只用圆规所以精彩

作者：顾香才

中学数学杂志 2007年12期

　　 南京市2007年初中毕业学业考试数学最后一题，出其不意，以构图压轴，规定只用圆规，不用直尺。不过，考生的奇思妙想，精彩纷呈，本人有幸参与此题批阅，现摘其奇葩，与同仁分享，同时，将自己的思考奉上与各位交流。

　　 例题 已知直线及外一点，分别按下列要求写出画法，并保留画图痕迹。

　　 (1)在图1中，只用圆规在直线上画出两点，使得点是一个等腰三角形的三个顶点；

　　 (2)在图2中，只用圆规在直线外画出一点，使得点所在直线与直线平行。

　　

　　 从阅卷情况来看，第一问得分较高。第二问得全对的也不少，同时不得分的也有相当一部分，总体来说，本题的区分度较好，有利于选拔性。

　　 一、画法赏析

　　 1.构造平行四边形

　　 画法1-1 直线l上任取B，C两点，以点A为圆心，BC长为半径画弧，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P。则点P即为所求（如图3）。

　　 点评 由两组对边分别相等得到平行四边形，通过简单画图考查特殊四边形的性质，应当说这是我们期待出现的简单画法之一。

　　 画法1-2 在直线上任取B点，以点B为圆心，AB长为半径画弧交直线于点C，以点C，A为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P。则点P即为所求（如图4）。

　　 为方便观察图形，本文将用虚线将主要的构图连接，下同。

　　 点评 由画平行四边形改成画菱形，此画图过程中只需要一条线段作为半径即可。这类考生的思维应该更敏捷。

　　

　　 2.构造全等三角形

　　 (1)平移构造

　　 画法2-1 在直线l上任取B点，以点A为圆心，AB长为半径画弧交于直线l于点C，以点C为圆心，在直线l上截取CD=BC，以C，D为圆心，AB长为半径画弧交于点P。则点P即为所求（如图5）。

　　

　　 点评 利用“边边边”画三角形全等，利用“等底等高”解释，此画法思路清晰，延续了(1)问的思考。

　　 画法2-2 在直线l上任取B点，以点A为圆心，AB长为半径画弧交于直线l于点C，以点C为圆心，在直线l上截取CD=BC，以C，D为圆心，分别以AB，AC长为半径画弧交于点P。则点P即为所求（如图6）。

　　 点评 仍然是利用“边边边”画三角形全等，只是等腰三角形的摆放位置不同。此画法的人数相对于前面一种画法明显减少。

　　 我们猜测，以上两种画法的考生能够把握题目设问的逻辑性，(1)问是画一个等腰三角形，过渡到(2)问画两个一样的等腰三角形。

　　 同时，我们认为：通过平移构造全等三角形的方法，本质上仍然是构造平行四边形，读者不妨从图中细细斟酌。

　　 (2)“对称构造”

　　 画法2-3 在直线l上任取O点，以点O为圆心，OA长为半径画弧交于直线l于点B，C，以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点P。则点P即为所求（如图7）。

　　 点评 圆既是中心对称又是轴对称图形，将圆作为第一落脚点。此法迅速回到三角形全等。

　　 画法2-4 在上面的基础上，只要将圆心O的位置放在直线l的上方（如图8）。

　　

　　 点评 与画法2-3很相似，圆心O的位置放在直线l的上方，将特殊推广到一般，令人惊奇、兴奋。

　　 画法2-5 在直线l上任取B，C两点，分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径画弧，两弧交于点P。则点P即为所求（如图9）。

　　 点评 同样是构造三角形全等。只用一次全等，即△ABC≌△PCB。想法独到、简洁。

　　 画法2-6 该画法与上述画法基本一致（如图10）。

　　

　　 点评 与画法2-5如出一辙，只是这类考生善于因地制宜，直接将B，C放在两个端点，有“大局观”，敢他人所不敢为。

　　 画法2-7 在直线l上任取B，C两点，以B，C两点为圆心，AB长为半径画两个等圆交于点O，以点O为圆心，OA长为半径画弧，与⊙C交于点P。则点P即为所求（如图11）。

　　 点评 与画法2-6有类似之处，只是次序不同，先有两个等圆，然后以两个等圆的其中一个交点为圆心，以OA为半径画圆找到与A对称的点P。

　　 画法2-8 在直线上任取B点，以A，B两点为圆心，AB长为半径画两个等圆交于点O，以O点为圆心，AB长为半径画弧，与直线l交于点C，以O，C两点为圆心，长为半径画两个等圆交于点P。则点P即为所求（如图12）。

　　

　　 点评 画出三个等圆，构造出两个等边三角形，耐人寻味。

　　 3.利用垂直平行的反复构造

　　 画法3-1

　　 (1)在直线L上任取B点，以点A为圆心，AB长为半径画弧交于直线l于点C；

　　 (2)以点B，C为圆心，AB为半径画弧交于点D；

　　 (3)以点B为圆心，AD长为半径画圆，交⊙A于点E；

　　 (4)以点B，E为圆心，任意长为半径画弧交于点P。则点P即为所求（如图13）。

　　 点评 先给出我们的推理，四边形ABCD是菱形，即AD⊥BC，由画图可知，四边形EBDA是平行四边形。AD∥BE。所以BE⊥BC。由画图可知，说明AP是线段BC的垂直平分线，即BE⊥AP，又因为BE⊥BC，所以AP∥BC。

　　 不难发现，画图保持垂直→平行→垂直→平行的过程。其中，四边形ABCD是菱形的构造是为关键。

　　 在阅卷过程中，发现此画法是唯一的。

　　

　　 画法3-2

　　 (1)在直线l上任取B点，以点A为圆心，AB长为半径画弧交于直线L于点C；

　　 (2)以点B，C为圆心，任意长为半径画弧交于点D；

　　 (3)以点A为圆心，AD长为半径画圆；

　　 (4)以点A为圆心，画出圆的六等分点E，F，N，…

　　 (5)以点F，N为圆心，任意长为半径画弧交于点P。则点P即为所求（如图14）。

　　 点评 在该图中，BD=CD，BA=CA，说明A，D都在线段BC的垂直平分线上，即AD⊥BC；由画图可知，四边形ADFN是菱形，即AD∥FN；由画图可知，说明A是线段BC的垂直平分线，即AP⊥FN，所以AP⊥AD，又因为AD⊥BC，所以AP∥BC。

　　 从上面的说理过程中，画图保持垂直→平行→垂直→平行的过程，其中，四边形ADFN是菱形的构造最为关键。

　　 虽然构图不是越复杂越好，但在那么短的考试时间内，考生有此举，实在是令人叹为观止。

　　 在阅读过程中，发现此画法也是唯一的。

　　 同时，还有一些相似的画法不再一一列举。

　　 二、几点思考

　　 1.只用圆规画图，是否符合新课程的学习要求

　　 且看课程标准对尺规作图的学习要求：

　　 ①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。

　　 ②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。

　　 ③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

　　 ④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。

　　 显然，在所有作图要求中，最核心的基本作图是作一条线段等于已知线段。

　　 在本题中，无论是构造两个全等三角形，还是构造平行四边形，都离不开作一条线段等已知线段。

　　 从④知道，本题要求写出画法，也是符合考纲要求，对初中数学教学的规范性提出了更高的要求。

　　 因此，只用圆规画图，不仅符合新课程的学习要求，而且赋予尺规作图以新的涵义。只用圆规，是充分发挥圆规的画弧功能，找到交点。不用直尺，是限制直尺的画画线功能，很明显，在本题中不得使用“作一个角等于已知角”，否则，本题是一个平庸的题，没有任何创意，一点点“智力”的成分都没有。

　　 而且，从答卷来看，本题的区分度较好，因背景的新颖，其效度也十分明显，最近几年压轴题难得一见的亮点。

　　 2.对一个典型错误画法的分析

　　 画法 如图15，以点A为圆心，画圆与直线l相交于点B，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交直线l于C，以C为圆心，分别以AB长为半径画弧与⊙A交于点P。则点P即为所求。

　　

　　 图15

　　 分析 “以点A为圆心，画圆于直线l相交于点B”，是无法画出的。之所以这样画，是希望画出正方形ABCP，得出AP∥BC。

　　 可能由于时间仓促，仅局限于“垂直于同一直线的两条直线平行”的思考，没有找到其他的切入点，而且这样的考生不在少数。

　　 错误的原因在哪？

　　 平时教学中有“过一点作已知圆的切线”问题，现在考生将其转化为“过一点作圆与已知直线相切”的问题这是两个截然不同的问题，形似非神似。

　　 平时成绩较好的学生，如果这样做，说明记忆和模仿多于理解，这初中数学教学必须加以反思的地方。

　　 于是，对于课堂教学，我们是否经常追问“还有什么想法”“还有什么解法”“还能怎样改编这道题”“这个问题与我们前面讲过哪个问题很相似”等等。

　　 3.只用圆规，能否找到一个点关于另一个点的对称点

　　 回答是肯定的。

　　 已知两点A，B，只用圆规，画出点C，使得A，C关于点B对称。

　　 画法（如图16）

　　 (1)以点B为圆心，AB为半径画圆；

　　 (2)以点A为圆心，AB为半径画圆交⊙A于点P；

　　 (3)以点P为圆心，AB为半径画圆交⊙A于点Q；

　　 (4)以点Q为圆心，AB为半径画圆交⊙A于点C。

　　 点评 受画法3-2的启发，想到此问题，画出点D关于点A的对称点。稍作改进，画图如下……以点D，M为圆心，任意长为半径画弧交于点P。则点P即为所求（如图17）。

　　

　　 其本质是将任意圆六等分。

　　 受画法3-1的启发，想到此问题，画出点关于点的对称点。稍作改进，画图如下……以点D，M为圆心，任意长为半径画弧交于点P。则点P即为所求。

　　 4.从课题学习的角度来认识

　　 什么是课题学习？课题学习是指教师通过对教材内容的处理，把教学内容转化成课题，并力求通过学生的自主探索来完成“课题”的学习；或者从数学角度对某些日常生活中出现的问题进行探索、研究；是专题式的学习，也是开放式的学习，充分体现了学生的自主活动和合作活动。

　　 过一个点，作一条直线平行已知直线，是一个不用再思考的问题，而只用圆规，不用直尺，又赋予它新的生命力，让它变得灿烂多姿。

　　 “课题学习”体现了一种教学理念，是一种以学生的研究活动为中心的开放式学习。但学生长期以来形成的被动接受的学习心理是开展“课题学习”的一大障碍，因此，在教学中教师首先自己要更新教育观念，转变教学方式，要从传统的神坛上走下来，走到新课程的改革前沿，用全新的理念，设计教学、组织教学。使学生认识到课题学习，作为一种教学方式应用于数学概念、定理、公式和解题教学中，让他们在课题学习中获取知识，发展能力，从而激发起对课题学习的热情。

　　 开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合和拓展感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。

　　 因此，从课题学习的角度审视本题，意义更为深远。课题学习的素材蕴涵在平时的教学之中。中考命题逐渐将新课标的理念通过各种评价渗透和展示出来。

　　 最后留一个有趣的问题，请各位同行闲暇自娱。

　　 已知平面上A，B两点，只用半径是固定的圆规找一点C，使得AB=BC=CA。

作者介绍：顾香才 江苏高淳高级中学附属德圣中学，211300