专升本高数试题库
高等数学备考试题库
2012年
一、选择题
x -1) 的定义域为（ ）. 1. 设f (x ) 的定义域为[0, 1]，则f (2
⎡1
⎣2
⎛1B: ⎝2
⎡1C: ⎢⎣2
⎛1D: ⎝2A: ⎢
⎤, 1⎥ ⎦⎫, 1⎪ ⎭⎫, 1⎪ ⎭⎤, 1⎥ ⎦
x =a r c s i n s i n x 2. 函数f ()的定义域为（ ）. ()
A: (-∞, +∞) ⎛ππ, ⎝22
⎡ππC: ⎢-, ⎣22
D: [-1,1] B: -⎫⎪ ⎭⎤ ⎥⎦
3. 下列说法正确的为（ ）.
A: 单调数列必收敛；
B: 有界数列必收敛；
C: 收敛数列必单调；
D: 收敛数列必有界.
x ) =sin x 不是（ ）函数. 4. 函数f (
A: 有界
B: 单调
C: 周期
D: 奇
3215. 函数y =sin 的复合过程为（ ）. e x +
3v A: y =sin u , u =e , v =2x +1
3v B: y =u , u =sin e , v =2x +1
32x +1C: y =u , u =sin v , v =e
3w D: y =u , u =sin v , v =e , w =2x +1
4x ⎧sin x ≠0f (x ) =6. 设，则下面说法不正确的为( ). ⎨x x =0⎪⎩1
A: 函数f (x ) 在x =0有定义；
B: 极限lim f (x ) 存在； x →0
C: 函数f (x ) 在x =0连续；
D: 函数f (x ) 在x =0间断。
7. 极限lim
A: 1
B: 2
C: 3
D: 4
8. lim(1+) n →∞sin 4x = ( ). x →0x 1n n -5=（ ）.
A: 1
B: e
C: e
D: ∞
39. 函数y =x (1+cos x ) 的图形对称于（ ）.
A: ox 轴；
B: 直线y=x；
C: 坐标原点;
D: oy 轴
310. 函数f (x ) =x sin x 是（ ）. -5
A: 奇函数；
B: 偶函数；
C: 有界函数；
D: 周期函数.
11. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（ ）.
⎧2x 2
A: y =⎨2x +1⎩x >0x ≤0
B: y =2x +cos x
C: y =x D: y =x
12. 函数y =sin x -cos x 是（ ）.
A: 偶函数；
B: 奇函数；
C: 单调函数；
D: 有界函数
13. lim sin 4x
x →0sin 3x =（ ）.
A: 1
B:
C: D: 不存在
14. 在给定的变化过程中，下列变量不为无穷大量是（
A: 1+2x
x , 当x →0
B: 1e x -1, 当x →∞
C: 1+x
x 2-9, 当x →3
D: lg x , 当x →0+
15. lim 1n +3
n →∞(1+n ) =（ ）.
A: 1
B: e
C: e 3
D: ∞
16. 下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）.
A: y x
x (x +1) , y 1
x +1;
B: y =x , y =x 2;
C: y =2, y =ln x 2
D: y =x , y =e ln x ;
. ）
17. lim tan 2x
x →0sin 3x =（ ）.
A: 1 B: 2
3 C: 3
2
D: 不存在
⎧1
18. 设f (x ) =⎪⎨⎪x x ≠0
⎩1x =0，则下面说法正确的为(
A: 函数f (x ) 在x =0有定义；
B: 极限lim x →0f (x ) 存在；
C: 函数f (x ) 在x =0连续；
D: 函数f (x ) 在x =0可导.
19. 曲线 y =4+x
4-x 上点 (2, 3)处的切线斜率是（
A: -2
B: -1
C: 1
D: 2
20. 已知y =sin ，则d 2
2x y
d x 2x =π=（ ）.
4
A: -4
B: 4
C: 0
D: 1
21. 若y =l n (1-x ) , 则d y
d x x =0= ( ).
A: -1
B: 1
C: 2
D: -2
22. 函数y = e -x 在定义区间内是严格单调（ ）.
A: 增加且凹的
B: 增加且凸的
C: 减少且凹的
). . ）
D: 减少且凸的
23. f (x ) 在点x 0可导是f (x ) 在点x 0可微的（ ）条件.
A: 充分
B: 必要
C: 充分必要
D: 以上都不对
24. 上限积分⎰x a f (t ) d t 是（ ）.
A: f '(x ) 的一个原函数
B: f '(x ) 的全体原函数
C: f (x ) 的一个原函数
D: f (x ) 的全体原函数
25. 设函数f (x +y , xy ) =x 2+y 2+xy ，则∂f (x , y )
∂y =（ ）.
A: 2x ;
B: -1
C: 2x +y
D: 2y +x
26. y =lns in x 的导数d y
d x = ( ). A: 1
s i n x B: 1
c o s x
C: tan x
D: co t x
27. 已知
y =，则y ' |x =4=( ).
A: 2 B: 1
4c o t 2 C: 1
4t a n 2
D: c o t 2
28. 设函数f (x ) 在区间[a , b ]上连续，则⎰b
a f (x ) d x -⎰b a f ()t d t （
A:
B:
C:
. ）
D: 不能确定
29. ⎰e 2
1=（ ）.
A: 2
2
C: 1
D: 2
30. 设z =x y ，则偏导数
A: yx y -1
B: yx y -1ln x
C: x y ln x
D: x y
∂z =（ ）. ∂x
e x +sin x -131. 极限=（ ）. x →0ln(1+x )
A: 1
B: 2
C: 0
D: 3
32. 设函数y =arctan x ，则 y ' |x =1=（ ）。 x
1
2
1B: 2
C: D: A:
π 4π+ 4-
2433. 曲线y 的凸区间是（ ） =6x -24x +x
A: (-2, 2)
B: (-∞, 0)
C: (0,+∞)
∞, +∞) D: (-
34. cos x d x =（ ）
A: c o s x +C
B: s i n x +C
C: - c o s x +C
D: - s i n x +C
35. x =（ ）. ⎰⎰
3122A: (1+x )+C 3
3222B: (1+x )+C 3
3322C: (1+x )+C 2
D: 31+x
(322)+C
36 .上限积分⎰x
a f (t ) d t 是（ ）.
A: f '(x ) 的一个原函数
B: f '(x ) 的全体原函数
C: f (x ) 的一个原函数
D: f (x ) 的全体原函数
37. 设z =1
x 2+y 2-1
2
222的定义域是（ ）. {}}(x , x +y >1B: { }(x , 0
n x ，则d y 38. 已知y =l nt a
A: dx
B: 2dx
C: 3dx
D: x =π4=（ ）. dx
39. 函数y =xe x ，则y ''=（ ）.
x A: y ()=x +2e
B: y =x 2e x
C: y =e 2x
D: 以上都不对
40. ⎰2
0-x x =（ ）.
A: 1
B: 4
C: 0
D: 2
41. 已知x d x =s i n 2x +C ，则f (x ) =（ ） ⎰f ()
A: -2c o s2x
B: 2cos2x
C: -2s i n2x
D: 2sin 2x
42. 若函数Φ(x ) =s i n (2)d t t ，则Φ'(x ) =（ ）. ⎰x
A: sin 2x
B: 2sin 2x
C: cos 2x
D: 2cos2x
43. ⎰1
0xe x d x =（ ）.
A: 0
B: e
C: 1
D: -e
1⎰x 2-a 2d x =（ ）. 1x -a ln +C A: 2a x +a
1x +a ln +C B: 2a x -a
1x +a +C C: ln a x -a 44.
D:
1x -a ln +C a x +a
45. 设z =x y ，则偏导数
A: yx y -1
B: yx y -1ln x
C: x y ln x
D: x y ∂z =（ ）. ∂y
x 2-2x -346. 曲线y =2 （ ） x +3x +2
A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线
C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线， D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线
x 2-2x -3(x +1)(x -3) =⇒lim y =1, lim y =-4, lim y =∞⇒A . 解：y =2x →±∞x →-1x →-2x +3x +2(x +1)(x +2)
47. 下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）
A. y =|x -1|,[0, 2] B. y =
21(x -1) 2, [0, 2] C. y =x -3x +2, [1, 2] D． y =x arcsin x , [0, 1]
解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等⇒C .
48. 函数y =e 在区间(-∞, +∞) 内 （ ）
A. 单调递增且图像是凹的曲线 B. 单调递增且图像是凸的曲线
C. 单调递减且图像是凹的曲线 D. 单调递减且图像是凸的曲线
-x
二、填空题 3x 3+2x +11. lim = 3x →∞x -8
x 2-3x +22. lim =. 2x →2x -4
3. 函数y =arcco s
4. x →1-x 的反函数为 2= x 3+2x +35. lim = 3x →∞4x -5
x 2-3x +26. 2x →1x -1
7. l i
8. 函数y =arcsin
1+2+... +n = 2n →∞n +n 1-x 的反函数为 3
) =ln x ，g (x ) =e 3x +2, 则f [g (x )] 9. 设 f (x
⎧2-x x
⎪1x >1⎪⎩x
则lim f (x ) =. x →1
x 3-111. lim 2= x →1x -1
12. 曲线y =-
y 22) 在点x =0的导数是. 13. 由方程e 所确定的函数y =f (x +xy -3x =e
1在点(-1, 1) 处的切线方程是x
14. 函数y =(x -1) 3的拐点是
15. x = . 16. 1
1
2⎰⎰11x e d x = . 2x
=l n [x ⋅(y -1) ]17. 函数z 的定义域为 .
x sin xy 18. 设z =x y +，则z 'x =
19. 函数y
2=e -x 2的单调递减区间为___________ .
20. 函数y =e
-x 2
的驻点为 .
21. 函数y =3(x -1) 2的单调增加区间是 .
22. 设函数f (x )在点x 0处具有导数，且在x 0处取得极值，则f '(x 0)
e x
23. ⎰d x =.
01+e x
1
24. 25.
26. 曲线y =-
27. 设由方程e -e +x y =0可确定y
y
x
⎰
π
d x =. 20
s in x c o s 3x d x =
1
在点处的切线方程是（1，-1）x
是x
d y
的隐函数，则
d x
=
x =0
.
28. 29.
⎰
π
x cos x d x =1
⎰01+e x x =.
1
30. 函数z 的定义域为 . =l n [(x +1) ⋅y ]
31. 函数y =xe -x 的极大值是.
32. 函数y
=e
-x 2
的单调递增区间为 .
e . 33. e sin
34.
⎰(
x 20
x
)
⎰
x 3d x =.
(4)
(x ) =(x +-1) (x 2) (x +3) (x -4) 35. 设f , 则f
(x ) =三、简答题
.
1. 计算
lim
n →∞
2. 求函数y =2e x +e -x 的极值
3. 设f " (x ) 是连续函数，求xf "(x ) dx
4. 求sec xdx
5. 设二元函数为z =e x +2y ，求dz
(1, 1)
⎰
⎰
3
.
6. 计算 lim
7.
已知y =ln
x x +5
) .
x →∞1+x
，求y '
x f ()x
8. 设y 且f '(x )存在，求=f e e
()
dy
dx
9. 求 10. 求
11. 计算
lim
n →∞⎰e
1
x
sin e x d x 。
2
(1+x )d x ⎰ln
10
=2x -l n (1+x ) 12. 求函数 y 的极值
13. 求arctan x d x . 14. 求
⎰
⎰
10
x e 2x d x .
1]d x l n x
(l n x ) 15. 求[l n
⎰
x 2
16. 求证函数 y =f (x ) =在点x =1处连续.
x -2
⎧x 2-1⎪
17. 设f (x ) =⎨x
⎪2-x ⎩
x
0≤x ≤1，求f (x ) 的不连续点. 1
2d y
18. 设y =f x ，若f ''(x )存在，求
d x
()
2
=ln(xy +ln x ) 19. 设二元函数为z ，求
∂z ∂y
(1, 4)
.
全国教师教育网络联盟入学联考
（专科起点升本科）
高等数学备考试题库参考答案
2011年
一、选择题
1. [A] 2. [A] 3.[D] 4.[B] 5.[D] 6.[C] 7. [D] 8.[B] 9.[C] 10.[B] 11.[C] 12.[D] 13.[C] 14.[B] 15.[B] 16.[C] 17. [B] 18.[A] 19. [D] 20. [A] 21. [A] 22. [C] 23. [C] 24. [C] 25.[B] 26. [D] 27. [B] 28. [B] 29. [A] 30. [A] 31. [B] 32. [A] 33. [A] 34. [B] 35. [A] 36. [C] 37. [B] 38. [B] 39. [A] 40. [A] 41.[B] 42. [A] 43.[C] 44.[A] 45. [C]
二、填空题
1. [3] 2. [1/4] 3. [y=1-2cosx] 4. [1/4] 5. [1/4] 6.[-1/2] 7. [1/2] 8. [y=1-3sinx] 9. [3x+2] 10. [1] 11. [3/2] 12. [y = x+2] 13. [-e
-1
]
3
1222
14. [(1, 0) ] 15. [(1+x )+c ] 16. [e -e ] 17. [x>0,y>1或x
3
18. [2] 19. [(0,+∞) ] 20. [x =0] 21. [(1,+∞) ] x y +s i n x yx +y c o s x y
21+e ) -ln 222. [0] 23. [ln(] 24. [(ln x )2+c ] 25. [ 1/4] 26. [y =x -2]
3
3
27. [ 1] 28. [-2] 29. [1] 30. [x>-1,y>0 或 x
-1
] 32. [(-∞, 0) ] 33. [-c o se x +c ] 34. [4] 35. [24]
三、简答题
.
1. 计算
lim
n →∞=1 解：
=n n 2
2+
n
2. 求函数y =2e x +e -x 的极值
-x
'=2解： y ，当x =-
e x -e
1
ln 2时y '=''=， 0, y >02
所以当x =-ln 2时，y
取极小值2
12
3. 设f " (x ) 是连续函数，求xf "(x ) dx
⎰
''f " (x ) d x =x d f (x ) =x f (x ) -f (x ) d x =x f (x ) -f (x ) +c 解：x
4. 求sec xdx
⎰
3
⎰
'
⎰
'
⎰
s e c x d x =s e c x d t a n x =s e c x t a n x -t a n x s e c x d x 解： 原式=
3
=s e c x t a n x +s e c x d x -s e c d x ⎰⎰x
⎰
3
⎰⎰
2
s e c x d x =s e c xx t a n s e ct x ++C 所以 2
3
故 s e c x d x ⎰
3
⎰
s e c x t a n x l s e c x +t a +C
2
(1, 1)
5. 设二元函数为z =e x +2y ，求dz
.
∂z ∂z ∂z x +2y
=2e x +2y , =e 解： ，∂y ∂x ∂x e (dx +2dy ) . 故 (1, 1) =
3
(1, 1)
=e 3，
∂z
∂y
(1, 1)
=2e 3
6. 计算 lim
x x +5
) .
x →∞1+x
) =() 解：x →∞
x x +5x →∞1+x 1-(1+x ) (-1)+4-1
=e .
1+x
7.
已知y =ln
，求y '
解
: y ，y '==l 1) l
1)
x f ()x 8. 设y 且f '(x )存在，求=f e e
()
dy
dx
解: 9. 求
dy fx ()x x x
⎤''f e e +fef x =e ⎡ ()()()⎣⎦dx
10
⎰
e x sin e x d x 。
1
解：原式=sin e de =(-cos e ) = cos 1-cos e
⎰
x x x
1
10. 求
(1+x )d x ⎰ln
1
2
2x π
(=x ln 1+x -x ⋅dx =ln 2-2x -=ln 2-2 解：原式 2⎰021+x 00
(
2
1
1
1
11. 计算
lim
n →∞=1 解：
=n n 4
4+
n
=2x -l n (1+x ) 12. 求函数 y 的极值
解： 函数的定义域为(-1, +∞) ，y '=
当x >
-11+2x
，令y '=0 ，得x =，
21+x
-1
时，y '>0， 2
-1-1时，y '
12
当-1
) =--1l =l n 2-1极小值为
13. 求arctan x d x . 解:
⎰
1
arctan xdx =x x -dx 2⎰⎰1+x
2
1d (1+x ) 12
= =x x ln(1+x ) +c . x a r c t a n x 2
21+x 2
14. 求
⎰
10
x e 2x d x .
解：
1112x 2x 112x
xe (-e dx ) 0⎰⎰⎰000221
(e -) 0(e e ) (e +1) ⎪
1⎛2
2⎝1⎫1212112
2⎭2224
(l n x ) 15. 求[l n
⎰
1
]d x l n x
1
x l n x d
n (l n xd ) x +解: 原式=l
⎰
11
=x l n (l n x ) d x d xx =l n (l n xC ) + l n x l n x
x 2
16. 求证函数 y =f (x ) =在点x =1处连续.
x -2
证：函数在点x =1有定义，且
2x =-1=f (1) x →1x -2 ，
) 在点x =1处连续. 由定义知，函数y =f (x
⎧x 2-1
⎪
17. 设f (x ) =⎨x
⎪2-x ⎩
x
0≤x ≤1，求f (x ) 的不连续点. 1
lim f (x ) =-1lim f (x ) =0，所以lim f (x ) 不存在。 解： 因为x ，x -+x →0→0→0
又
lim f (x ) =1，lim f (x ) =1 x ， -+→1x →1
故
f (x ) =1。 lim x →1
综上可得，f (x ) 的不连续点为x =0。
2d y
18. 设y =f x ，若f ''(x )存在，求
d x
()
2
2
dy dy 2222
=2xf '(x ) ，2='解: f 'x 4x +2f '(x ()) dx d x
=ln(xy +ln x ) 19. 设二元函数为z ，求
∂z
(1, 4)
.
解: 因为 ∂z ∂y =1xy +ln x ⋅x ，
∂y
所以 ∂z ∂y
(1, 4)
=
1
4
.