第二类曲面积分的计算方法
3
高等数学研究
STUD I ES I N C LLEGE M ATHEM AT I CS ，N o. V o l .
M ar . ，
第二类曲面积分的计算方法
柴春红
摘要关键词
*
何率天
（空军第一航空学院数学教研室
河南信阳 ）
利用两类曲面积分的联系、分面投影法、合一投影法和高斯公式解答一个第二类曲面积分的题目曲面积分
中图分类号 1 .
第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）是高等数学学习中的难点，许多学员对求解这一类型题感到相当困难 下面针对一道例题（同济大学出版的高等数学（第四版）第 给出四种不 页例3）同的求解方法。
例题
其中E 是旋转抛物面介于平计算曲面积分（Z I ） Z -Z I Z =I +$ ）$ $，
H E
面Z = 及Z = 之间的部分的下侧。
方法一利用两类曲面积分的联系
（P cos O P Z Z I R I cos B R cos Y ） S $ $=H H E E
（I ，处的法向量的方向余弦。其中cos O ，cos B ，cos Y 是有向曲面E 上点Z ）$，
（1）
解 ，7=｛I ，-1｝7 =｛cos O ，cos B ，cos Y ｝=
$，
H E （Z I ） Z -Z I $ $=
［H E
（Z I ）
Z
- S =
［H
）I
I $
S =S =I $=
D E E
K
）
I I $ I G T cos G TdT =8K $= D
］
H
［
］
方法二分面投影法
给出，则如果E 由Z =Z （I ，$）如果E 由I =$（给出，则Z ）$，如果E 由$=$（给出，则Z ，I ）
R （I ，Z ） I $，$H E
］Z （I ， I = R ［I ，$，$）$
D I $
H
D $Z
（） （3）（）
P （I ，Z ） Z $，$ H E
，］Z ）Z ） Z = P ［I （$，$，$
H
D ZI
（I ，［I ，， Z ） Z I = Z ，I ）Z ］ Z I $，$（H H E
等式右端的符号这样决定：如果积分曲面E 是由方程Z =Z （I ，（I =I （，）Z ）Z ，I ）$）$，$=$（
*收稿日期： - 9-13
第7卷第2期
柴春红、何率天：第二类曲面积分的计算方法
33
所给出的曲面上（前、右）侧，应取正号；反之，如果积分曲面 是由方程Z =Z （I ，（I =I （，Z ）$）$，
）所给出的曲面下（后，左）侧，应取负号。Z ，I ）$=$（
解
（Z
（Z
22
d $d Z -Z d I d $=+I ）
（Z
2
d $d Z -+I ）
Z d I d $
（Z 2+I ）d $d Z =
D $Z
d $d Z -（Z 2-
d $d Z =2
+
）
2
2
D $Z
$d Z =
4d $
2
2
Z =4
所以
Z d I d $=-2
2
I $
（I 2+$2）d I d $=-2D
2
d T 3d T =-4
2
（Z 方法三
d $d Z -Z d I d $=8 +I ）合一投影法
前面我们看到，按分面投影法计算曲面积分时，对不同类型的积分项必须将曲面用不同的方程表示，然后转化为不同坐标面上的二重积分，这种方法形式上虽然简单但计算比较烦琐。
事实上，如果 的方程为Z =Z （I ，（I ，，（D I $是 在IO $面上的投影区域），函数 D I $$）$）
则单位法向量为P ，G ，P 在 上连续时，( ｛，，｝e 7=cos cos cos =
由于投影元素d $d Z =cos 于是得到d S ，d Z d I =cos d S ，d I d $=cos d S ，
d $d Z =cos d S = d S =I d =-Z I d I d $
cos cos $d Z d I =cos d S =
所以
d S =I d =-Z $d I d $cos cos $
P （I ，Z ）d $d Z $，
（I ，Z ）d Z d I +R （I ，Z ）d I d $=+G $，$，
［［］（］［［］（］［］｝P I ，Z （I ，I ，I ，Z （I ，I ，I ，Z （I ，d I d $= ｛-Z I +G -Z $+R $，$）$）$，$）$）$，$）
D I
$
D I $
（-Z I ）（-Z $）d I d $+G ・+R ］ ［P ・
（5）
等式右端的符号这样确定：如果 是由方程Z =Z （I ，取正号，否则取负$）所给出的曲面上侧，
号。
当 可用显式方程$=$（或I =I （表示时，只要注意到此时 的法向量为 ｛Z ，I ）Z ）-$，
或 ｛，可得相应公式。1，-$Z ｝1，-I $，-I Z ｝$I ，
上述方法将（式中的三种类型积分转化为同一个坐标面上的二重积分，故名为合一投影法。5）
（下转37页）
第7卷第2期
汪晓勤、周崇林：自然数幂和的矩阵算法
37
显然，将以上各等式右边的第二项系数-换成，就得到相应的前7项幂和公式。
22
上述矩阵算法令人惊奇地给出了二项系数与伯努利数之间的关系。
参考文献
a ~1
［1］贾利新.
T 7
T =1
的行列式算法. 高等数学研究，（：1992，22）17-18.
（上接第33页）
解Z =I 2+y 2），（I ，），又 取下侧， 在I0y 面上的投影区域：D I y =｛ I 2+y 2 4｝Z I y 2故由公式（得=I ，5）
22（Z 2+I ）d y d Z ~Z d I d y =~I +y 2）+I （~I ）~I 2+y 2）d I d y =42D
~
［｛
I y
］
｝
［
D I y
I +I 2+y 2）d I d y =
2
2
］
2!
2］22［d " T cos " +T d T =8! 20
2
方法四利用高斯公式
解
曲面不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式，应补面 1I Z =2的上侧，则由高斯公式
P d y d Z
+G d Z d I +R d I d y =
+ （ I y
#
+
d $ Z
）
（6）
+
（Z 2+I ）d y d Z ~Z d I d y =
1
0d $=0
#
所以又所以
（Z 2+I ）d y d Z ~Z d I d y =~（Z
1
1
（Z 2+I ）d y d Z ~Z d I d y
2
d y d Z ~Z d I d y =0~+I ）
d y d Z ~Z d I d y =8! +I ）
Z d I d y ~2d I d y
1
=-8!
D I y
（Z
2
（上接第34页）
例3证
证明不等式记I =
1~4e d I . 因为I
2
）
=
［e
1
~I
2
2
2
d I ］10
~y
2
e
1
~I
2
e
02
1
~I
d I e
d y =
e
D 1
~I ~y
22
d I d y e
D 2
2
20
~I ~y
22
其d I d y ，
~T
2
中D 1：而0 I 1，0 1；D 2I +y 1，I 0，y y 0，
：2
e
D 2
~I ~y
2
d I d y =
d " e
1
T d T =
1~4e
所以），
I
2
=
［ e
1
~I
2
d I
1~. ］ 4e ）
2
第二类曲面积分的计算方法
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
柴春红， 何率天
空军第一航空学院数学教研室,河南信阳,464000高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2004,7(2)2次
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引证文献(2条)
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2. 张曙光. 叶留青 空间闭曲线积分的计算公式及其应用[期刊论文]-高等数学研究 2008(2)
引用本文格式：柴春红. 何率天 第二类曲面积分的计算方法[期刊论文]-高等数学研究 2004(2)