平面几何模型三角函数
平面几何模型三角函数
一填空、选择题
1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC
BC 与地面所成角为θ，矩形周边上最高点离地面的距离为
f (θ) ，则f (θ) ＝。f (θ) =2sin(θ+
π6)(0≤θ≤π2)
2 2如图，扇形AOB 的半径为1，中心角为60 ，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出这个最大值。
如图，公园内有一块边长为2a 的等边三角形ABC 形状的三角地，现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上。
（1） 设AD=x （x ≥a ），ED=y 求用x 表示y 的函数关系式；
（2） 如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，
DE 的位置又在哪里？请给与证明
如图，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时。（1）求物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t(s)之间的函数关系，
（2）求该物体在t=5s时的位置
1如图，已知C,D 两地相距
a ，隔河测得C,D 与对岸A,B 两地的夹角分别为∠ADB=30 , ∠BDC=30 , ∠DCA=602, ∠ACB=45, 求A,B 两地的距离。
A
2如图半⊙O 的直径为2，A 为直径MN 延长线上一点，且OA=2，B
、
B 、C 按顺时针方向排列) 问∠AOB 为多少时，四边形OACB 的面积最大？这个最大面积是多少？
1 分别为a,b,c ，已知A =π
3, a =23。设B=x，△ABC 的周长为y 。
（1）求函数y =f (x ) 的解析式和定义域；（2）求y =f (x ) 的单调区间。
解（1）：△ABC 的内角为A+B+C=π由A=π
3, B >0, C >0得0
3. ……………………2分
由正弦定得知：AC =BC
sin A sin B =2sin x =4sin
sin x …………………………4分
3
AB =BC 2π
sin A sin C =43-x ). ……………………6分因为y=AB+BC+AC
所以y =4sin x +42π
3-x ) +23(0
3). ……………………7分
（2）因为y =4(sinx +3
2cos x +1π2π
2sin x ) +23=4sin(x +6) +23而0
∴π
666. 当π
6
6≤π
2, 即0
3时, f (x ) 单调递增
当π
2≤x +π
6
6, 即π
3≤x
3π时, f (x ) 单调递减
1 在∆ABC 中，已知内角A =π
3，边BC =设内角B =x , 面积为y .
（1）求函数y =f (x ) 的解析式和定义域；
（2）求y 的最大值.
解：（1）∆ABC 的内角和A +B +C =π
A =π∴0
33…………………1分
AC =BC
sin A sin B =4sin x ∴AB =BC
sin A sin C =4sin(2π
3-x ) ……………5分
∴y =1
2AB ⋅AC sin A =x sin(2π2π
3-x ) (0
（2） y =
x sin(2π1-x ) =x cos x +sin x ) ……………9分
322
πππ7π=
6sin x cos x +2x =x -) +-
当2x -π
6=π
2即x =π
3时，y
取得最大值14分
2如图，在平面四边形ABCD 中，AB=AD=1，∠BAD =θ，而△BCD 是正三角形.
（1）将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； B
（2）求S 的最大值及此时角θ的值.
解（1）∆ABD 面积S =11ab sin A =sin θ. 22
BD 2 C A ∆BDC 是正三角形∴∆
BDC 面积=D
而ks5u 由∆ABD 及余弦定理可知BD 2=12+12-2cos θ=2-2cos θ 于是四这形ABCD
面积S =
其中0
（2
）由S =1πsin θ+-2cos θ) =+sin(θ-) 23πππ2π. +sin(θ-) 及0
时，S
取得最大值1+在θ-
π3=π2ππ5π，在时θ=+=. 326