第四讲五年级奥数牛吃草
牛吃草
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中,有一道关于牛在牧场上吃草的问题,即牛在牧场上吃草,牧场上的草在不断的、均匀的生长.后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”。这类问题难在哪呢?
到底什么是“牛吃草问题”呢?举两个简单例子来说明:
举例一:仓库里有一堆草,给4 头牛吃,6 天可以吃完,如果给3 头牛吃,几天能吃完?
这道题该怎么处理呢?我们可以借助下面这个关系式来进行求解:
由于每头牛每天的吃草量是不变的,因此可以把它设为单位“1”.这样4 头牛6 天吃掉的草量就等于4× 6 = 24(个)单位,而3 头牛每天吃掉“3”个单位的草,因此3头牛需要24 ÷ 3 = 8(天)才能吃完.但是,这道题还不是真正的“牛吃草问题”。
真正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库里吃草,而是去一片草地上吃草。二者之间最大区别在于仓库里草的总量是固定不变的,而草地上的草是在不停地生长,这样一来问题就变复杂了。
举例二:有一片牧场,草每天都在均匀地生长。如果在牧场上放养18 头牛,那么10 天就把草吃完了;如果放养24 头牛,那么7 天就把草吃完了。
(1)如果放养32 头牛,多少天可以把草吃完?
(2)要放养多少头牛,才能恰好14 天把草吃完?
分析:这是最常见的牛吃草问题,这类问题的难点在于牛吃草的同时,草还在生长. 假设一头牛一天吃1 个单位的草,会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢?因为两次草生长的天数不同,于是就可以算出草生长的速度了. 特点
在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。
把例1 的方法总结一下,得出牛吃草问题的基本解题步骤:
1. 将每头牛每天的吃草量设为单位“1”;
2. 比较已知条件中牛的吃草总量,算出草每天的生长量;
3. 计算草地原有草的总量;
4. 根据所问问题求解.
“牛吃草”问题主要涉及三个量:草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长,草也在按不变的速度均匀生长,所以草的总量不定。解“牛吃草”问题的主要依据:
1. 草的每天生长量不变;
2. 每头牛每天的食草量不变;
3. 草的总量=草场原有的草量+新生的草量,其中草场原有的草量是一个固定值
4. 新生的草量=每天生长量⨯天数.
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
1. 设定1头牛1天吃草量为“1”;
2. 草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数) ÷(较多天数-较少天数) ;
3. 原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数;
4. 吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度) ;
5. 牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度。
“牛吃草”问题有很多的变例,像抽水问题、检票口检票问题、资源量问题、部分行程问题等等,只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路,才能以不变应万变,轻松解决此类问题。
板块一、一块地的“牛吃草问题”
【例 1】 有一片牧场,草每天都在均匀地生长.如果在牧场上放养18 头牛,那么10 天就把草吃完了;如果放养24 头牛,
那么7 天就把草吃完了。
(1)如果放养32 头牛,多少天可以把草吃完?
(2)要放养多少头牛,才能恰好14 天把草吃完?
【解析】 这片牧场上的牧草数量每天都在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两
部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到它是匀速生长的,因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。这是最常见的牛吃草问题,这类问题的难点在于牛吃草的同时,草还在生长. 假设一头牛
一天吃1 个单位的草,会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢?因为两次草生长的天数不同,于是就可以算出草生长的速度了。
解答:设一头牛一天吃的草量为1 份. 18 头牛10 天一共吃草:18×10 =180(份);24 头牛7 天一共吃草:24× 7 =168 (份).如图,对比两次吃草的总量,吃的总量不同是因为18 头牛比24 头牛多吃了3 天(草多生长了3 天),而草每天生长:(180 −168)÷ 3 = 4(份),于是草地原有草的总量为:180 − 4×10 =140(份).(1)放养的32 头牛中有4 头牛每
天把新长的草吃完,剩下的牛吃原有的草,因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 − 4)= 5(天).(2)要恰好14 天吃完,那么最后吃的总草量为140 + 4×14 =196(份),因此要在14天内吃完需要196 ÷14 =14(头)牛。
从这道题我们看到,草每天在长,牛每天在吃,都是在变化的,但是也有不变的,什么不变啊?草是以匀速生长的,也就是说每天长的草是不变的;同样,每天牛吃的草量也是不变的。这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多,一种巧妙的设未知数的方法,叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份,具体1份是多少我们不知道,也不用管它,设草每天增长的数量是a 份,设原来的草的数量为b 份,那么我们可以列方程了:27*6=b+6a;23*9=b+9a
总结:想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草也在变化,但是在匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草,问题就会迎刃而解。
【巩固】 牧场上长满牧草,每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天.供25头牛可吃
几天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,10头牛吃20天共吃了10⨯20=200份;15头牛吃10天共吃了15⨯10=150份.第
一种吃法比第二种吃法多吃了200-150=50份草,这50份草是牧场的草20-10=10天生长出来的,所以每天生长的草量为50÷10=5,那么原有草量为:200-5⨯20=100。
供25头牛吃,若有5头牛去吃每天生长的草,剩下20头牛需要100÷20=5(天) 可将原有牧草吃完,即它可供25头牛吃5天.
【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么它可供多少头牛吃18周?
【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”,草的生长速度为(23⨯9-27⨯6) ÷(9-6) =15,原有草量为(27-15) ⨯6=72,可
供72÷18+15=19(头)牛吃18周。
【例 3】 进入冬季后,有一片牧场上的草开始枯萎,因此草会均匀地减少.现在开始在这片牧场上放羊,如果放38 只羊,
需要25 天把草吃完;如果放30 只羊,需要30 天把草吃完。如果放20 只羊,这片牧场可以吃多少天?
【解析】 本题在羊吃草的同时,草也在不断的减少,这也是牛吃草问题的一种. 同前面的问题一样,我们还是要对比一下
两个已知条件,算出草的减少速度和原有草总量.
解答:设一只羊一天吃的草量为1 份.供38 只羊吃25 天,则吃草总量:38× 25 = 950(份).供30只羊吃30 天,则吃草总量:30× 30 = 900(份).如图,对比两次吃草的总量,发现5 天草减少的量为950 − 900 = 50 (份),因此草每天减少的量为:50 ÷ 5 =10(份),原有草的总量为:950 +10× 25 =1200(份).现在有20
只羊,那么每天草地除了被羊吃掉20 份草以外,还会自己减少10 份草,因此这片牧场可以吃1200 ÷ (20 +10)= 40(天)。
【巩固】 因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可
供24头牛吃6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
【解析】 与例上面不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在匀速减少,但是,我们同样可以用类似的方法求出
每天减少的草量和原来的草的总量。
【例 4】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不生长,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上的草可供20头牛吃
5天,或可供15头牛吃6天.照此计算,可以供多少头牛吃10天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天自然减少的草量为:(20⨯5-15⨯6)÷(6-5)=10,原有草量为
;10天吃完需要牛的头数是:150÷10-10=5(头) . (20+10)⨯5=150
【巩固】 由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4
天,或可供16头牛吃6天,那么可供多少头牛吃12天?
【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 (25⨯4-16⨯6) ÷(6-4) =2;
原来牧场有草(25+2) ⨯4=108,
12天吃完需要牛的头数是:108÷12-2=7(头) 或(108-12⨯2) ÷12=7(头)。
【例 5】 一块匀速生长的草地,可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天.如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的
吃草量,那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天?
【解析】 这道题既有牛又有羊,只需将牛羊统一,然后按照基本的牛吃草问题求解即可。
设1头牛1天的吃草量为“1”,由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量,所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天.那么每天生长的草量为(16⨯20-20⨯12)÷(20-12)=10,原有草量为:(16-10)⨯20=120.
10头牛和75只羊1天一起吃的草量,相当于25头牛一天吃的草量;25头牛中,若有10头牛去吃每天生长的草,那么剩下的15头牛需要120÷15=8天可以把原有草量吃完,即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天.
【巩固】 一片牧草,每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天,或可供60只羊吃24天。如果1头牛的
吃草量等于4只羊的吃草量,那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量,88只羊的吃草量等于22头牛的吃草量,
所以草的生长速度为(15⨯24-20⨯12) ÷(24-12) =10,原有草量为(20-10) ⨯12=120,12头牛与88只羊一起吃可以吃120÷(12+22-10) =5(天)
【例 6】 有一牧场,17头牛30天可将草吃完,19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余
下的牛再吃两天便将草吃完.问:原来有多少头牛吃草(草均匀生长) ?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为(17⨯30-19⨯24)÷(30-24)=9,原有草量为:
(17-9)⨯30=240.
现有若干头牛吃了6天后,卖掉了4头牛,余下的牛再吃两天便将草吃完,如果不卖掉这4头牛,那么原有草量需增加4⨯2=8才能恰好供这些牛吃8天,所以这些牛的头数为(240+8)÷8+9=40(头) 。
这道题牛的数量在变化,但同其它牛吃草问题一样,还是需要通过比较草量的变化求出每天生长的草量和原有的草量。
【巩固】 一片草地,可供5头牛吃30天,也可供4头牛吃40天,如果4头牛吃30天,又增加了2头牛一起吃,还可以
再吃几天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,那么每天生长的草量为(4⨯40-5⨯30)÷(40-30)=1,原有草量为:
(5-1)⨯30=120.如果4头牛吃30天,那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量,此时原有草量还剩120-90=30,而牛的头数变为6,现在就相当于:“原有草量30,每天生长草量1,那么6头牛吃几天可将它吃完?”易得答案为:30÷(6-1)=6(天) .
【巩固】 一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,现有一群牛吃了4天后
卖掉2头,余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头?
【例 7】 一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽;如果让马和羊去吃,20天将草吃尽;如果让牛和羊
去吃,30天将草吃尽.已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量.现在让马、牛、羊一起去吃草,几
天可以将这片牧草吃尽?
【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”,根据题意,有:
15天马和牛吃草量=原有草量+15天新生长草量„„⑴
20天马和羊吃草量=原有草量+20天新生长草量„„⑵
30天牛和羊(等于马) 吃草量=原有草量+30天新生长草量„„⑶
由(1)⨯2-(3)可得:30天牛吃草量=原有草量,所以:牛每天吃草量=原有草量÷30;
由⑶可知,30天羊吃草量=30天新生长草量,所以:羊每天吃草量=每天新生长草量;设马每天吃的草为3份。 将上述结果带入⑵得:原有草量=60,所以牛每天吃草量=2.
这样如果同时放牧牛、羊、马,可以让羊去吃新生长的草,牛和马吃原有的草,可以吃:60÷(2+3)=12(天) 。
【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需
要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间?
【解析】 牛、马45天吃了 原有+45天新长的草①
→牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤
马、羊60天吃了 原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③
马 90天吃了 原有+90天新长的草④
所以,由④、⑤知,牛吃了90天,吃了原有的草;再结合③知,羊吃了90天,吃了90天新长的草,所以,可
以将羊视为专门吃新长的草.
所以,②知马60天吃完原有的草,③知牛90天吃完原有的草.
现在将牛、马、羊放在一起吃;还是让羊吃新长的草,牛、马一起吃原有的草.
11+) =36天. 9060
所以,牛、羊、马一起吃,需36天。
【例 8】 有三块草地,面积分别为5公顷,6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快,第一块草地可供
11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天?
由题目可知,这是三块面积不同的草地,为了解决这个问题,首先要将这三块草地的面积统一起来,这里可以使用最小公倍数的方法。 所需时间为1÷(
模块二、牛吃草问题知识衍变
有很多的问题看上去和“牛吃草”毫无联系,但仔细观察就会发现,它们都只是换了个形式的“牛吃草”而已.这样的问题通常都可以看成牛吃草问题来求解。
【例 1】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的,照此计算,地球上的资源可供110亿人生活90年;或供90亿人
生活210年。为了使人类能够不断繁衍,地球上最多能养活多少人?
(90⨯210-110⨯90) ÷(210-90) =75亿人。 【解析】
只有当地球每年新生资源不少于消耗掉的资源时,地球上的资源才不至于逐渐减少,才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活75(亿人)
【例 2】 画展8:30开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,
9点就不再有人排队;如果开5个入场口,8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入3⨯30=90。8:30到8:45 共
15分钟 5个入口共进入5⨯15=75,15分钟到来的人数 90-75=15,每分钟到来15÷15=1。8:30以前原有人3⨯30-1⨯30=60。 所以应排了60÷1=60(分钟),即第一个来人在7:30
【巩固】 画展9点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开3个入场口,
9点9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9点5分就没有人排队.求第一个观众到达的时间.
【解析】 如果把入场口看作为“牛”,开门前原有的观众为“原有草量”,每分钟来的观众为“草的增长速度”,那么本
题就是一个“牛吃草”问题.
设每一个入场口每分钟通过“1”份人,那么4分钟来的人为3⨯9-5⨯5=2,即1分钟来的人为2÷4=0.5,原有的人为:(3-0.5)⨯9=22.5.这些人来到画展,所用时间为22.5÷0.5=45(分) .所以第一个观众到达的时间为8点15分.
点评:从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远,但仔细体会,题目中每分钟来的观众一样多,类似于“草的生长速度”,入场口的数量类似于“牛”的数量,问题就变成“牛吃草”问题了.解决一个问题的方法往往能解决一类问题,关键在于是否掌握了问题的实质.
【例 3】 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小丽从扶梯上楼,已知小明每分钟走25级台阶,小丽每分钟走20
级台阶,结果小明用了5分钟,小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶?
【分析】在这道题中,“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”,“草”变成了“台阶”,“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。
【例 4】 在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走
过20级台阶后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过30级台阶到达地面.从站台到地面有 级
台阶.
【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”,如将题目改为:
“在地铁车站中,从站台到地面有一架向上的自动扶梯.小强乘坐扶梯时,如果每秒向上迈一级台阶,那么他走
过20秒后到达地面;如果每秒向上迈两级台阶,那么走过15秒到达地面.问:从站台到地面有多少级台阶?” 采用牛吃草问题的方法,电梯20-15=5秒内所走的阶数等于小强多走的阶数:2⨯15-1⨯20=10阶,电梯的速度为10÷5=2阶/秒,扶梯长度为20⨯(1+2) =60(阶)。
【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走,男孩每秒可走3级梯级,女孩每秒可走2级梯级,结果从扶梯
的一端到达另一端男孩走了100秒,女孩走了300秒。问:该扶梯共有多少级梯级?
【解析】 本题与牛吃草问题类似,其中扶梯的梯级总数相当于原有草量;而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。
并且上楼的速度要分成两部分︰一部分是孩子自己的速度,另一部分是自动扶梯的速度。
自动扶梯的速度=(女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-男孩每秒走的梯级×男孩走的时间)÷(女孩走的时间-男孩走的时间)=(2⨯300-3⨯100) ÷(300-100) =1.5,自动扶梯的梯级总数=女孩每秒走的梯级×女孩走的时间-自动扶梯的速度×女孩走的时间
=2⨯300-1.5⨯300=600-450=150(级)所以自动扶梯共有150级的梯级。
【例 5】 小明从甲地步行去乙地,出发一段时间后,小亮有事去追赶他,若骑自行车,每小时行15千米,3小时可以追
上;若骑摩托车,每小时行35千米,1小时可以追上;若开汽车,每小时行45千米, 分钟能追上。
【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合.小明在3-1=2小时内走了15⨯3-35⨯1=10千米,那么小明
3的速度为10÷2=5(千米/时) ,追及距离为(15-5)⨯3=30(千米) .汽车去追的话需要:30÷(45-5)=(小4
时) =45(分钟) .
【例 6】 快、中、慢三车同时从A 地出发沿同一公路开往B 地,途中有骑车人也在同方向行进,这三辆车分别用7分钟、
8分钟、14分钟追上骑车人.已知快车每分钟行800米,慢车每分钟行600米,中速车的速度是多少?
【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量,骑车人的速度看成草生长的速度,所以骑车人速度是:
(600⨯14-800⨯7) ÷(14-7) =400(米/分) ,开始相差的路程为:(600-400) ⨯14=2800(米),所以中速车速度为:2800÷8+400=750(米/分) .
【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车,如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车,5小时后甲车追上乙车;如果甲车以现在
速度的3倍追赶乙车,3小时后甲车追上乙车,那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车,问:几个小时后甲车追上乙车?
【解析】 分析知道甲车相当于“牛”,甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”,乙车相当于“新生长的草”.
设甲车的速度为“1”,那么乙车5-3=2小时走的路程为2⨯5-3⨯3=1,所以乙的速度为1÷2=0.5,追及路程为:(2-0.5)⨯5=7.5.
如果甲以现在的速度追赶乙,追上的时间为:7.5÷(1-0.5)=15(小时) .
【例 7】 甲、乙、丙三车同时从A 地出发到B 地去.甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米.有一辆
卡车同时从B 地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度.
【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程,全程看成是原有草量,卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速
度为:(60⨯6-48⨯7) ÷(7-6) =24(千米/时),全程:(60+24) ⨯6=504(千米),丙车速度为:504÷8-24=39(千米/时)
【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去.小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米.在
他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度.
【解析】 当小新和风间相遇时,正南落后小新6⨯(20-16)=24(米) ,依题意知正南和风间走这24 米需要7-6=1(分钟) ,
正南和风间的速度和为:24÷1=24(米/分) ,风间的速度为:24-16=8(米/分) ,学校到公园的距离为:24⨯7=168(米) .所以妮妮的速度为:168÷8-8=13(米/分) .
【例 8】 一条船有一个漏洞,水以均匀的速度漏进船内,待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水,3小时舀完。
如果只有5个人舀水,要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完,需要多少人?
【分析】典型的“牛吃草”问题,找出“牛”和“草”是解题的关键
【巩固】 一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可把水抽
干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?
设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是:(20×10-15×10)÷(20-10)=5份,池内原有的水是:(10-5)×20=100份. 所以, 用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时
【巩固】 一只船发现漏水时,已经进了一些水,现在水匀速进入船内,如果3人淘水40分钟可以淘完;6人淘水16分钟
可以把水淘完,那么,5人淘水几分钟可以把水淘完?
【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”,40-16=24分钟的进水量为3⨯40-6⨯16=24,所以每分钟的进水量为
24÷24=1,那么原有水量为:(3-1)⨯40=80.5人淘水需要80÷(5-1)=20(分钟) 把水淘完。
【例 9】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀,如果同时打开进水阀及一个排水阀,则30分钟能
把水池的水排完,如果同时打开进水阀及两个排水阀,则10分钟把水池的水排完.问:关闭进水阀并且同时打
开三个排水阀,需要多少分钟才能排完水池的水?
【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”,那么进水阀1分钟进水量为(1⨯30-2⨯10)÷(30-10)=0.5,水池原有水量
为(1-0.5)⨯30=15.关闭进水阀并且同时打开三个排水阀,需要15÷3=5(分钟) 才能排完水池的水。
【例 10】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口,水从进水口匀速流入.当池中有一半的水时,如果打开9个出水口,
9小时可以把水排空.如果打开7个出水口,18小时可以把水排空.如果是一满池水,打开全部出水口放水,
那么经过 时 分水池刚好被排空.
【解析】 本题是牛吃草问题的变形,设每个出水口每小时的出水量为1,则进水口每小时的进水量为:
(7⨯18-9⨯9) ÷(18-9) =5,半池水的量为:(9-5) ⨯9=36,所以一池水的量为72.
如果打开全部15个出水口,排空水池所需要的时间为72÷(15-5) =7.2小时,即7小时12分钟.
【巩固】 有一个蓄水池装了9根相同的水管,其中一根是进水管,其余8根是出水管.开始时,进水管以均匀的速度不
停地向蓄水池注水.后来,想打开出水管,使池内的水全部排光.如果同时打开8根出水管,则3小时可排尽池内的水;如果仅打开5根出水管,则需6小时才能排尽池内的水.若要在4.5小时内排尽池内的水,那么应当同时打开多少根出水管?
【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”,那么进水管每小时进水量为(5⨯6-8⨯3)÷(6-3)=2,池内原有水量为
(8-2)⨯3=18.要在4.5小时内排尽池内的水,应当同时打开18÷4.5+2=6根出水管.
这是一个标准的水管问题,进水管不停的把水注入水池,同学们想想看,这和牛吃草问题中的什么量很类似?不停生长的草地!没错,只要看出这一点,这道题就变成了一个牛吃草问题.我们可以把每根排水管看成是一头牛,这样就可以使用常用的牛吃草问题的解题方法了。
【例 11】 北京密云水库建有10个泄洪洞,现在水库的水位已经超过安全线,并且水量还在以一个不变的速度增加,为了
防洪,需要调节泄洪的速度,假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30个小时以后水位
降至安全线;若同时打开两个泄洪闸,10个小时后水位降至安全线.根据抗洪形势,需要用2个小时使水位降
至安全线以下,则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个?
【解析】 此题是牛吃草问题的变形,假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1,则水库每小时增加的水量为
(1⨯30-2⨯10) ÷(30-10) =0.5,原有的水量超过安全线的部分有(1-0.5) ⨯30=15.
如果要用2个小时使水位降至安全线以下,至少需要开15÷2+0.5=8个泄洪闸.
【巩固】 由于环境恶化、气候变暖,官厅水库的水在匀速减少,为了保证水库的水量,政府决定从上游的壶流河水库以
及册田水库分别向官厅水库进行调水,已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的,如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准,如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准,如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准,问需同时打开两个水库的几个闸门?
【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”,那么每小时自然减少的水量为:(40⨯4-30⨯5)÷(40-30)=1,实际注入水
量为:(5-1)⨯30=120;24小时蓄水需要打开的闸门数是:120÷24+1=6(个) 。
【例 12】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米,小方用3次恰好把
桶装满;第二个桶距水缸有2米,小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米,那么小方要多少次才能
把它装满(假设小方走路的速度不变,水从杯中流出的速度也不变)
【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水,同时多走了2⨯4-1⨯3=5米路,所以从杯中流出的速度是1÷5=0.2
(杯/米),于是1桶水原有水量等于3-3⨯0.2=2.4杯水,所以小方要2.4÷(1-3⨯0.2) =6次才能把第三个桶装满。
解法一:列方程求解, 杯子漏水量与路程成正比,可以设一个杯子每走一米漏水量为x ,同时假定一杯水量为单位1.
解法二:把一杯水看成牧场,每个杯子都有一个洞口,那么把洞口看成是牛(实际上每片牧场只有一头牛),同时流出的水量与路程成正比,所以把路程看成时间。运送几次,需要几个满杯,可以看成几片牧场,各个杯子剩下水量加起来就是一只桶的容量。这时假设一个洞口(也就是一只杯子)走一米路,流出去的水量为单位1.
【例 13】 甲、乙、丙三个仓库,各存放着数量相同的面粉,甲仓库用一台皮带输送机和12个工人,5小时可将甲仓库内
面粉搬完;乙仓库用一台皮带输送机和28个工人,3小时可将仓库内面粉搬完;丙仓库现有2台皮带输送机,
如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完,同时还要多少个工人?(每个工人每小时工效相同,每台皮带输送机每小
时工效也相同,另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)
【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”,那么一台皮带运输机1小时的工作量为
(28⨯3-12⨯5)÷(5-3)=12,每个仓库存放的面粉总量为:(12+12)⨯5=120.那么,丙仓库现有2台皮带输送机,如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完,需要120÷2-12⨯2=36(人) 。
【例 14】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派250个工人砌砖墙,6天可以把砖用完,
如果派160个工人,10天可以把砖用完,现在派120名工人砌了10天后,又增加5名工人一起砌,还需要再
砌几天可以把砖用完?
【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在
吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为(160⨯10-250⨯6)÷(10-6)=25,原有砖的数量为:(250-25)⨯6=1350.
如果120名工人砌10天,将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖,还剩1350-950=400的原有的砖未用,变成120+5=125人来砌砖,还需要:400÷(125-25)=4(天) 。
【例 15】 某建筑工地开工前运进一批砖,开工后每天运进相同数量的砖,如果派15个工人砌砖墙,14天可以把砖用完,
如果派20个工人,9天可以把砖用完,现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才
砌完,问原来有多少工人来砌墙?
【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”,工人砌砖相当于“牛在
吃草”.所以设1名工人1天砌砖数量为“1”,那么每天运来的砖为(15⨯14-20⨯9)÷(14-9)=6,原有砖的数量为:(15-6)⨯14=126.
现在派若干名工人砌了6天后,调走6名工人,其余工人又工作4天才砌完,如果不调走6名工人,那么这些工人共砌10天可砌完126+6⨯10+6⨯4=210,所以原有工人210÷10=21名.
练习1. 仓库里原有一批存货,以后继续运货进仓,且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓,如果每天用4辆汽
车,则9天恰好运完;如果每天用5辆汽车,则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完?
【解析】 设1辆汽车1天运货为“1”,进货速度为(9⨯4-5⨯6) ÷(9-6) =2,原有存货为(4-2) ⨯9=18,仓库里原有的存
货若用1辆汽车运则需要18÷1=18(天)
练习2. 一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊
的吃草量相当于l 头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天?
【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”,摘录条件,将它们转化为如下形式方便分析
16头牛 15天 16×15=240:原有草量+15天生长的草量
100只羊(25头牛) 6天 25×6=150: 原有草量+6天生长的草量
从上易发现:1天生长的草量=10;那么原有草量:150-10×6=90;
8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量,其中10头牛去吃新生草,那么剩下的10头牛吃原有草,90只需9天,所以8头牛与48只羊一起吃,可以吃9天。
练习3. 有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工
作。但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了8小时。工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省12小时。这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下 台抽水机。
【解析】 设每台抽水机每小时抽1个单位的水,原计划需要t 小时抽完
则原计划8个小时抽的水量为8t ,
9台抽水机时抽水量为9(t -8)
10台抽水机时抽水量为10(t -12)
所以,8个小时的出水量为8t -9(t -8) =72-t ,
12个小时的出水量为8t -10(t -12) =120-2t ,
而泉水的出水速度是一定的,所以120-2t =1.5⨯(72-t ) ,解得t =24,
所以每小时出水量为(72-24) ÷8=6,所以需要留下6台抽水机。
练习4. 一水库原有存水量一定,河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干,6台同样的抽水机连续15天可抽干,
若要6天抽干,要多少台同样的抽水机?
【解析】 设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(20⨯5-15⨯6) ÷(20-15) =2,原有水量为20⨯5-20⨯2=60,
若要6天抽干,要60÷6+2=12台同样的抽水机
练习5. 快、中、慢三车同时从A 地出发,追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19
千米。快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车需要用多少小时?
12 自行车的速度是:(20×10-24×6)÷(10-6)=14(千米/小时)
三车出发时自行车距A 地:(24-14)×6==60(千米)
慢车追上自行车所用的时间为:60÷(19-14)=12(小时)
练习6. 一水池中原有一些水,装有一根进水管,若干根抽水管。进水管不断进水,若用24根抽水管抽水,6小时可以把
池中的水抽干,那么用16根抽水管,( )小时可将可将水池中的水抽干。
设1根抽水管每小时抽水量为1份。
(1)进水管每小时卸货量是:(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份)
(2)水池中原有的水量为:21×8-12×8=72(份)
(3)16根抽水管,要将水池中的水全部抽干需:72÷(16-12)=18(小时)
练习7. 某码头剖不断有货轮卸下货物,又不断用汽车把货物运走,如用9辆汽车,12小时可以把它们运完,如果用8辆
汽车,16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车,10小时后增加若干辆,再过4小时也能运完,那么后来增加的汽车是( )辆。
19 设每两汽车每小时运的货物为1份。
(1)进水管每小时的进水量为:(8×16-9×12)÷(16-12)=5(份)
(2)码头原有货物量是:9×12-12×5=48(份)
(3)3辆汽车运10小时后还有货物量是:48+(5-3)×10=68(份)
(4)后来增加的汽车辆数是:(68+4×5)÷4-3=19(辆)
练习8. 有一片草地,每天都在匀速生长,这片草可供16头牛吃20天,可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于
4只羊的吃草量,那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天?
8天
(1)按牛的吃草量来计算,80只羊相当于80÷4=20(头)牛。
(2)设1头牛1天的吃草量为1份。
(3)先求出这片草地每天新生长的草量:(16×20-20×12)÷(20-12)=10(份)
(4)再求出草地上原有的草量:16×20-10×20=120(份)
(5)最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数:120÷(10+60÷4-10)=8(天)
练习9. 某水库建有10个泄洪闸,现在水库的水位已经超过安全警戒线,上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防
洪,需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线,问:至少要同时打开几个闸门?
设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。
(1)水库中每小时增加的上游河水量:(1×30-2×10)÷(30-10)=0.5(份)
(2)水库中原有的超过安全线的水量为:1×30-0.5×30=15(份)
(3)在5.5小时内共要泄出的水量是:15+0.5×5.5=17.75(份)
(4)至少要开的闸门个数为:17.75÷5.5≈4(个)(采用“进1”法取值)
练习10. 现有速度不变的甲、乙两车,如果甲车以现在速度的2倍去追乙车,5小时后能追上,如果甲车以现在的速度的
3倍去追乙车,3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追,几小时后能追上乙车?
设甲车现在的速度为每小时行单位“1”,那么乙车的速度为:(2×5-3×3)÷(5-3)=0.5
乙车原来与甲车的距离为:2×5-0.5×5=7.5
所以甲车以现在的速度去追,追及的时间为:7.5÷(1-0.5)=15(小时)
练习11. 一水库原有存水量一定,河水每天均匀入库. 5台抽水机连续20天可抽干;6台同样的抽水机连续15天可抽干.
若要求6天抽干,需要多少台同样的抽水机?
【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天?20⨯5=100(台).
水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天?6⨯15=90(台).
每天流入的水可供多少台抽水机抽1天?(100-90) ÷(20-15) =2(台).
原有的水可供多少台抽水机抽1天?100-20⨯2=60(台).
若6天抽完,共需抽水机多少台?60÷6+2=12(台) 。
练习12. 早晨6点,某火车进口处已有945名旅客等候检票进站,此时,每分钟还有若干人前来进口处准备进站.这样,
如果设立4个检票口,15分钟可以放完旅客,如果设立8个检票口,7分钟可以放完旅客.现要求5分钟放完,需设立几个检票口?
设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客.
1①1分钟新来多少个单位的旅客:(4⨯15-8⨯7) ÷(15-7) = 2
11②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候? 4×15-×15=52 22
11③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客:52+×5=55 22
④设立几个检票口? 55÷5=11(个)
练习13. 自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走1梯
级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级?
【解析】 该题属于草匀速减少的情况,扶梯的运行速度:(50⨯1-60÷3⨯2) ÷(60-50) =1。自动扶梯的梯级总数:
50⨯(1+1) =100(级)
练习14. 一个蓄水池装有9根水管,其中1根为进水管,其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这
个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后,有人想把出水管也打开,使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开,需要3小时可将池内的水排光;而若仅打开3根出水管,则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光,最少要打开几根出水管?
【解析】 设1根排水管1小时排水为“1”,进水速度为(3⨯18-8⨯3) ÷(18-3) =2,原有水量为(8-2) ⨯3=18,如果想要在
8小时内将池中的水全部排光,最少要打开18÷8+2=4.25根出水管,每根出水管1小时排水1份,又出水管的根数是整数,故最少要打开5根出水管。
练习15. 食品厂开工前运进一批面粉,开工后每天运进相同数量的面粉,如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完,
如果派4个工人,40天可以把面粉用完,现在派4名工人加工了30天后,又增加了2名工人一起干,还需要几天加工完?
【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”,开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”,工人加工食品相当
于“牛在吃草”.
设1名工人1天用掉面粉的量为“1”,那么每天运来的面粉量为(4⨯40-5⨯30)÷(40-30)=1,原有面粉量为:(5-1)⨯30=120.如果4名工人干30天,那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量,原有还剩120-90=30未加工,而后变成6名工人,还需要30÷(6-1)=6(天) 可以加工完.