b-c ） =（a +b +c ）

3

111-1115.

-1-11-1-1-111； 11

11

解： −11

−1−1−1−11= 000

1200

1220

111−111 11

12 22

=1*2*2*2 =8

126. 34

2341341241 23

10解： 10

10101=10 1

111=10 0

00

2341

23413412

341241 23

41 23

23411−3 0−4400−4

=10*1*1*（-4）*（-4） =160

118. 11

[**************]

11110123

解：=

0259039191= 000

1100

1210

13 31

=1*1*1*1 =1

第二章

1. 已知A 为四阶方阵，且|A |=2，求：(1) |- A|；(2) |2A |；(3) |AA T |； (4)| A 2|.

解:（1）|- A|=(−1) 4 A =2 (2) |2A |=24 A =32

(3) |AA T |= A AT = A A =2×2=4 (4)| A 2|= A A =2×2=4

⎛21⎫

2. 设矩阵A = , E 为二阶单位矩阵，矩阵B 满足BA =B +E ，⎪

⎝-12⎭

求|B |

解：∵BA=B+E ∴B(A-1)=E

111011

((A−1) , E ) → →

−110102

T

T 1

1010

→ 1101

1212

−

12

12

∵ B

T

= 21

2

−

12

12

1112

2

1 2

所以可得：B=

1

112

2

−

B =

2

−

111112

1 =2ⅹ22ⅹ2=22

3. 设A ，B 均为三阶方阵，且已知|A |=4，|B |=5，求|2AB |. 解： 2AB = 2A B =23 A B =8ⅹ4ⅹ5 =160

⎛14⎫⎛20⎫⎛31⎫

6. 已知矩阵A = ，矩阵X 满足 , B = , C = ⎪⎪⎪

⎝-12⎭⎝-11⎭⎝0-1⎭

AXB =C ，求解X .

解：AXB=C AX=CB−1 (B，En) →(En，B−1)

102010

有： →

−110101

1

12

12

01

即B

−1

= 21

2−1

01

10101421

11 (A，C B) → → →（E2，X）

−12−2−1014010

可得：X= 10

4

⎛010⎫⎛1-1⎫

7.设A = -111⎪, B = 20⎪，且X 满足X =AX +B ，求X .

⎪ ⎪ -10-1⎪ 5-3⎪⎝⎭⎝⎭

解：X=AX+B X(E-A)=B

111125

((E−A) T , B T ) → −100−10−3 →

0−12000

100103

44

0100 33

22

001033

103

440T

得：X = 33

220

3

3

1∴X= 0

3

第三章

00

4343

23 23

1. 已知α1=(1,2,3) , α2=(3,2,1) α, 3=-(2,0,2) α, 4=(1)3α1+2α2-5α3+4α4；(2) 5α1+2α2-α3-α4. 解：(1) 3α1+2α2-5α3+4α4

，求： (1,2,4)

=（3，6，9）+（6，4，2）-（-10，0，10）+（4，8，16） =（23，18，17） (2)5α1+2α2-α3-α4

=（5，10，15）+（6，4，2）-（-2，0，2）-（1，2，4） =(12，12，11)

2. 已知α1=(1,1,0,-1) , α2=(-2,1,0,0) , α3=(-1,2,0,1) ，又β满足3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β) ，求β.

解：设β=（b1，b2，b3，b4） 有3(α1-β) +2(α3+β) =5(α2+β)

3（1-b1，1-b2，-b3，-1-b4）+2（-1+b1，2+b2，b3，1+b4）=5（-2+b1，1+b2，b3，b4）

1−2b1=−10+5b17 −b2 = 5+5b2整理可得：

−b3=5b3−1−b4=5b4 b1=7 b=1

23 得

b3=0 1b=− 46

即：β=(，，0，−

7

3

6

11

1

1

11

3. 设向量α, β, γ满足5(α-γ) +3(β+γ) =o ，其中

α=(-2, -1,3,0),

β=(-2, -1,0,3) 求α+β+γ.

解：设γ=(a1，a2，a3，a4) 由5(α-γ) +3(β+γ) =o 可得 5（-2-a1，−1−a2，3−a3，−a4)+3（-2+a1，−1+a2，a3，3+a4）=o

（-10-5a1，−5−5a2，15−5a3，−5a4) +（-6+3a1，−3+3a2，3a3，9+3a4）=o

−16−2a1=0−8−2a2=0

15−2a3=09−2a4=0

a1=−8 a=−4 2

得a3=15

2

a=9 4

2

所以γ=(-8，-4，，)

2

2

159

4. 将向量β=(5,0,7) T 表示成向量组α1=(1,-1,0) T , α2=(2,1,3)T ,

α3=(3,1,2)T 的线性组合.

解：设β=K1a1+K2a2+K3a3

有(5,0,1)T=K1(1,−1,0) T+K2(2,1,3)T+K3(3,1,2)T

K1+2K2+3K3=5

−K1+K2+K3=0

3K2+2K3=1

K1=1

得： K2=−1

K3=2即β=a1−a2+2a3

5. 将下列各题中向量β表示为其他向量的线性组合. (1)β=(3,5,-6) , α1=(1,0,1) , α2=(1,1,1) , α3=(0,-1, -1) ； 解：设β=K1a1+K2a2+K3a3

有（3,5,-6）=K1(3,5,−6) +K2(1,1,1)+K3(0,−1, −1)

3K1+K2=3

5K1+K2−K3=5 −6K1+K2−K3=−6

K1=1得 K2=0 K3=0即β=5a1

(2)β=(2,-1,5,1) , ε1=(1,0,0,0), ε2=(0,1,0,0), ε3=(0,0,1,0),

ε4=(0,0,0,1) .

解：设β=K1ε1+K2ε2+K3ε3+K4ε4

（2,-1,5,1）=K1(1,0,0,0)+K2(0,1,0,0)+K3(0,0,1,0)+K4(0,0,0,1) K1=2K2=−1有

K3=5K4=1

即β=2K1−K2+5K3+K4

第四章

2. 求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

⎧x 1+2x 2+4x 3=3⎪

2x 2+2x 3=3； (1)⎨

⎪2x +2x +6x =3

23⎩1

1

解：（A ，b ）= 0

2

10202433

223 → 011

2

0000263

x1+2x3=0x1=−2x3

3→ 3原方程组同解方程组

x2+x3=x2=−x3

2

2

令x3=0得一特解

0η= 2

原方程的导出组同解方程组

∗

3

x=−2x3 1

x2=−x3

令x3=1有

−2ξ1= −1

1

原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于任意实数

⎧x 1+2x 2-x 3+2x 4=1⎪

(2)⎨2x 1+4x 2+x 3+x 4=5； ⎪-x -2x -2x +x =-4

234⎩1

12

解：（A ，b ）= 24

−1−212012−121

115 → 001−11

00000−21−4

x1=2−2x2−x4

x+2x2+x4=2x2=x2

原方程组同解方程组 1→

x3−x4=1x3=1+x4

x4=x4令x2=x4=0得一特解

2η∗= 0

10

原方程组导出组同解方程组

x1=−2x2−x4

x2=x2 x3=x4x4=x4

−2

令x2=1 ，x4=0有ξ1= 1

00

−1

令x2=0 ，x4=1有ξ2= 0

11

原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。

⎧x 1+x 2-3x 3-x 4=1(3)⎪

⎨3x 1+2x 2-3x 3+4x ⎪4=4； ⎩x 1

+2x 2-9x 3-8x 4=0

解:（A ，b ）= 11

32

−3−11

112−344 → 0−9−80

0原方程组同解方程组

x+3xx1=2−3x3−6x4

−x1

3+6x4=22+6x3+7x4=1

→ x2=6xx3+7x4−1x3=x3 4=x4

令x3=x4=0得一特解

2

η∗= −01

原方程组导出组同解方程组

x1=−3x3−6x x2=x6x+7x434 x3=xx3

4=4

−3

令x3=1，x4=0 ξ1= 61

0−6

令x3=0，x4=1 ξ2= 70

1

0−1306

062

71 00

原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。

⎧x 1-5x 2+2x 3+3x 4=11⎪

(4)⎨-3x 1+13x 2-4x 3-3x 4=-23. ⎪-x +3x +3x 4=-1⎩12

解：（A ，b ）

10−3−12−141−52311

= −313−4−3−23 → 01−1−3−5

00 0 0 0−1303−1原方程组同解方程组

x1=−14+3x3+12x4

x1−3x3−12x4=−14x2=x3+3x4−5→ x3=x3x2−x3−3x4=−5

x4=x4

令x3=x4=0得一特解

−14η∗= −5

00

x1=3x3+12x4x=x3+3x4原方程导出组同解方程组 2x= x33

x4=x43

令x3=1，x4=0 ξ1= 1

1012

令x3=0，x4=1 ξ1= 3

01

原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。

⎧x 1+x 2+x 3=0⎪

3. 已知齐次线性方程组⎨x 1+2x 2+x 3=0，当a 为何值时，方程

⎪ax +x +x =0⎩123

组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示) ．

11101010解： 1210 → 0100

a110a−1000当r(A)=n 时，只有零解 a-1≠0 a ≠1

即：当a ≠1时，只有零解 同理当a=1时，有非零解

101 010

x1=−x3

x1+x3=0

→ x2=0

x2=0x=x

令x3=1

−1

得ξ1= 0

1

即其通解为η=k1ξ1 其中k1属于实数

⎧ax 1+x 2+x 3=0⎪

4. 设3元齐次线性方程组⎨x 1+ax 2+x 3=0，

⎪x +x +ax =0

3⎩12(1) 当a 为何值时，方程组有非零解；

(2) 当方程组有非零解时，求出它的基础解系并表示出通解． a

(1)解： A = 1

1

1a1

1

1 =(a+2)(a−1) 2 a

3

3

当 A =0时有非零解 即a=-2或a=1时有非零解

111111

(2)当a=1时A= 111 → 000

000111

x1=−x2−x3

得x1+x2+x3=0→ x2=x2

x3=x3−1

令x2=1，x3=0 ξ1= 1

0−1

令x2=0，x3=1 ξ2= 0

1

方程的通解为η=k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。 −2

当a=-2时 A= 1

1

1110−1−21 → 01−1

0001−2

x1=x3

x1−x3=0同解方程组 → x2=x3

x2−x3=0x3=x3令x3=1 1

得ξ1= 1

1

原方程的通解为η=k1ξ1其中k1属于实数

+2x 3=-1⎧x 1　　⎪

5. 已知线性方程组⎨-x 1+x 2-3x 3=2，

⎪2x -x +5x =a

3⎩12

(1)求当a 为何值时，方程组无解、有解；(2)当方程组有解时，求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．

1

(1)解： −1

2

02−1102 −1 1−32 → 01−1 1 −15a000 a+3

当a=-3时，r(A)

（2）由（1）可知方程组有解时有

102−1

01−11

x1=−1−2x3

x1+2x3=−1原方程同解方程组 → x2=1+x3 x2−x3=1

x3=x3令x3=0得一特解

−1η∗= 1

x1=−2x3

原方程导出组同解方程组 x2=x3

x3=x3令x3=1 −2

得ξ1= 1

1

原方程的通解为η=η∗+k1ξ1其中k1属于实数

+x 2+λx 3=-2⎧x 1　⎪

6. 已知线性方程组⎨x 1+λx 2+x 3=-2，

⎪λx +x +x =λ-3

3⎩12

(1)求当λ为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解； (2)当方程组有无穷多解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示) ．

1

解： A = 1

λ

1λ

λ1 =-( λ+2) (λ−1) 2 11

（1）当 A ≠0时，λ≠-2且λ≠1方程组有唯一解

1

当λ=-2时= 1

−21−2−211−21−2 → 0−31001−5−2−2

30 0−9

由于r(≠r(A)=2 所以方程组无解 111

当λ=1时= 111

111

11−2

−2 → 00

00−2

1−2

00 00

由于r(所以方程组有无穷多解 （2）当λ=1有无穷多解，同解方程组x1=−2−x2−x3 −2

令x2=x3=0得一特解η∗= 0

0导出组同解方程组x1=−x2−x3

−1−1x210

令 x 分别取 ， 得ξ1= 1 ，ξ2= 0

013

01

故原方程的通解为η=η∗+k1ξ1+k2ξ2其中k1，k2属于实数。

第五章

⎛12⎫

1. 设A = ，求B =A 2-A +2E 所有的特征值. ⎪

⎝05⎭

λ−1

解： λE−A =

0−2

=( λ−1)( λ−5)=0 λ−5

所以A 的特征值为1 ， 5

由于B =A 2-A +2E 所以B 得特征值为2 ， 22

⎛12⎫

2. 设A = ，求出A 的所有特征值和特征向量. ⎪

⎝24⎭

λ−1−2

解： λE−A = =λ（λ-5）=0

−2λ−4A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 −1

当λ1=0时

−2

1−2

→ −40−2

1

1

1

x1=−2x22

有

x2=x20

令x2=1得P1=

4−21−x=x22有 12当λ2=5时 →

−21x2=x200令x2=1得P2= 2

1

故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2= 5 特征向量k1P1= k2P2= 2 k1 ,k2为任意的非零常数

1

1

1

−2 ，1

⎛200⎫

3. 求矩阵A = 111⎪的特征值和特征向量.

⎪ 1-13⎪⎝⎭λ−2

解： λE−A = −1

−1

00

λ−1−1 =(λ−2) 3=0 1λ−3

所以A 得特征值为λ1=λ2=λ3=2 当λ1=λ2=λ3=2时

−1−1

0011−1 → 0

01−1

−11

00 00

x1=x2−x3−1可得 x2=x2令x2=0 x3=1 有 P1= 0

x3=x311

令x2=1 x3=0 有 P2= 1

−1

故：A 的特征值为λ1=λ2=λ3=2 特征向量为k1 P1= 0

11

k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数

⎛110⎫

4. 求矩阵A = 112⎪的特征值和特征向量.

⎪ 002⎪⎝⎭λ−1

解： λE−A = −1

−10

λ−1−2 =λ(λ−2) 2=0 0λ−2

即A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2 −1

当λ1=0时， −1

x1=−x2

可得 x2=x2令x2

x3=0

−1−10

011−2 → 00−200

1 0

−1

=1有 P1= 1

1−101−10

当λ2=λ3=2时， −11−2 → 001

000000

x1=x21

x2=1有 P2= 1 可得 x2=x2令

x3=00−1

1 0

故：A 的特征值为λ1=0 ，λ2=λ3=2特征向量为k1 P1=

1

k2 P2= 1 k1 ,k2为任意的非零常数

⎛122⎫

5. 设矩阵A = 0-1-2⎪，(1)求A 的特征值和特征向量；(2)

⎪ 0-2-1⎪⎝⎭

判断矩阵A 是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P 及对角矩阵Λ.

λ−1

（1）解： λE−A = 0

3）(λ−1) 2

−2−2λ+12 =（λ+2λ+1

所以A 的特征值为λ1=−3 ，λ2=λ3=1 −4−2−210

当λ1=−3 时， 0−22 → 01

02−200

x1=−x3−1有 x2=x3令x3=1 得 P1= 1

x3=x31

1

−1 0

0−2−2011

当λ2=λ3=1时， 022 → 000

022000

x1=x11

x1=1，x3=0 得 P2= 0 有 x2=−x3令

x3=x300令x1=0，x3=1 得 P3= −1

1

故：A 的特征值为λ1=−3，λ2=λ3=1特征向量为k1 P1=−110

1 ，k2 P2= 0 ，k3 P3= −1 k1 ,k2，k3为任意的非零常数

011

（2）因为三阶矩阵A 有三个线性无关特征向量 P1， P2， P3所以A 能相似于对角矩阵，且

−11

P=( P1 P2 P3)= 10

10

第六章

0−3−1 Λ= 1

1

1

1. 写出下列二次型所对应的矩阵：

22

(1)f (x ) =x 12-2x 1x 2+6x 1x 3-2x 2； +8x 2x 3+3x 3

解：由题易得 1−13A= −1−24

343

2

(2)f (x ) =x 1x 2-x 1x 3+2x 2x 3+x 4.

解：由题易得

12

1010 A= 21

−1002

0001

22

3. 判断二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3是

−2

1

否为正定二次型.

22解：由题可知A= 25

−2−4

−2−4 5

∵K1= 2 =2>0

2K2= 2

22−2K3= 25−4 =10>0

−2−45

可判断f(x1，x2，x3) 为正定二次型

2224. 设f (x 1, x 2, x 3, x 4) =λx 12+λx 2+λx 3+x 4+2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3， 2 =6>0 5

当λ>2时，判断f 是否是正定二次型.

λ11 0

解：由题易得A= 1λ−10 1−1λ 00 0 0 1

当λ>2时，A 的各阶顺序主子式都大于零，所以f 是正定二次型。

5. 求a 的值，使下列二次型为正定二次型.

22(1)x 12+x 2+5x 3+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3

1a解：A= a1−12−12

5

要使二次型为正定二次型，则

K1= 1 =1>0

K2= 1aa =1−a>0 1

1aK3= a1−12

即 −12 =−5a2−4a>0 51−a>0 −5a2−4a>0

45整理得−

当−

22(2)5x 12+x 2+ax 3+4x 1x 2-2x 1x 3-2x 2x 3 452−1解：A= 21−1

−1−1a

K1= 5 =5>0

5K2= 22 =1>0 1

52−1K3= 21−1 = a -2>0

−1−1a

若A 为正定二次型，必有a -2>0 ，即a>2

226. 设f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+3x 3-4x 1x 2-4x 2x 3，用正交变换法化

二次型为标准形，并写出所作的正交替换.

1−20解：由题可知A= −22−2

0−23

λ−1 λE−A = 2

=0 02λ−2202 =（λ+1）（λ−2）（λ−5）λ−3

即A 的特征值为λ1=−1，λ2=2，λ3=5 当λ1−22010=−1 时，有 2−32 → 01

02−40022 1

x1=2x32有 x2=2x3令x3=1 得特征向量P1= 2 x3=x31同理：当λ2

当λ3−2=2时，得特征向量 P2= 1 21=5时，得特征向量P3= −2

2

=11 ，P=22 P P2321 P=1 P P1121=1 3−2111 1 ，P3= P P3=3 −2 322 P= P1，P2，P3 =23 2 31 3−3132322 −3 2313

做正交变换x=Py得二次标准型为:−y2+2y2+5y2