三点共线与三线共点的证明方法
三点共线与三线共点的证明方法
公理1.若一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理2.过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论1.经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面;
推论2.经过两条相交直线有且只有一个平面;
推论3.经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理3.若两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 例1.如图,在四面体ABCD中作截图PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的延长线交于K.求证M、N、K三点共线.
由题意可知,M、N、K分别在直线PQ、RQ、RP上,根据公理1可知M、N、K在平面PQR上,同理,M、N、K分别在直线CB、DB、DC上,可知M、N、K在平面BCD上,根据公理3可知M、N、K在平面PQR与平面BCD的公共直线上,所以M、N、K三点共线.
D1M、例2.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,求证:M、N分别为AA1与AB的中点,
DA、CN三线共点.
由M、N分别为AA1与AB的中点知MN//A1B且MN
行且相等,所以MN//D1C且MN1A1B,又A1B与D1C平21D1C,根据推论3可知M、N、C、D1四点共面,2
且D1M与CN相交,若D1M与CN的交点为K,则点K既在平面ADD1A1上又在平面ABCD上,所以点K在平面ADD1A1与平面ABCD的交线DA上,故D1M、DA、CN三线交于点K,即三线共点.
从上面例子可以看出,证明三线共点的步骤就是,先说明两线交于一点,再证明此交点在另一线上,把三线共点的证明转化为三点共线的证明,而证明三点共线只需要证明三点均在两个相交的平面上,也就是在两个平面的交线上。